Autor Tema: Ecuación diferencial "regla del cociente ideal".

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23 Julio, 2021, 03:49 am
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franma

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Buenas a todos,

Estaba pensando si es posible encontrar una función (o funciones) que cumplan la "regla del cociente ideal", con esto me refiero a poder encontrar funciones \( f \) y \( g \) tales que:
\( \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'}{g'} \)

El primer paso seria desarrollar el lado izquierdo:

\( \dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{f'}{g'} \) esta seria la ecuacion diferencial a resolver.

No tengo mucho conocimiento sobre ecuaciones diferenciales pero me gustaria saber si esta tiene solucion (o si no la tiene).

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

23 Julio, 2021, 07:29 am
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas a todos,

Estaba pensando si es posible encontrar una función (o funciones) que cumplan la "regla del cociente ideal", con esto me refiero a poder encontrar funciones \( f \) y \( g \) tales que:
\( \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'}{g'} \)

El primer paso seria desarrollar el lado izquierdo:

\( \dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{f'}{g'} \) esta seria la ecuacion diferencial a resolver.

No tengo mucho conocimiento sobre ecuaciones diferenciales pero me gustaria saber si esta tiene solucion (o si no la tiene).

Saludos,
Franco.

Una solución trivial es tomando \( f\equiv 0 \). Si descartamos esa solución entonces en principio tenemos dos ecuaciones diferenciales a resolver

\( \displaystyle{
g'=g^2,\quad f'=f\frac{g'}{g-1}=f\frac{g^2}{g-1}=f\frac{g^2-1+1}{g-1}=f\left(g+1+\frac1{g-1}\right)
} \)

donde asumimos que \( f\neq 0 \) (al menos en algún entorno). La primera ecuación diferencial tiene la solución general dada por \( g=\frac1{C-x} \), y la segunda puede resolverse por "separación de funciones", es decir que

\( \displaystyle{
f'=f\left(g+1+\frac1{g-1}\right)\implies \ln|f|=\int \frac{f'}{f}=\int \left(g+1+\frac1{g-1}\right)\implies f=\exp\left(\int\left(g+1+\frac1{g-1}\right)\right)
} \)

Ahora sería hacer los cálculos y ver qué sale, teniendo en cuenta la constante de integración.

23 Julio, 2021, 10:10 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Por si te interesa una solución en video, este canal de YouTube lo resuelve de forma divertida y autocontenida:


No perderse los primeros segundos del video. :P

Saludos

23 Julio, 2021, 10:26 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Buenas a todos,

Estaba pensando si es posible encontrar una función (o funciones) que cumplan la "regla del cociente ideal", con esto me refiero a poder encontrar funciones \( f \) y \( g \) tales que:
\( \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'}{g'} \)

El primer paso seria desarrollar el lado izquierdo:

\( \dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{f'}{g'} \) esta seria la ecuacion diferencial a resolver.

No tengo mucho conocimiento sobre ecuaciones diferenciales pero me gustaria saber si esta tiene solucion (o si no la tiene).

Saludos,
Franco.

Una solución trivial es tomando \( f\equiv 0 \). Si descartamos esa solución entonces en principio tenemos dos ecuaciones diferenciales a resolver

\( \displaystyle{
g'=g^2,\quad f'=f\frac{g'}{g-1}=f\frac{g^2}{g-1}=f\frac{g^2-1+1}{g-1}=f\left(g+1+\frac1{g-1}\right)}
 \)

Pero en general sería:

\( g'=kg^2,\qquad f'=k(f'g-fg') \)

donde \( k \) es una función.

Saludos.


23 Julio, 2021, 11:27 am
Respuesta #4

Masacroso

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Pero en general sería:

\( g'=kg^2,\qquad f'=k(f'g-fg') \)

donde \( k \) es una función.

Saludos.



¡Ah! Claro. Que buen ojo. En ese caso tendríamos que

\( \displaystyle{
g'=k g^2\implies \frac{g'}{g^2}=k\implies g=-\frac1{\int k}=\frac1{-K},\quad K:=\int k\\

f'=fk\frac{g^2}{g-1}=fk\left(g+\frac1{g-1}\right)=fk\left(\frac1{K+1}-\frac1{K}\right)\implies f=C\frac{K+1}{K}
} \)

para una constante arbitraria \( C \) y una primitiva arbitraria \( K \) de \( k \) (suponiendo que no haya error en los cálculos).

Añadido: en verdad lo de arriba no es la solución general, ya que no es necesario considerar la ecuación diferencial  \( g'=kg^2 \) sino tan solo la ecuación (más general) dada por

\( \displaystyle{
\frac{f'}{f}=\frac{(g')^2}{gg'-g^2}
} \)

si no me he equivocado al despejar.

24 Julio, 2021, 01:47 am
Respuesta #5

franma

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Buenas a todos,

Muchísimas gracias por aportar!  :)

\( \displaystyle{
g'=k g^2\implies \frac{g'}{g^2}=k\implies g=-\frac1{\int k}=\frac1{-K},\quad K:=\int k\\

f'=fk\frac{g^2}{g-1}=fk\left(g+\frac1{g-1}\right)=fk\left(\frac1{K+1}-\frac1{K}\right)\implies f=C\frac{K+1}{K}
} \)

para una constante arbitraria \( C \) y una primitiva arbitraria \( K \) de \( k \) (suponiendo que no haya error en los cálculos).


Tenemos entonces

\( g=-\dfrac{1}{K} \)

\( f=C\dfrac{K+1}{K} \)

\( \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\left(\dfrac{C\dfrac{K+1}{K}}{-\dfrac{1}{K}}\right)'=C\left(\dfrac{K+1}{-1}\right)'=-C(K+1)'=-Ck \)

Como ocurre esta simplificación sabemos que se cumplirá nuestra regla "ideal".

Esto ya me deja mas que contento :D.

Añadido: en verdad lo de arriba no es la solución general, ya que no es necesario considerar la ecuación diferencial  \( g'=kg^2 \) sino tan solo la ecuación (más general) dada por

\( \displaystyle{
\frac{f'}{f}=\frac{(g')^2}{gg'-g^2}
} \)

si no me he equivocado al despejar.

No se como te lograste dar cuenta de que lo anterior no es la solución general, pero si podemos encontrar algo mas general porque no intentarlo.

No se como resolver ED pero creo que un buen primer paso (basandome en un mensaje anterior del hilo) seria integrar:

\( \displaystyle{\frac{f'}{f}=\frac{(g')^2}{gg'-g^2}} \)

\( \displaystyle\int\dfrac{f'}{f}=\int\dfrac{(g')^2}{gg'-g^2} \)

\( \displaystyle\ln|f|=\int\dfrac{(g')^2}{g(g'-g)} \)

Esa integral que queda no se si se puede resolver (o al menos a mi no me ha salido), pero al menos yo me contento con tener la siguiente "formula":

\( \displaystyle f=\exp\left(\int\dfrac{(g')^2}{g(g'-g)}\right) \)

No realice ninguna prueba todavía, estaría faltando eso solamente.

Muchas gracias nuevamente a todos los que aportaron :).

Saludos,
Franco.
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24 Julio, 2021, 05:54 am
Respuesta #6

Masacroso

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No se como te lograste dar cuenta de que lo anterior no es la solución general, pero si podemos encontrar algo mas general porque no intentarlo.

Es que lo que hice antes fue algo "medio absurdo", seguramente producto del calor :D. Me dio por igualar denominador y numerador, y con eso propuse las dos ecuaciones diferenciales. Pero en verdad sólo había que despejar \( f' \) (o \( g' \)) en la ecuación diferencial original.

Citar
No se como resolver ED pero creo que un buen primer paso (basandome en un mensaje anterior del hilo) seria integrar:

\( \displaystyle{\frac{f'}{f}=\frac{(g')^2}{gg'-g^2}} \)

\( \displaystyle\int\dfrac{f'}{f}=\int\dfrac{(g')^2}{gg'-g^2} \)

\( \displaystyle\ln|f|=\int\dfrac{(g')^2}{g(g'-g)} \)

Esa integral que queda no se si se puede resolver (o al menos a mi no me ha salido), pero al menos yo me contento con tener la siguiente "formula":

\( \displaystyle f=\exp\left(\int\dfrac{(g')^2}{g(g'-g)}\right) \)

No realice ninguna prueba todavía, estaría faltando eso solamente.

Muchas gracias nuevamente a todos los que aportaron :).

Saludos,
Franco.

Claro, eso es. La solución queda así, se puede simplificar ligeramente pero no mucho más, por ejemplo observando que

\( \displaystyle{
\frac{(g')^2}{gg'-g^2}=\frac{g'}{g}\cdot \frac{g'}{g'-g}=\frac{g'}{g}\cdot \frac{g'-g+g}{g'-g}=\frac{g'}{g}+\frac{g'}{g'-g}
} \)

quedando entonces

\( \displaystyle{
f=g\exp\left(\int \frac{g'}{g'-g}\right)
} \)

He intentado ver si se podía simplificar algo la expresión \( \int \frac{g'}{g'-g} \) pero no he hallado nada. Obviamente dándole valores a \( g \) o estableciendo una relación más explícita entre \( g \) y \( g' \) (como por ejemplo a través de la ecuación diferencial anterior \( g'=g^2 \), pero aplicado más bien al original \( \frac{(g')^2}{gg'-g^2} \)) van saliendo diferentes soluciones. Pero seguramente para muchas funciones \( g \) que elijamos la expresión \( \int \frac{g'}{g'-g} \) no podrá simplificarse, es decir, escribirse como combinación de funciones conocidas.

24 Julio, 2021, 07:18 am
Respuesta #7

franma

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Buenas Masacroso,

\( \displaystyle{
f=g\exp\left(\int \frac{g'}{g'-g}\right)
} \)

Excelente simplificación! :aplauso:
Mañana con tiempo pruebo alguna función simple y lo agrego al mensaje.

La verdad se me ocurrió estando aburrido (estoy de receso) y terminamos llegando a una formula que en mi opinión resulta ser bastante agradable (aunque luego pueda ser difícil atacar esa integral dependiendo de que función tomemos).

Muchas gracias nuevamente :).

Saludos,
Franco.
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24 Julio, 2021, 12:04 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Añadido: en verdad lo de arriba no es la solución general, ya que no es necesario considerar la ecuación diferencial  \( g'=kg^2 \) sino tan solo la ecuación (más general) dada por

\( \displaystyle{
\frac{f'}{f}=\frac{(g')^2}{gg'-g^2}
} \)

si no me he equivocado al despejar.

No veo que la otra alternativa NO sea general.

Uno puede tomar la función \( k(x) \) tal que \( g'(x)=k(x)g(x)^2 \). De ahí obtener una relación entre \( k(x) \) y \( g(x) \) (que es lo que has hecho).

Después que:

\( \frac{f'}{g'}=\dfrac{f'g-g'f}{g^2} \)

equivale a que:

\( f'=k(f'g-g'f) \)

No he revisado las cuentas; pero ambos enfoques deberían de ser equivalentes.

A la hora de la verdad lo único que hacemos es trabajar con una función \( K(X)=\dfrac{1}{-g(x)} \) que depende de \( g \).

Saludos.


24 Julio, 2021, 12:19 pm
Respuesta #9

Masacroso

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No veo que la otra alternativa NO sea general.

Uno puede tomar la función \( k(x) \) tal que \( g'(x)=k(x)g(x)^2 \). De ahí obtener una relación entre \( k(x) \) y \( g(x) \) (que es lo que has hecho).

¡Claro! No había caído en eso, que dos funciones cualesquiera siempre pueden relacionarse entre sí usando una tercera siempre que al menos una de las funciones nunca sea cero.

 :banghead: :banghead: :banghead:

Pues ya estaría, como se suele decir :D

Añado: la solución \( f=C\frac{K+1}{K}=C(1-g) \) de mi segunda respuesta no está bien, hay algún error en los cálculos, ya que en ese caso tendríamos que \( f'=-Cg' \) de donde tendríamos que \( f'/g'=-C \), pero entonces

\( \displaystyle{
\frac{f'g-fg'}{g^2}=\frac{-Cg'g-C(1-g)g'}{g^2}=-C\frac{g'}{g^2}=-Ck
} \)

pero \( k \) no tiene por qué ser la función constante uno.

Corrección.