[valeprz]

Considere una cadena de Markov \( {X_n}_{n\geq 0} \) con \( E =\{1, 2, 3, 4\} \), distribución inicial uniforme y matriz de transición:

\( \begin{bmatrix}{1/3}&{1/3}&{1/3}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{1/2}&{1/2}&{0}&{0}\\{1/3}&{1/3}&{1/3}&{0}\end{bmatrix} \)

Calcular:
a) La distribución de \(  X_1 \)
b) \( P[X_5 = 1|X_4 = 2] \).
c) \( P[X_5 = 1, X_4 = 1|X_0 = 2] \).
Mensaje corregido desde la administración.

[martiniano]

Hola.

\begin{bmatrix}{1/3}&{1/3}&{1/3}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{1/2}&{1/2}&{0}&{0}\\{1/3}&{1/3}&{1/3}&{0}\end{bmatrix}

Calcular:
a) La distribución de X_1
b) P[X_5 = 1|X_4 = 2].
c) P[X_5 = 1, X_4 = 1|X_0 = 2].

Si he entendido bien la notación, para el primero diría que la probabilidad de que X_1 tome cada valor la puedes obtener con el producto:

\[    \begin{pmatrix}{1/4}&{1/4}&{1/4}&{1/4}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{1/3}&{1/3}&{1/3}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{1/2}&{1/2}&{0}&{0}\\{1/3}&{1/3}&{1/3}&{0}\end{pmatrix}  \]

Para el segundo y el tercero ten en cuenta que si el proceso toma el valor 2, en el siguiente instante va a tomar el valor 1 seguro, esto se ve porque en la segunda fila el único término no nulo es el primero.

Entonces, el tercer apartado es igual a \[   P[X_4 = 1|X_0 = 2]=\begin{pmatrix}{0}&{1}&{0}&{0}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{1/3}&{1/3}&{1/3}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{1/2}&{1/2}&{0}&{0}\\{1/3}&{1/3}&{1/3}&{0}\end{pmatrix}^4\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix} \]

Un saludo.