Autor Tema: Propiedades de los logaritmos naturales

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04 Julio, 2021, 11:42 pm
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Marcos Castillo

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Hola, Rincón, se trata de nuevo de la función \( \mbox{ln}\;x \).

Cito:

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Las dos propiedades \( (d/dx)\mbox{ln}\;x=1/x \) y \( \mbox{ln}\;1=0 \) sirven para determinar completamente la función \( \mbox{ln}\;x \) (esto se deduce del Teorema 13 de la sección 2.6). A partir de estas dos propiedades se puede deducir que \( \mbox{ln}\;x \) cumple las leyes apropiadas de los logaritmos.

Teorema 13
Si una función es constante en un intervalo, entonces su derivada será cero en dicho intervalo. El Teorema del Valor Medio nos permite
demostrar la afirmación recíproca
[cerrar]

TEOREMA 13 Sea \( f \) una función continua en un intervalo \( I \), y sea \( f'(x)=0 \) en todo punto del interior del \( I \) (es decir, en todo punto de \( I \) excepto en sus extremos). Entonces \( f(x)=C \), una constante, en \( I \).
DEMOSTRACIÓN Sea un punto \( x_0 \) de \( I \) y sea \( C=f(x_0) \). Si \( x \) es otro punto de \( I \), entonces el Teorema del Valor Medio dice que debe existir un punto \( c \) entre \( x_0 \) y \( x \) tal que

\( \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(c) \)

El punto \( c \) debe pertenecer a \( I \) porque el intervalo contiene a todos los puntos entre los dos citados, y \( c \) no puede ser un extremo de \( I \) ya que \( c\neq x_0 \) y \( c\neq x \). Como \( f'(c)=0 \) para todos esos puntos \( c \), tenemos que \( f(x)-f(x_0)=0 \) para todo \( x \) en \( I \), y \( f(x)=f(x_0)=C \), como queríamos demostrar.

"TEOREMA 2 Propiedades del logaritmo natural

(i)\( \mbox{ln}\;(xy)=\mbox{ln}\;x+\mbox{ln}\;y \)

(ii)\( \mbox{ln}\;\left ({\dfrac{x}{y}}\right )=\mbox{ln}\;x-\mbox{ln}\;y \)

(iii)\( \mbox{ln}\;\left ({\dfrac{1}{x}}\right )=-\mbox{ln}\;x \)

(iv)\( \mbox{ln}\;(x^r)=r\mbox{ln}\;x \)

Como no deseamos suponer que las exponenciales son continuas (como hicimos en la sección 3.2), diremos por el momento que (iv) sólo es válido para exponentes \( r \) que sean números racionales

DEMOSTRACIÓN Sólo demostraremos el apartado (i), ya que los otros apartados se demuestran por el mismo método. Si \( y>0 \) es una constante, entonces por la Regla de la Cadena,

\( \dfrac{d}{dx}(\mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x)=\dfrac{y}{xy}-\dfrac{1}{x}=0\quad\mbox{para todo}\;x>0 \)

El Teorema 13 de la sección 2.6 indica que \( \mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x=C \) (una constante) para \( x>0 \). Haciendo \( x=1 \) se tiene \( C=\mbox{ln}\;y \) y se deduce la identidad (i)."

Dudas: la aplicación de la Regla de la Cadena; por otra parte, ¿\( y \) por qué es considerada una constante?; y además, ¿por qué el Teorema 13 de la sección 2.6 indica que \( \mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x=C \) (una constante) para \( x>0 \)?; ¿por qué se hace \( x=1 \)?  :-[

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

05 Julio, 2021, 12:08 am
Respuesta #1

franma

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Buenas Marcos Castillo,

Dudas: la aplicación de la Regla de la Cadena; por otra parte, ¿\( y \) por qué es considerada una constante?; y además, ¿por qué el Teorema 13 de la sección 2.6 indica que \( \mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x=C \) (una constante) para \( x>0 \)?; ¿por qué se hace \( x=1 \)?  :-[

La aplicación de la Regla de la Cadena:
Nuestra función original es \( \ln(x) \) y la estamos componiendo con la función \( yx \) donde y es una constante arbitraria. Entonces si queremos derivar \( \ln(yx) \) necesitamos utilizar la regla de la cadena.
\( [f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x) \)
Donde en nuestro caso \( f(x)=\ln(x) \) y \( g(x)=yx \) aplicando la regla de la cadena obtenemos \( \dfrac{1}{yx}\cdot y \) la derivada buscada.

¿\( y \) por qué es considerada una constante?
Entiendo que tu libro será uno de calculo en una variable, por lo que nuestra función debe ser de una variable solamente, no le vería mucho sentido introducir una segunda variable.
Una de las propiedades "lindas" y buenas del logaritmo es que nos permite transformar productos en sumas.

¿Por qué el Teorema 13 de la sección 2.6 indica que \( \mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x=C \)?
El teorema 13 nos dice que si una función presenta derivada nula en un intervalo, entonces dicha función se mantiene constante en el intervalo. Eso significa que su valor es constante.
Al derivar \( \ln(xy)-\ln(x) \) se obtiene 0. Veámoslo nuevamente:
\( [\ln(xy)-\ln(x)]'=\dfrac{y}{yx} - \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}=0 \)

De donde concluimos que \( [\ln(xy)-\ln(x)]'=\dfrac{y}{yx} \) se mantiene constante en \( (0,+\infty) \).

Es evidente la restricción x>0 e y>0 ya que el logaritmo no esta definido para números negativos.

¿Por qué se hace x=1?
Esta igualdad \( \mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x=C \) es valida para todo valor de \( x \), por lo que para averiguar esa constante elegimos \( x=1 \) (un valor fácil y que nos anulara \( \ln(x) \)).
Esto nos revela finalmente que la constante en cuestión era \( \ln(y) \).

Espero que te sea de ayuda :).

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

05 Julio, 2021, 12:14 am
Respuesta #2

Masacroso

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Dudas: la aplicación de la Regla de la Cadena; por otra parte, ¿\( y \) por qué es considerada una constante?;

Porque derivamos respecto de \( x \), entonces \( y \) no es variable de diferenciación en ese caso. Otra forma de verlo es tomar \( y=K>0 \) una constante (la que sea), pero fija, de ahí ves que derivando tenemos que \( \frac{\partial}{\partial x}\ln(xK)=\frac{K}{xK}=\frac1x \). Así es fácil de ver que, eligiendo cualquier valor positivo para \( y \), que \( \frac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\frac{y}{xy}=\frac1{x} \).

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y además, ¿por qué el Teorema 13 de la sección 2.6 indica que \( \mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x=C \) (una constante) para \( x>0 \)?

En la demostración no te lo dicen pero \( y \) debe ser positivo, ya que de otra manera si \( x \) es positivo e \( y \) negativo (o cero) la expresión \( \ln(xy) \) no tendría sentido, ya que la función logaritmo sólo está definida para los números reales positivos. Entonces al derivar respecto de \( x \) la expresión \( \ln(xy)-\ln(x) \) (considerando ahí que \( y \) es una constante positiva) encontramos que es cero, por tanto la expresión original debe ser constante (que es lo que se demuestra en el teorema 13).

Citar
¿por qué se hace \( x=1 \)?  :-[

Tenemos que \( \ln(xy)-\ln(x)=C \) para una constante \( C \) desconocida, para cualquier valor de \( x>0 \) y un valor de \( y \) fijo y positivo. Como esa identidad es válida para todo valor positivo de \( x \) entonces al tomar \( x=1 \) observamos que \( C=\ln (y) \), es decir, hemos demostrado que

\( \displaystyle{
\ln(xy)-\ln(x)=\ln(y)
} \)

para cualesquiera valores positivos que tomen \( x \) e \( y \) (ya que lo anterior es válido para cualquier valor positivo de \( y \) que elijamos). Reordenando la identidad anterior tenemos que

\( \displaystyle{
\ln(xy)=\ln(y)+\ln(x)
} \)

que es lo que queríamos demostrar desde el principio. Recapitulando:

- Primero se define la expresión \( \ln(xy)-\ln(x) \), donde podemos considerar que \( y \) tiene un valor arbitrario y positivo, y la derivamos respecto de \( x \), viendo que la derivada es cero.
- Segundo: aplicamos el teorema 13, es decir, tenemos ahora la identidad \( \ln(xy)-\ln(x)=C \) que se cumple para todos los valores positivos de \( x \) y cualquier valor fijo de \( y \) que tomemos, siendo \( C \) una constante desconocida.
- Tercero: como se cumple lo anterior para todo valor positivo de \( x \) tomando el valor \( x=1 \) hallamos que \( C=\ln(y) \).
- Cuarto: sustituyendo el valor de \( C \) en la identidad \( \ln(xy)-\ln(x)=C \) finalmente hallamos la identidad \( \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y) \), la cual se cumple para cualesquiera valores positivos de \( x \) y de \( y \) (ya que el valor de \( y \) que habíamos elegido antes, aunque era fijo, era arbitrario).

Espero que ya te quede más claro.

Edición: se me adelantó franma por unos instantes.

05 Julio, 2021, 12:31 am
Respuesta #3

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias! No tengo palabras: habéis hecho papilla mis dudas en cuestión de segundos. Os debo algo tan sencillo como poder soñar que podré con este libro de texto. Esta noche dormiré a pierna suelta, y mañana a la carga. Franma, Masacroso, una ovación y un aplauso :aplauso:
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