Autor Tema: Derivada del logaritmo natural a partir de la definición

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02 Julio, 2021, 05:13 pm
Respuesta #10

Marcos Castillo

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Espero no "sobrecargar" el hilo.


Para nada. Me has encendido una bombilla: yo sé lo que es una derivada y una integral, digamos que a nivel de bachiller. Es un frente. Ya sé que está hablando de esto. Puedo enfocarlo perfectamente desde ese punto de vista.

Un saludo. He trasteado un poco con GeoGebra:




No man is an island (John Donne)

02 Julio, 2021, 06:29 pm
Respuesta #11

franma

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Buenas Marcos Castillo,

Primero que todo perdonar mi malísima habilidad con GeoGebra, luego, para una mejor interpretación en mi opinión en vez de graficar el logaritmo (que digamos, de momento es algo que se nos escapa) podemos interpretarlo puramente como el área:


En este caso estamos con el \( \ln(2) \) y el \( \ln(3) \).
Si barremos el área desde 1 hasta 3, y luego le quitamos el área que barremos desde 1 hasta 2 finalmente nos quedamos solamente con el área barrida desde 2 hasta 3.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

03 Julio, 2021, 05:29 pm
Respuesta #12

Marcos Castillo

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Bueno, este es mi resumen:

La Tabla 1 muestra las derivadas de las potencias enteras de \( x \)



Hay un "hueco": \( x^{-1} \).

Para ello vamos a definir una función que llamaremos logaritmo natural, \( y=\mbox{ln}\;x \), tal que \( y'=x^{-1} \):

1-Definición de logaritmo natural

Para \( x>0 \) sea \( A_x \) el área de la región plana encerrada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \). La función \( y=\mbox{ln}\;x \) se define como

\( \mbox{ln(x)}:\;\begin{cases}{A_x}&\text{si}& x\geq{1}\\-A_x & \text{si}& 0<x<1\end{cases} \)

Estamos hablando de integrales, a las que todavía el temario no ha llegado, y también evita graficar la función. Es una aproximación a la función que pretende tener en cuenta el punto en el que está el lector, familiarizado con los límites, las derivadas, y una vaga noción de primitiva de una función; y que por otra parte se inicia el capítulo de funciones trascendentes. Así se aborda el Teorema 1:

2- Si \( x>0 \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}\mbox{ln}\;x=\dfrac{1}{x} \)

DEMOSTRACIÓN

Para \( x>0 \) y \( h>0 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región plana limitada por la función, la abscisa, y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \). Se acota este área, se opera, y tenemos un cociente de Newton. Aplicando límites y por el Teorema del Sandwich, llegamos al resultado deseado.

Para \( x>0 \) y \( h<0 \) se llega al mismo resultado. Y queda demostrado el teorema.

La duda que planteo en el primer mensaje creo que está resuelta. He revisado toda mi historia académica, he leído el texto del libro, el hilo, y pienso que la duda la ha resuelto magistralmente el Rincón.


Un ejemplo más sencillo.
Sea la función \( f(x) = 1 \) para todo \( x \in \mathbb{R}  \).
Sea \( g \) definida por \( f(x) \cdot (x-1) \) tenemos que \( g(1)=0 \) si \( x > 1 \) entences \( g(x) \) es el área que hay debajo de \( f(x) \) desde uno hasta \( x \).
Si \(  0 < x < 1 \) tenemos que \( g(x) = f(x) \cdot (x-1) = -f(x) \cdot (1-x) \) que es menos el área que hay debajo de \( f(x) \) desde \( x \) hasta uno.


Aquí lo he entendido.


para una mejor interpretación en mi opinión en vez de graficar el logaritmo (que digamos, de momento es algo que se nos escapa) podemos interpretarlo puramente como el área:

En este caso estamos con el \( \ln(2) \) y el \( \ln(3) \).
Si barremos el área desde 1 hasta 3, y luego le quitamos el área que barremos desde 1 hasta 2 finalmente nos quedamos solamente con el área barrida desde 2 hasta 3.


El punto de vista gráfico. Gracias

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

03 Agosto, 2021, 10:53 pm
Respuesta #13

Marcos Castillo

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Hola, estimado Rincón. Me ha vuelto a surgir la duda que planteaba al principio de este hilo. Cito el primer mensaje:

Hola, RM

Tengo la siguiente definición de logaritmo natural, y una duda. Cito primero:

Citar
DEFINICIÓN 6 Logaritmo natural

Para \( x>0 \), sea el área de la región plana encerrada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \). La función \( \mbox{ln}\;x \) se define como

\( \mbox{ln}=\;x\begin{cases}{A_x}&\text{si}& x\geq{1}\\-A_x & \text{si}& 0<x<1\end{cases} \)

y se muestra en la Figura 3.9.




La definición implica que \( \mbox{ln}\;1=0 \), que \( \mbox{ln}\;x>0 \) si \( x>1 \), que \( \mbox{ln}\;x<0 \) si \( 0<x<1 \) y que es una función uno a uno. Ahora demostraremos que si \( y=\mbox{ln}\;x \), entonces \( y'=1/x \). La demostración de este resultado es similar a la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo que proporcionaremos en la sección 5.5

TEOREMA 1 Si \( x>0 \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}\mbox{ln}\;x=\dfrac{1}{x} \)

DEMOSTRACIÓN Para \( x>0 \) y \( h>0 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región plana limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \), y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \). Corresponde al área sombreada en la Figura 3.10. Comparando esta área con la de los dos rectángulos se puede ver que

\( \dfrac{h}{x+h}<\mbox{area sombreada}=\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x<\dfrac{h}{x} \)

Por tanto, el cociente de Newton de \( \mbox{ln}\;x \) cumple

\( \dfrac{h}{x+h}<\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)}{h}<\dfrac{1}{x} \)

Haciendo que \( h \) tienda a cero por la derecha, se obtiene (por el Teorema del Sandwich aplicado a límites unilaterales)

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0+}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)





Un argumento similar permite demostrar que si \( 0<x+h<x \), entonces

\( \dfrac{1}{x}<\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)}{h}<\dfrac{1}{x+h} \)

por lo que

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0-}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)

Combinando estos dos límites laterales se obtiene el resultado deseado:

\( \dfrac{d}{dx}\mbox{ln}\;x=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)


Duda: ¿es a partir de la definición de logaritmo natural la demostración de que si \( y=\mbox{ln}\;x \), entonces \( y'=1/x \)? En ese caso tendría una duda que no sé concretar muy bien: ¿cómo sabe que \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. Distingo tres casos:

1- para \( 1>x>0 \) y \( 1>h>0 \), a partir de la definición, el área de la región limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \), y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \), sería \( -(\mbox{ln}\;(x+h)+\mbox{ln}\;x) \);

2- para \( x>1 \) y \( 1>h>0 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \);

3- para \( x>1 \) y \( h>1 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)+\mbox{ln}\;x \).

¡Un saludo!

He iniciado un hilo en Physics Forums para solucionar la duda:

https://www.physicsforums.com/threads/how-to-conclude-a-mathematical-expression-with-the-provided-background.1005619/

¿Se sabe, partiendo de la definición de logaritmo natural, que \( \ln(x+h)-\ln x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. Distinguen tres casos ( \( x \) y \( h \) son ambos mayores que cero):

1) \( x<1 \) y \( (x+h)<1 \)
2) \( x<1 \) y \( (x+h)\geq 1 \)
3) \( x\geq1 \) y \( (x+h)\geq 1 \)

La definición implica que \( \mbox{ln}\;1=0 \), que \( \mbox{ln}\;x>0 \) si \( x>1 \), que \( \mbox{ln}\;x<0 \) si \( 0<x<1 \) y que es una función uno a uno.

Batería >:D de preguntas:

a-¿Cómo ha llegado a este desglose de casos para \( x \) y \( (x+h) \)? Antes de leerlo me parecía una tarea complicadísima y no llegaba a ninguna conclusión; ahora que lo veo tengo la sensación de que era terríblemente sencillo. ¿Por qué es exhaustivo?.

b-¿Por qué para estos tres casos, el área de la región limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \) y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \), es, en los tres casos, \( \ln (x+h)-\ln x \)?.

Mi intento:

a- Ha partido del hecho de que \( x \) y \( h \) eran ambos mayores que cero:
1)-Tanto \( x \) como \( (x+h) \) son mayores que cero. Ambos están en el caso donde el área es negativa.
2)-\( x \) está en el caso del área negativa, y \( (x+h) \) cubre cuando el área es nula o mayor que cero.
3)-Para \( x \) tal que esta se encuentre allí donde el área es menor o igual a cero, y \( (x+h) \) igual o mayor que cero.
¿Es una cuestión de combinatoria de casos distintos para la variable independiente?.

b- Una función inyectiva, o uno a uno, lo es si a elementos distintos de una función de dominio \( X \) le corresponden elementos distintos del codominio \( Y \). ¿Por qué es inyectiva? ¿Me sirve esto para afirmar que para todos los escenarios posibles establecidos anteriormente, el área bajo la curva \( y=1/t \), \( x \) y \( (x+h) \) es \( \ln(x+h)-\ln x \)?

¡Vaya intento! ???

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

03 Agosto, 2021, 11:26 pm
Respuesta #14

franma

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Buenas Marcos Castillo,

A ver si te puedo ayudar con tus dudas:

Te lo dejo a continuación en spoiler ¿Por que? Porque lo hice con integrales y no te quiero marear, si quieres échale un vistazo y seguimos hablando.

Spoiler
¿Se sabe, partiendo de la definición de logaritmo natural, que \( \ln(x+h)-\ln x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. Distinguen tres casos ( \( x \) y \( h \) son ambos mayores que cero):

Creo que la confusión puede venir la definición que da el libro para \( \ln(x) \) pues para uno puede ser complicado el hecho de que se necesiten calcular areas.

Me voy a basar en la definición del libro pero "formalizada", simplemente lo expondré como integrales, ya que en mi opinión las propiedades se ven mas fácilmente y se opera con mas fluidez.

Ahora el libro dice:

Citar
DEFINICIÓN 6 Logaritmo natural

Para \( x>0 \), sea el área de la región plana encerrada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \). La función \( \mbox{ln}\;x \) se define como

\( \mbox{ln}x=\;\begin{cases}{A_x}&\text{si}& x\geq{1}\\-A_x & \text{si}& 0<x<1\end{cases} \)

Que podremos expresar ahora como \( \displaystyle \ln(x)=\int_1^x \dfrac{1}{t}dt \)

Vamos con tus dudas:

¿Se sabe, partiendo de la definición de logaritmo natural, que \( \ln(x+h)-\ln x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?.

Hagamos las cuentas:

\( \displaystyle \ln(x+h)-\ln x = \int_1^{x+h} \dfrac{1}{t}dt-\int_1^x \dfrac{1}{t}dt \)

\( =-\int_{x+h}^{1} \dfrac{x+h}{t}dt-\int_1^x \dfrac{1}{t}dt \)

\( \displaystyle=-\left(\int_{x+h}^{1} \dfrac{1}{t}dt+\int_1^x \dfrac{1}{t}dt\right) \)

\( \displaystyle=-\left(\int_{x+h}^{1} \dfrac{1}{t}dt+\int_1^x \dfrac{1}{t}dt\right) \)

\( =-\displaystyle \int_{x+h}^x \dfrac{1}{t}dt \)

\( =\displaystyle \int_{x}^{x+h} \dfrac{1}{t}dt \)

Fíjate que esta expresión es exactamente lo que queríamos (o pretendíamos encontrar) el área bajo la función 1/t entre x y x+h.
 
Fijate que aqui no nos importan ningunos casos particulares esto es SIEMPRE (que estemos en el dominio claro).
[cerrar]

Luego la parte de los "desgloses" no la entiendo sinceramente, ¿para que separar en tantos casos? ¿El libro les da alguna importancia particular?

b- Una función inyectiva, o uno a uno, lo es si a elementos distintos de una función de dominio \( X \) le corresponden elementos distintos del codominio \( Y \). ¿Por qué es inyectiva? ¿Me sirve esto para afirmar que para todos los escenarios posibles establecidos anteriormente, el área bajo la curva \( y=1/t \), \( x \) y \( (x+h) \) es \( \ln(x+h)-\ln x \)?

Te dejo una prueba de la inyectividad de \( \ln(x) \):

Spoiler
Sea \( \ln(x)=\ln(y) \) y queremos probar que x=y.

\( \ln(x)-\ln(y)=0 \)

\( \ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=0 \)

\( \ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln(1) \)

Utilizamos la inversa a ambos lados de la igualdad.

\( \dfrac{x}{y}=1 \Rightarrow x=y \)
[cerrar]

Luego para tu pregunta: No importa que sea inyectiva o no, se desprende de una propiedad de las integrales.
Fíjate que si en mi desarrollo cambias \( \dfrac{1}{t} \) por la función que quieras (integrable claro), llegaras a la misma conclusión.

Cualquier cosa repregunta :).

Saludos,
Franco.
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04 Agosto, 2021, 12:56 pm
Respuesta #15

Marcos Castillo

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¡Hola,franma!

Muy interesante tu último mensaje, pero el empleo de integrales es tabú :laugh:. Hay que llegar a \( \ln(x+h)-\ln x \) prescindiendo de nada que no sea la definición del libro. Revisando el hilo he visto una aportación tuya que me ha resultado muy interesante. Voy a investigar por aquí, y voy a seguir tu consejo de hacer un dibujo. Lo voy a intentar con Geogebra. ¡Estamos!


...En ese caso tendría una duda que no sé concretar muy bien: ¿cómo sabe que \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. ...

Como nos definen el logaritmo, pensémoslo como esa función que nos da el área debajo de \( f(t)=\dfrac{1}{t} \).
Entonces primero tenemos \( \ln(x+h) \) que es al área entre la recta \( y=1 \) e \( y=x+h \).
Luego le quitamos \( \ln(x) \) que es el área entre la recta \( y=1 \) e \( y=x \).

Puedes ayudarte de un dibujo para convencerte, esta operación nos dejara solamente con el área entre las rectas \( y=x \) e \( y=x+h \).

Luego si te han presentado las sumas superiores o inferiores puedes ayudarte de ellas, para aproximar / acotar el valor del logaritmo.
\( \dfrac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \)
Aunque también es posible hacerlo con un argumento geométrico.

Espero haya sido de ayuda :).

Saludos,
Franco.
No man is an island (John Donne)

04 Agosto, 2021, 05:24 pm
Respuesta #16

argentinator

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05 Agosto, 2021, 02:05 pm
Respuesta #17

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Yo probaría la inyectividad pasando primero por demostrar que es una función estrictamente monótona.

¡Perfecto! Me paso otra vez a Physics Forums. Volveré, como ese de la peli... :laugh:

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

05 Agosto, 2021, 02:39 pm
Respuesta #18

franma

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Yo probaría la inyectividad pasando primero por demostrar que es una función estrictamente monótona.

¡Perfecto! Me paso otra vez a Physics Forums. Volveré, como ese de la peli... :laugh:

¡Un saludo!

Aprovechando que en el libro se demostró que \( (\ln x)'=\dfrac{1}{x} \), se pueden sacar las conclusiones directamente de la derivada.

Saludos,
Franco.
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06 Agosto, 2021, 03:08 pm
Respuesta #19

Marcos Castillo

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Hola, estimado Rincón, franma, ahora soy yo el que teme sobrecargar el hilo. El caso es que he resuelto la duda: primero, ahora sé cuál era la pregunta:


¿Cómo se sabe, partiendo de la definición de logaritmo natural, que \( \ln(x+h)-\ln x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. Distinguimos tres casos ( \( x \) y \( h \) son ambos mayores que cero):

1) \( x<1 \) y \( (x+h)<1 \)
2) \( x<1 \) y \( (x+h)\geq 1 \)
3) \( x\geq1 \) y \( (x+h)\geq 1 \)


Y los han resuelto por mí. Yo os lo traslado en tres archivos de Geogebra.







¡Un abrazo!
No man is an island (John Donne)