Autor Tema: Independencia condicional

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30 Agosto, 2021, 03:51 pm
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Asdfgh

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Buenas tardes, necesito ayuda para probar las siguientes demostraciones, contextualizo un poco las herramientas que necesito.

Necesito ayuda para dadas tres variables aleatorias \( A,C,Y \) probar que los siguientes sucesos son mutuamente excluyentes dos a dos:

  • \( C \ \bot \ A \).
  • \( C \ \bot \ A \ | \ Y \).
  • \( Y \ \bot \ A \ | \ C \).

Estoy un poco perdido, si alguien me puede dar una idea se lo agradecería. Un saludo.

30 Agosto, 2021, 09:44 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En principio señalar que, la independencia entre dos variables aleatorias \( X,Y \) se notará como \( X \ \bot \ Y \) (\( X \ \not\bot \ Y \) si son dependientes) y notaremos que las variables aleatorias \( X,Y \) son condicionalmente independientes dada una tercera \( Z \) como \( X \ \bot \ Y \ | \ Z \).

Una vez explicada la notación, necesito dadas tres variables aleatorias \( A,C,Y \) probar que los siguientes sucesos son mutuamente excluyentes dos a dos:

  • \( C \ \bot \ A \).
  • \( C \ \bot \ A \ | \ Y \).
  • \( Y \ \bot \ A \ | \ C \).

Estoy un poco perdido, si alguien me puede ayudar o sabe de algún libro que contenga la demostración se lo agradecería. Un saludo.
 
 No sé si hay algo que no estoy entendiendo bien. No estoy seguro de que sucesos tienes que probar que son excluyentes. Las tres propiedades (no sucesos) que citas son compatibles, pueden darse a la vez: por ejemplo si las tres variables, \( C,A,Y \) son mutuamente independientes.

 ¿Seguro qué es exactamente ese el enunciado de tu problema?. ¿O me estoy confundiendo en algo?.

Saludos.

30 Agosto, 2021, 11:43 pm
Respuesta #2

Asdfgh

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  • Si \( A \ \not \bot \ Y \), entonces o se da 1. o se da 3.
  • Si \( A \ \not \bot \ Y \ \wedge \ C \ \not \bot \ Y \), entonces o se da 1. o se da 2.
  • Si \( A \ \not \bot \ Y \), entonces o se da 2. o se da 3.

Creo que hay que asumir para que las propiedades sean excluyentes dos a dos, la dependencia de las variables
porque como has dicho si las variables son mutuamente excluyentes, no se cumple.

Un saludo.

31 Agosto, 2021, 11:25 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sí perdón, creo que me ha faltado enunciado:

Tengo que probar:

  • Si \( A \ \not \bot \ Y \), entonces o se da 1. o se da 3.
  • Si \( A \ \not \bot \ Y \ \wedge \ C \ \not \bot \ Y \), entonces o se da 1. o se da 2.
  • Si \( A \ \not \bot \ Y \), entonces o se da 2. o se da 3.

Pero en la primera y tercera línea has escrito la misma premisa pero dos conclusiones distintas.

¿Es ese EXACTAMENTE AL PIE DE LA LETRA el enunciado?.

Saludos.

31 Agosto, 2021, 12:16 pm
Respuesta #4

Asdfgh

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El enunciado está sacado de un artículo que habla del teorema de imposibilidad de equidad.

En principio es que a mi profesor le gusta mucho mandar ejercicios que tengan como una aplicación al mundo real
y estén extraídos de documentos o artículos publicados (es del departamento de aplicadas).

En el artículo se habla de varios conceptos:

  • \( C \ \bot \ A \)
  • \( C \ \bot \ A \ | \ Y \)
  • \( Y \ \bot \ A \ | \ C \)

Pero estoy teniendo problemas para interpretar tanto lo que se me pide (tesis) como para demostrarlo.

A ver si con este contexto entiendes el problema y puedes echarme una mano.

Muchas gracias.

31 Agosto, 2021, 02:42 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Podrías haber puesto los enunciados que aparecen en el artículo que son más claros.
Te ayudo con el primero. Tienes que ver que si \[ A \not\perp Y \] y \[ A \perp Y \mid C \], entonces \[ A \not \perp C \]. Por reducción al absurdo, supón que tuvieras \[ A \perp C \], y vamos a llegar a una contradicción, concretamente a que \[ A \perp Y \].

En efecto:
\[
\begin{align*}
P(A=a, Y=y) &= \sum_{c \in C} P(C=c)P(A=a,Y=y \mid C=c) = \sum_{c\in C} P(C=c) P(A=a \mid C=c) P(Y=y \mid C=c) = \\
 &= \sum_{c \in C} P(C=c)P(A=a)P(Y=y) = P(A=a) \sum_{c \in C} P(C=c)P(Y=y) = P(A=a)P(Y=y)
\end{align*}
 \]
donde la primera igualdad es el teorema de la probabilidad total, la segunda viene de la hipótesis \[ A\perp Y \mid C \], la tercera de \[ A \perp C \] y la última de nuevo es el teorema de la probabilidad total.

Los demás no los he pensado, pero creo que se deberían hacer con ideas parecidas.

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2021, 05:02 pm
Respuesta #6

Asdfgh

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Tienes que ver que si \[ A \not\perp Y \] y \[ A \perp Y \mid C \], entonces \[ A \not \perp C \]. Por reducción al absurdo, supón que tuvieras \[ A \perp C \], y vamos a llegar a una contradicción, concretamente a que \[ A \perp Y \].

En efecto:
\[
\begin{align*}
P(A=a, Y=y) &= \sum_{c \in C} P(C=c)P(A=a,Y=y \mid C=c) = \sum_{c\in C} P(C=c) P(A=a \mid C=c) P(Y=y \mid C=c) = \\
 &= \sum_{c \in C} P(C=c)P(A=a)P(Y=y) = P(A=a) \sum_{c \in C} P(C=c)P(Y=y) = P(A=a)P(Y=y)
\end{align*}
 \]
donde la primera igualdad es el teorema de la probabilidad total, la segunda viene de la hipótesis \[ A\perp Y \mid C \], la tercera de \[ A \perp C \] y la última de nuevo es el teorema de la probabilidad total.

Respecto a tu solución, no llego a entender del todo este procedimiento: "Por reducción al absurdo, supón que tuvieras \[ A \perp C \], y vamos a llegar a una contradicción, concretamente a que \[ A \perp Y \]." Entiendo lo de que hay que demostrar:

\[ A \not\perp Y \ \wedge \ A \perp Y \mid C \ \Longrightarrow \ A \not \perp C \]

Pero no sé si usas el contrarrecíproco o reducción al absurdo, en el caso del contrarrecíproco deberías probar que:

\[ A \perp C \ \Longrightarrow \ A \perp Y \ \vee\ A \not \perp Y \mid C \]

Que no sé si es justamente eso lo que estás probando, porque estás asumiendo que \[ A\perp Y \mid C \]

Y no sé si me podrías ayudar a la parte de si \( A \not\perp Y  \) y \( C \not\perp Y \), entonces o se cumple \( A \perp C \) o \( A \perp C \mid Y \), que llevo varias semanas y es la única que me falta de las otras dos. Gracias.

Un saludo.

06 Septiembre, 2021, 11:04 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Podrías haber puesto los enunciados que aparecen en el artículo que son más claros.
Te ayudo con el primero. Tienes que ver que si \[ A \not\perp Y \] y \[ A \perp Y \mid C \], entonces \[ A \not \perp C \]. Por reducción al absurdo, supón que tuvieras \[ A \perp C \], y vamos a llegar a una contradicción, concretamente a que \[ A \perp Y \].

En efecto:
\[
\begin{align*}
P(A=a, Y=y) &= \sum_{c \in C} P(C=c)P(A=a,Y=y \mid C=c) = \sum_{c\in C} P(C=c) P(A=a \mid C=c) P(Y=y \mid C=c) = \\
 &= \sum_{c \in C} P(C=c)P(A=a)P(Y=y) = P(A=a) \sum_{c \in C} P(C=c)P(Y=y) = P(A=a)P(Y=y)
\end{align*}
 \]
donde la primera igualdad es el teorema de la probabilidad total, la segunda viene de la hipótesis \[ A\perp Y \mid C \], la tercera de \[ A \perp C \] y la última de nuevo es el teorema de la probabilidad total.

Los demás no los he pensado, pero creo que se deberían hacer con ideas parecidas.

Respecto a tu solución, no llego a entender del todo este procedimiento: "Por reducción al absurdo, supón que tuvieras \[ A \perp C \], y vamos a llegar a una contradicción, concretamente a que \[ A \perp Y \]." Entiendo lo de que hay que demostrar:

\[ A \not\perp Y \ \wedge \ A \perp Y \mid C \ \Longrightarrow \ A \not \perp C \]

Pero no sé si usas el contrarrecíproco o reducción al absurdo, en el caso del contrarrecíproco deberías probar que:

\[ A \perp C \ \Longrightarrow \ A \perp Y \ \vee\ A \not \perp Y \mid C \]

Que no sé si es justamente eso lo que estás probando, porque estás asumiendo que \[ A\perp Y \mid C \]

Claro. Si quieres probar que \( X \) implica \( Y \) ó \( Z \), entonces basta probar que si se cumple \( X \) y no \( Z \) entonces se cumple \( Y \).

Citar
Y no sé si me podrías ayudar a la parte de si \( A \not\perp Y  \) y \( C \not\perp Y \), entonces o se cumple \( A \perp C \) o \( A \perp C \mid Y \), que llevo varias semanas y es la única que me falta de las otras dos. Gracias.

¿Pero seguro qué es eso lo que tienes qué probar? No lo encuentro en el enlace que pusiste.

Saludos.

06 Septiembre, 2021, 12:36 pm
Respuesta #8

Asdfgh

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¿Pero seguro qué es eso lo que tienes qué probar? No lo encuentro en el enlace que pusiste.

Encontré un libro en el que aparecen los enunciados de manera más clara: https://fairmlbook.org/classification.html

En el caso, querría probar las proposiciones 2 y 3, pero como ya dije de forma más rigurosa (es decir usando la definición
como ha hecho geometracat), ya que al menos la demostración 2 está demostrada en 1 línea.

Sigo sin entender como ha hecho la demostración el compañero, ya que en la proposición 2, se pide probar que

\[ A \not \perp Y \ \Longrightarrow \ A \perp C \ o \ A \perp Y \mid C \]

Según lo que tú has dicho eso equivaldría a probar que:

\[ A \not \perp Y  \ y \ A \not \perp Y \mid C \ \Longrightarrow \  \ A \perp C \]

cosa que no veo que haya probado el compañero en el comentario anterior (o al menos no lo entiendo).

Un saludo. A ver si me podeis ayudar a entender la demostración de la proposición 2 presentada y un poco a la proposición 3.

Gracias.

07 Septiembre, 2021, 11:40 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Sigo sin entender como ha hecho la demostración el compañero, ya que en la proposición 2, se pide probar que

\[ A \not \perp Y \ \Longrightarrow \ A \perp C \ o \ A \perp Y \mid C \]

Según lo que tú has dicho eso equivaldría a probar que:

\[ A \not \perp Y  \ y \ A \not \perp Y \mid C \ \Longrightarrow \  \ A \perp C \]

cosa que no veo que haya probado el compañero en el comentario anterior (o al menos no lo entiendo).

Está mezclando las cosas o no nos estamos entendiendo. Por "el compañero" supongo que te refieres a geométracat. Lo que él prueba no es lo que dices ahí arriba sino:

\( A \not\perp Y \) y \( A \perp Y \mid C \) \( \Longrightarrow{} \) \( A \not \perp C  \)

Lo prueba suponiendo que es falsa la conclusión \( A \not \perp C  \), es decir, suponiendo que \( A  \perp C  \) y llegando a una contradicción con las hipótesis, ya que si supone además que \( A \perp Y \mid C \)  deduce que \( A\perp Y \), lo cuál contradice la hipótesis \( A \not\perp Y \).

Eso es lo que hace aquí:

Te ayudo con el primero. Tienes que ver que si \[ A \not\perp Y \] y \[ A \perp Y \mid C \], entonces \[ A \not \perp C \]. Por reducción al absurdo, supón que tuvieras \[ A \perp C \], y vamos a llegar a una contradicción, concretamente a que \[ A \perp Y \].

En efecto:
\[
\begin{align*}
P(A=a, Y=y) &= \sum_{c \in C} P(C=c)P(A=a,Y=y \mid C=c) = \sum_{c\in C} P(C=c) P(A=a \mid C=c) P(Y=y \mid C=c) = \\
 &= \sum_{c \in C} P(C=c)P(A=a)P(Y=y) = P(A=a) \sum_{c \in C} P(C=c)P(Y=y) = P(A=a)P(Y=y)
\end{align*}
 \]
donde la primera igualdad es el teorema de la probabilidad total, la segunda viene de la hipótesis \[ A\perp Y \mid C \], la tercera de \[ A \perp C \] y la última de nuevo es el teorema de la probabilidad total.

Si sigues sin entender esa prueba detalla tu duda de la manera más precisa posible; pero cuidado con no confundir esa propiedad con otras de las que quieres probar.

Ahora en la proposición 2 de este enlace: https://fairmlbook.org/classification.html lo que se pide probar es que si \( A\not\perp Y \) entonces no puede ser que al mismo tiempo se de \( A\perp C \) y \( A\perp Y|C \). Eso equivale a probar que si se da al mismo tiempo  \( A\perp C \) y \( A\perp Y|C \) entonces no puede darse \( A\not\perp Y \). Es decir lo que tienes que probar es que:

\( A\perp C \) y \( A\perp Y|C \) \( \Longrightarrow{} \)  \( A\perp Y \)

Pero \( A\perp Y|C \) significa que:

\( \dfrac{P(A\cap Y\cap C=c)}{P(C=c)}=P(A\cap Y|C=c)=P(A|C=c)P(Y|C=c)=\dfrac{P(A\cap C=c)}{P(C=c)}\dfrac{P(Y\cap C=c)}{P(C=c)} \) (*)

Si además \( A\perp C \) entonces \( P(A\cap C=c)=P(A)P(C=c) \). Sustiyuendo en (*)

\( \dfrac{P(A\cap Y\cap C=c)}{P(C=c)}=\dfrac{P(A)P(C=c)}{P(C=c)}\dfrac{P(Y\cap C=c)}{P(C=c)} \)

Simplifcando:

\( P(A\cap Y\cap C=c)=P(A)P(Y\cap C=c) \)

Ahora:

\( P(A\cap Y)=\displaystyle\sum_{c\in C}P(A\cap Y\cap C=c)=\displaystyle\sum_{c\in C}P(A)P(Y\cap C=c)=P(A)\displaystyle\sum_{c\in C}P(Y\cap C=c)=P(A)P(Y) \)

y por tanto \( A\perp Y \).

Saludos.