Autor Tema: Duda demostración

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06 Julio, 2021, 04:03 pm
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mg

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Hola,

En esta demostración del lema de Gronwall, https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nwall%27s_inequality , en la sección Integral forms for continous functions, en la prueba para el b), ¿Por qué al integrar resultar ser \( -\alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?¿No sería \( \alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?

Un saludo.

06 Julio, 2021, 06:50 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

En esta demostración del lema de Gronwall, https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nwall%27s_inequality , en la sección Integral forms for continous functions, en la prueba para el b), ¿Por qué al integrar resultar ser \( -\alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?¿No sería \( \alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?

No. Lo que está usando ahí es que una primitiva de:

\( f(s)=\beta(s)exp\left(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr\right) \)

es:

\( F(s)=-exp\left(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr\right) \)

Ya que:

\( F'(s)=-exp\left(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr\right)\cdot \dfrac{d\left(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr\right)}{ds}
=-exp\left(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr\right)\cdot \dfrac{-d\left(\displaystyle\int_{t}^{s}\beta(r)dr\right)}{ds}
=-exp\left(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr\right)\cdot (-\beta(s)) \)

Saludos.