Autor Tema: Sistemas algebraicos. Demostración

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

18 Mayo, 2005, 05:29 pm
Leído 3026 veces

Ocean_Soul

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 176
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos, de nuevo.
Tengo un problema con esta demostración y es que no tengo idea de como probarlo.
Ejercicio: (B(A), o) donde B(A) es el conjunto de las biyecciones de A y "o" es la composición usual de funciones.
Probar que (B(A), o) es un grupo para cualquier conjunto A.

Necesito que me "hagan" al menos una de las condiciones para que (B(A), o) sea un grupo.
Porque no sé cómo probarlo. Sé lo que tengo que probar, que es:
La asociativa, la existencia del neutro y la existencia del inverso.

Gracias.

18 Mayo, 2005, 08:50 pm
Respuesta #1

carsecor

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 78
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No lo entiendo , lo tienes casi todo hecho : La asociatividad es una propiedad de la composición de funciones : ((f o g) o h)(x) = h ((f o g) (x)) = h ( g ( f (x) )) = ( g o h ) ( f (x)) = ( f o ( g o h ))(x) 


La existencia de neutro :    1a : A ------> A
                                            1a (x) = x  con x perteneciente a A .   

Es biyección. Además cumple   (f o 1a) (x) = 1a (f(x)) = f(x) = f (1a(x)) = ( 1a o f ) (x) --> Es neutro para la composición.


Por ser f biyección : sea g el inverso de f , entonces  si y = f (x) , g(y) = x  , por lo tanto :     (f o g ) (x) = g ( f (x)) = g (y) = x = 1a (x) 

( g o f ) (y ) = f (g (y) ) = f (x) = y = 1a (y) .  Luego  f o g = g o f = 1a neutro , es decir , todo elemento de B(A) tiene inverso.

Con estas condiciones , ( B (A) , o ) es GRUPO .

Sabrás que en general no es abeliano , por ejemplo , si tomas E_n = { 1,2 , ..., n )  entonces  B ( E_n) = S_n es el grupo simetrico , que para n= 3 por ejemplo , no es conmutativo.