Autor Tema: Convergencia en ley

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16 Octubre, 2021, 06:03 pm
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mg

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola,

Sea \( \left\{{X_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \) una sucesión de variables aleatorias tales que \( X_n\longrightarrow{}X \) en ley. (Si alguien me pudiera indicar como escribirlo en latex se lo agradezco).

Me he propuesto probar que si \( c\in{\mathbb{R}} \) entonces:
1)\( X_n+c\longrightarrow{}X+c \) en ley.
2)\( cX_n\longrightarrow{}cX \) en ley.

Pero ciertamente no me sale. Pues miren, para el 1).

Tengo que probar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{F_{X_n+c}(x)}=F_{X+c}(x) \), pero no sé como puedo relacionar eso con \( X_n\longrightarrow{}X \) en ley, porque no sé como puedo operar con la \( c \) en  ese límite.

Un saludo.

16 Octubre, 2021, 07:17 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola,

Sea \( \left\{{X_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \) una sucesión de variables aleatorias tales que \( X_n\longrightarrow{}X \) en ley. (Si alguien me pudiera indicar como escribirlo en latex se lo agradezco).

Pues lo tienes bien escrito. Si quieres, entre las llaves vacías, puedes poner una \( d \) para indicar que es convergencia en distribución, así \( X_n\xrightarrow{d}X \).

Corrección: perdona, no me había dado cuenta que estabas usando \longrightarrow en vez de \xrightarrow{}. Es el segundo el que tiene la opción de ponerle cosas arriba de la flecha al escribirlas entre las llaves del final.

Citar
Me he propuesto probar que si \( c\in{\mathbb{R}} \) entonces:
1)\( X_n+c\longrightarrow{}X+c \) en ley.
2)\( cX_n\longrightarrow{}cX \) en ley.

Pero ciertamente no me sale. Pues miren, para el 1).

Tengo que probar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{F_{X_n+c}(x)}=F_{X+c}(x) \), pero no sé como puedo relacionar eso con \( X_n\longrightarrow{}X \) en ley, porque no sé como puedo operar con la \( c \) en  ese límite.

Un saludo.

Utiliza la definición de la función de distribución, es decir, observa que

\( \displaystyle{
F_{X_n+c}(a)=\Pr [X_n+c\leqslant a]=\Pr [X_n\leqslant a-c]=F_{X_n}(a-c)
} \)

17 Octubre, 2021, 12:25 am
Respuesta #2

mg

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Claro, lo tenía ahí delante de mí. En fin muchas gracias, ya me he quitado esta duda de encima que me estaba carcomiendo.


Un saludo.