[Asdfgh]

Muchas gracias, ahora si entiendo la prueba.

Es que geométracat quizás por alguna confusión mía probó otro enunciado totalmente diferente
a lo que se me pedía.

Ahora si me queda bastante más claro, gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias, ahora si entiendo la prueba.

Es que geométracat quizás por alguna confusión mía probó otro enunciado totalmente diferente
a lo que se me pedía.

Ahora si me queda bastante más claro, gracias!

geómetracat probó el enunciado que aparecia en el primer enlace que pusiste:

https://towardsdatascience.com/a-tutorial-on-fairness-in-machine-learning-3ff8ba1040cb

este:

Te ayudo con el primero. Tienes que ver que si \[ A \not\perp Y \] y \[ A \perp Y \mid C \], entonces \[ A \not \perp C \]. [...]

Saludos.

[Asdfgh]

Ahora:

\( P(A\cap Y)=\displaystyle\sum_{c\in C}P(A\cap Y\cap C=c)=\displaystyle\sum_{c\in C}P(A)P(Y\cap C=c)=P(A)\displaystyle\sum_{c\in C}P(Y\cap C=c)=P(A)P(Y) \)

y por tanto \( A\perp Y \).

De donde sale esta expresión al final?

\[ P(A\cap Y)=\displaystyle\sum_{c\in C}P(A\cap Y\cap C=c) \]

Gracias por el resto de la explicación, me ha quedado bastante claro.

[Luis Fuentes]

Hola

\[ P(A\cap Y)=\displaystyle\sum_{c\in C}P(A\cap Y\cap C=c) \]

Gracias por el resto de la explicación, me ha quedado bastante claro.

En general si tienes \( C=\displaystyle\bigcup_{n\in N}C_n \) disjuntos, por las propiedades de la proabilidad (sigma aditividad):

\( P(X)=P(X\cap C)=P\left(\displaystyle\bigcup_{n\in N}(X\cap C_n)\right)=\displaystyle\sum_{n\in \Bbb N}P(X\cap C_n) \)

Saludos.

[Asdfgh]

Gracias, y esta?

\[ P(A)\displaystyle\sum_{c\in C}P(Y\cap C=c)=P(A)P(Y) \]

También por sigma aditividad?

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias, y esta?

\[ P(A)\displaystyle\sum_{c\in C}P(Y\cap C=c)=P(A)P(Y) \]

También por sigma aditividad?

Si.

Saludos.

[Asdfgh]

En la proposición 3 del enlace: https://fairmlbook.org/classification.html#relationships-between-criteria

No llego a entender cómo termina la prueba asumiendo que Y toma valores binarios.

Justamente donde usa la expresión:

\[ pr_0+(1-p)r_1=p_ar_0+(1-p_a)r_1. \]

No sé si se podría probar el enunciado:

\[ A \perp R \quad and \quad A \perp R \mid Y \quad \Longrightarrow \quad A\perp Y \quad or \quad R \perp Y. \]

Usando únicamente argumentos matemáticos o la asunción de que Y sea binaria es esencial. En el caso de que sea
totalmente necesario, habría algún argumento diferente al propuesto para probarlo que se os ocurra?

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

En la proposición 3 del enlace: https://fairmlbook.org/classification.html#relationships-between-criteria

No llego a entender cómo termina la prueba asumiendo que Y toma valores binarios.

Justamente donde usa la expresión:

\[ pr_0+(1-p)r_1=p_ar_0+(1-p_a)r_1. \]

Tienes que concretar más tu duda. Esa expresión es la misma que tenía antes, pero simplemente pone letras a las probabilidades para que quede más cómoda de manipular.

Si simplificas queda:

\( p(r_0-r_1)=p_a(r_0-r_1)\quad \Leftrightarrow{}\quad (p-p_a)(r_0-r_1)=0 \)

Entonces, o bien:

1) \( p-p_a=0 \) es decir \( P(Y=0)=P(Y=0|A) \) y por tanto \( P(Y=1)=1-P(Y=0)=1-P(Y=0|A)=P(Y=1|A) \) y así \( A\perp Y. \)

2) \( r_0-r_1=0 \) es decir \( P(R|Y=0)=P(R|Y=1) \) y por tanto \( R\perp Y. \)

No sé si se podría probar el enunciado:

\[ A \perp R \quad and \quad A \perp R \mid Y \quad \Longrightarrow \quad A\perp Y \quad or \quad R \perp Y. \]

Usando únicamente argumentos matemáticos o la asunción de que Y sea binaria es esencial. En el caso de que sea
totalmente necesario, habría algún argumento diferente al propuesto para probarlo que se os ocurra?

¡Es qué ha usado argumentos matemáticos! ¿O acaso ves algún argumento esotérico? Pero si, es ESENCIAL que \( Y \) sea binaria. En otro caso el resultado puede fallar y precisamente el texto te invita a que encuentres un contraejemplo. ¡Inténtalo!.

Saludos.

[Asdfgh]

Buenas, gracias por la aclaración, tengo una duda respecto a la notación que se da y que habeis usado para la prueba
de la proposición 2.

Justamente donde usa la expresión: \( A \bot Y \mid C \)

Se dice que eso significa que:

\[ P(Y=y, A=a \mid C=c)=P(Y=y \mid C=c)P(A=a \mid C=c) \]

pero a lo largo del curso, el profesor siempre ha usado que cuando notamos \( A \bot Y \mid C \)
entonces tenemos que:

\[ P(Y=y \mid A=a, C=c)=P(Y=y \mid C=c) \]

Son equivalentes ambas definiciones? Por lo que he leído en wikipedia pone equivalentemente, así que supongo que sí
pero me gustaría que alguien con más conocimientos me lo verificase. Gracias!

PD: En el caso de que no fuesen equivalentes, la prueba dada entonces no sería útil en mi caso. Así que espero
que lo sean porque ya me había costado entenderla 

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas, gracias por la aclaración, tengo una duda respecto a la notación que se da y que habeis usado para la prueba
de la proposición 2.

Justamente donde usa la expresión: \( A \bot Y \mid C \)

Se dice que eso significa que:

\[ P(Y=y, A=a \mid C=c)=P(Y=y \mid C=c)P(A=a \mid C=c) \]

pero a lo largo del curso, el profesor siempre ha usado que cuando notamos \( A \bot Y \mid C \)
entonces tenemos que:

\[ P(Y=y \mid A=a, C=c)=P(Y=y \mid C=c) \]

Son equivalentes ambas definiciones? Por lo que he leído en wikipedia pone equivalentemente, así que supongo que sí
pero me gustaría que alguien con más conocimientos me lo verificase. Gracias!

Son equivalentes y tienes la prueba en la propia Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_independence#Conditional_Independence_of_Events

Saludos.