Autor Tema: Integral con senos y cosenos

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12 Julio, 2021, 12:00 am
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nathan

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Hola amigos, estuve resolviendo una integral y la reduje a esta forma que yo no logro resolver. Podrían ayudarme:
\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{(1-sin x)cos x}{1+cos}x  dx  \)
Les agradecería mucho que me ayuden.
Pero si el pensamiento corrompe el lenguaje, el lenguaje también puede corromper el pensamiento.

12 Julio, 2021, 12:57 am
Respuesta #1

franma

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Buenas nathan,

Podemos hacer lo siguiente:
\( \displaystyle\int \dfrac{(1-\sin x)\cos x}{1+\cos x}  dx=\int \dfrac{(1-\sin x)\cos x}{1+\cos x} \cdot \dfrac{1-\cos x}{1-\cos x} dx=\int \dfrac{(1-\sin x)(\cos x)(1-\cos x)}{\sin^2 x}  dx \)

\( =\displaystyle \int \dfrac{(1-\sin x)(\cos x)(1-\cos x)}{\sin^2 x}dx =\int \dfrac{\cos x - \cos^2 x - \sin x \cos x+\cos^2 x \sin x}{\sin^2 x}dx \)

Separamos:
\( \displaystyle \int\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}dx-\int\dfrac{ \cos^2 x }{\sin^2 x}dx -\int\dfrac{ \sin x \cos x}{\sin^2 x}dx+\int\dfrac{\cos^2 x \sin x}{\sin^2 x}dx \)

Vamos una por una:

\( \displaystyle \int\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}dx \)

Hacemos CV \( u=\sin x, du=\cos x \)

\( \displaystyle \int\dfrac{du}{u^2}=\dfrac{-1}{u}=\boxed{-\dfrac{1}{\sin x}} \)

La siguiente:

\( \displaystyle -\int\dfrac{ \cos^2 x }{\sin^2 x}dx=-\int \cot^2(x)dx=\int (1-\csc^2(x))dx=\boxed{x+\cot(x)} \)

La siguiente:

\( \displaystyle -\int \dfrac{ \sin x \cos x}{\sin^2 x}dx \)

Hacemos CV \( u=\sin x, du= \cos x \)

\( \displaystyle -\int \dfrac{du}{u}dx=-\ln(|u|)=\boxed{-\ln(|\sin x|)} \)

La última:

\( \displaystyle \int\dfrac{\cos^2 x \sin x}{\sin^2 x}dx \)

Esta ya no se como integrarla ahora mismo, ni la tengo en ninguna tabla.
Tal vez algún compañero del foro la puede terminar o si tu puedes mejor aún.

Espero que te haya sido de ayuda :).

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

12 Julio, 2021, 02:08 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Sólo me he fijado en la última cuenta:
\( \displaystyle \int \dfrac{\cos^2(x) \cdot \sen(x)}{\sen^2(x)} \ dx = \int \dfrac{\cos^2(x) \cdot \sen(x)}{1- \cos^2(x)} \ dx  \) y hacer \( u=\cos(x) \).

Otro camino :

\( \displaystyle \int \dfrac{(1-\sen(x)) \cdot \cos(x)}{1+cos(x)} \ dx = \int  \dfrac{\cos(x)}{1+ \cos(x)} \ dx - \int \dfrac{\sen(x)\cdot \cos(x)}{1+cos(x)} \ dx  \).

\( \displaystyle \int \dfrac{\cos(x)}{1+cos(x)} \ dx = \int \dfrac{1+\cos(x)+ (-1)}{1+cos(x)} \ dx  \) y recordar que: \( \cos(x) = 2 \cdot \cos^2(\dfrac{x}{2})- 1  \).

\( \displaystyle \int \dfrac{\sen(x)\cdot \cos(x)}{1+cos(x)}  \) hacer \( u = \cos(x) \)

Editado

Desde un principio se podría haber hecho en el numerador:
\( \displaystyle (1-\sen(x)) \cdot \cos(x) = (1-\sen(x)) \cdot (1 + \cos(x)  + (-1))  \)

12 Julio, 2021, 03:22 am
Respuesta #3

Abdulai

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Otro camino:

\( \dfrac{(1-\sin x)\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{(1-\sin x)(1+\cos x-1)}{1+\cos x}= 1-\sin x + \dfrac{\sin x}{1+\cos x} -\dfrac{1}{1+\cos x} \)


Donde la integral de los dos primeros sumandos es inmediata.

La del tercero casi, basta observar que es una expresión del tipo \( \dfrac{y'}{1+y}\;\;\rightarrow\;\;\ln(1+y) \)

En la cuarta se hace la sustitución \( \tan\frac{x}{2}=u\quad\therefore\; \cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}\;;\;dx=\dfrac{2}{1+u^2}du \)
O si se recuerda que \( \displaystyle\int\dfrac{1}{1+\cos x}\text{d}x = \tan\frac{x}{2} \)  se procede directamente ;)

12 Julio, 2021, 04:02 am
Respuesta #4

franma

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Buenas a todos,

Muy buenos caminos alternativos tanto el de Juan Pablo Sancho como el de Abdulai, se ahorran muchisimas cuentas en comparación con lo que propuse.

Gracias al cambio de variable que sugirió Juan Pablo Sancho pude terminar la integral, resulta: \( \boxed{\dfrac{\ln(1-\cos x)-\ln(1+\cos x)}{2}+\cos x} \)

Luego uniendo todo y si no cometi ningun error tenemos:
\( \displaystyle\int \dfrac{(1-\sin x)\cos x}{1+\cos x}  dx= \boxed{-\dfrac{1}{\sin x} + x + \cot x- \ln(\sin x) + \dfrac{\ln(1-\cos x)-\ln(1+\cos x)}{2}+\cos x + C} \)

Habría que confirmar derivando pero ya se me hace tarde, mañana si tengo oportunidad lo hago ;).

Saludos,
Franco.
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