Hola, tengo este problema, debo mostrar o refutar que \( Var(\min(X,Y))\leq Var(X) \), y lo único que me dice es que \( X \) y \( Y \) son variables aleatorias que tienen varianza finita, cuando \( \min(X,Y)=X \), pues se cumple, ya que \( Var(X)=Var(X) \), el problema lo tengo cuando tomo el caso \( Var(\min(X,Y)=Y \), claramente \( Y<X, \) pero como pruebo que \( Var(Y)<Var(X) \)?.
Sé que \( Var(\min(X,Y)=Var(\max(X,Y)) \) cuando están tienen la misma distribución o son simétricas, y leí también que \( Var(\min(X,Y))\leq Var(X)+Var(Y) \) pero esto ultimo no se como probarlo ni tampoco como son las restricciones de tal afirmación, agradecería su ayuda.
