[Asdfgh]

Buenas tardes, antes que nada agradeceros tanto a geométracat vuestra ayuda, aprendo bastante preguntando
dudas en este foro y me es de gran utilidad para entender sobre matemáticas.

Quería preguntarte sobre esta parte de la demostración (quizás sea evidente, pero no lo entiendo)
el caso de que se de \( p-p_a=0 \) o \( r_0-r_1=0 \) por qué es un or lógico, es decir
por qué no podrían darse a la vez los dos, obviamente eso fastidiaría la demostración, pero quiero
saber por qué justamente si se da una no se puede dar la otra.

Y finalmente y espero que no os importunen tantas preguntas (espero que sea la última sobre este tema),
necesitaría alguna idea para probar la proposición 4 de este enlace: https://fairmlbook.org/classification.html#relationships-between-criteria
ya que me he quedado un poco atascado.

Entiendo que se nos pide probar que:

\[ A \not \perp Y \quad \Longrightarrow \quad A \not \perp C \mid Y \ \textit{or} \ A \not \perp Y \mid C. \]

Por contrarrecíproco, habría que probar que:

\[ A \perp C \mid Y \ \textit{and} \ A \perp Y \mid C \quad \Longrightarrow \quad A \perp Y. \]

Quería proceder con la misma idea usada por geométracat y la bibliografía para la proposición 3,
aplicando el teorema de probabilidad total a \[ P(Y,A) \] y llegar a que son independientes \( P(Y,A)=P(Y)P(A) \)
supongo que en algún momento tendré que usar la hipótesis de que \( P(C \cap Y \cap A) > 0 \) que es lo que yo entiendo
de la asunción de que la probabilidad de la distribución conjunta de \( (C,Y,A) \) sea positiva.

Un saludo, espero que no os moleste y agradezco de nuevo vuestra ayuda.
Hacéis una gran labor motivando y fomentando las matemáticas en este foro. 

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, antes que nada agradeceros tanto a geométracat vuestra ayuda, aprendo bastante preguntando
dudas en este foro y me es de gran utilidad para entender sobre matemáticas.

Quería preguntarte sobre esta parte de la demostración (quizás sea evidente, pero no lo entiendo)
el caso de que se de \( p-p_a=0 \) o \( r_0-r_1=0 \) por qué es un or lógico, es decir
por qué no podrían darse a la vez los dos, obviamente eso fastidiaría la demostración, pero quiero
saber por qué justamente si se da una no se puede dar la otra.

¡Es qué si pueden darse los dos! Ojo, porque en general cuando uno escribe en lógica "or" uno se refiere a que se da uno, otro...¡o ambos!. NO es un "o excluyente". Así que pueden darse los dos y eso no fastidia la demostración.

Fíjate que la proposición 3 decía que si:

\( A\not\perp Y \) y \( R\not\perp Y \) entonces no se da al mismo tiempo \( A\perp R \) y \( A\perp R|Y \)

Se probó por reducción al absurdo (o por contrarecíproco si prefieres llamarlo así). Suponemos que SI se dan al mismo tiempo, es decir, que \( A\perp R \) y \( A\perp R|Y \) y demostramos entonces que al menos falla una de las dos afirmaciones de "\( A\not\perp Y \) y \( R\not\perp Y \)", es decir, que \( A\perp Y \) ó \( R\perp Y \) (¡o ambas!).

Y finalmente y espero que no os importunen tantas preguntas (espero que sea la última sobre este tema),
necesitaría alguna idea para probar la proposición 4 de este enlace: https://fairmlbook.org/classification.html#relationships-between-criteria
ya que me he quedado un poco atascado.

Entiendo que se nos pide probar que:

\[ A \not \perp Y \quad \Longrightarrow \quad A \not \perp C \mid Y \ \textit{or} \ A \not \perp Y \mid C. \]

Por contrarrecíproco, habría que probar que:

\[ A \perp C \mid Y \ \textit{and} \ A \perp Y \mid C \quad \Longrightarrow \quad A \perp Y. \]

Del hecho de que \( A\perp C\mid Y \) tienes que:

\( P(A|C=c,Y=y)=P(A|Y=y) \)

y de que \( A\perp Y\mid C \) tienes que:

\( P(A|C=c,Y=y)=P(A|C=c) \)

Por tanto:

\( P(A|C=c,Y=y)=P(A|C=c)=P(A|Y=y) \)  (*)

Para que esto se cumpla es fundamental que \( P(C=c,Y=y)\neq 0 \), ya que en otro caso la primera probabilidad condicionada no tiene sentido.

Ahora queremos probar que \( A\perp Y \), es decir, \( P(A| Y=y)=P(A) \).

Pero:

\( P(A)=\displaystyle\sum_{c\in C}P(A|C=c)P(C=c) \)

Ahora aplicamos de (*) que \( P(A|C=c)=P(A|Y=y) \):

\( P(A)=\displaystyle\sum_{c\in C}P(A|Y=y)P(C=c)=P(A|Y=y)\displaystyle\sum_{c\in C}P(C=c)=P(A|Y=y) \)

Saludos.

[Asdfgh]

Muchísimas gracias, creo que he entendido ya todo.

No había entendido muy bien como funcionaba la prueba por contrarrecíproco o reducción al absurdo.

Entonces si queríamos probar que: \[ C \Longrightarrow \neg(A \ y \ B) \]

Equivale es a probar: \[ A \ y \ B  \Longrightarrow \neg C \]
o en su defecto: \[ \neg A \ o \ \neg B  \Longrightarrow \neg C \]

De verdad agradezco mucho su ayuda, me entero mejor discutiendo aquí que en clases.

Un saludo.

Editado:

[Luis Fuentes]

Hola

Muchísimas gracias, creo que he entendido ya todo.

No había entendido muy bien como funcionaba la prueba por contrarrecíproco o reducción al absurdo.

Entonces si queríamos probar que: \[ C \Longrightarrow \neg(A \ y \ B) \]

Equivale es a probar: \[ A \ y \ B  \Longrightarrow \neg C \]
o en su defecto: \[ \neg A \ o \ \neg B  \Longrightarrow \neg C \]

Lo de azul está bien.
Lo de rojo está mal. \( \neg A \ o \ \neg B \) es lo mismo que \( \neg(A \ y \ B) \). Estarías probando \( \neg(A \ y \ B)\Longrightarrow \neg C \) que NO es el contrarecíproco de \[ C \Longrightarrow \neg(A \ y \ B) \].

Saludos.

[Asdfgh]

Buenas!

Si tengo por ejemplo \[ Y \perp A \mid C \], por la simetría de la independencia
condicional, eso es equivalente a \[ A \perp Y \mid C \], cierto?

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

Si tengo por ejemplo \[ Y \perp A \mid C \], por la simetría de la independencia
condicional, eso es equivalente a \[ A \perp Y \mid C \], cierto?

Si.

Saludos.

P.D. Usa las citas sólo si es necesario e incluyendo únicamente las partes sobre las cuáles quieres comentar algo. Estoy corrigiendo tus mensajes porque siempre incluyes la cita al mensaje anterior, incluso cuando no haces referencia a ella. No es que tenga mucha importancia, pero alarga innecesariamente el hilo y lo hace más pesado para ser cargado.

[Asdfgh]

P.D. Usa las citas sólo si es necesario e incluyendo únicamente las partes sobre las cuáles quieres comentar algo. Estoy corrigiendo tus mensajes porque siempre incluyes la cita al mensaje anterior, incluso cuando no haces referencia a ella. No es que tenga mucha importancia, pero alarga innecesariamente el hilo y lo hace más pesado para ser cargado.

Perfecto, ya he modificado mis mensajes anteriores que podrían ser confusos en ese aspecto.
Todo por tener un foro más claro y útil.

Saludos!