Autor Tema: Integral definida

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

01 Julio, 2021, 10:42 am
Respuesta #10

DaniM

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 79
  • País: cz
  • Karma: +0/-0
Hola,

Debido a un asunto ajeno estaba haciendo un programilla para calcular númericamente integrales inferiores de funciones, básicamente haciendo sumas inferiores a lo cutre, y se me ocurrió testearlo con la integral planteada aquí. Realmente no aporta ningún conocimiento nuevo al post, pero lo dejo como curiosidad:



Código: [Seleccionar]
def f (x):
return (x / (2 + (x**7)))

# We assume the function to be continuous in the interval [a, b]
def getInferiorIntegralOfFunction (a, b, subintervals):
result = 0
for k in range (subintervals):
x_k = a + ((b - a) / subintervals) * k
x_k_next = a + ((b - a) / subintervals) * (k + 1)
result += (x_k_next - x_k) * f(x_k)

return result

print (getInferiorIntegralOfFunction (0, 1, 1000000))

El tercer resultado que obtengo, \( 0.22806096... \), se aproxima bastante al de WolframAlpha, \( 0.228061 \), pero se me hace curioso que por cada orden de magnitud que aumento las subdivisiones del intervalo \( [0, 1] \) solo me aproxime a lo sumo un dígito más a la solución, y ni eso.

01 Julio, 2021, 08:12 pm
Respuesta #11

mathtruco

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,346
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • El gran profesor inspira
Hola DaniM, también me parece curioso lo lento que converge a la solución la suma inferior, nunca había hecho ese análisis, así que gracias por compartirlo.

NoelAlmunia:
Insisto en la pregunta inicial que hice, en qué contexto te aparece ese ejercicio? Si tienes nociones de cálculo numérico entonces es más fácil aplicar alguna cuadratura para hallar su valor aproximado.

01 Julio, 2021, 08:52 pm
Respuesta #12

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,189
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

...
NoelAlmunia:
Insisto en la pregunta inicial que hice, en qué contexto te aparece ese ejercicio? Si tienes nociones de cálculo numérico entonces es más fácil aplicar alguna cuadratura para hallar su valor aproximado.

Creo que Noel no se ha encontrado esa integral al resolver otro problema, Noel ha publicado varios problemas similares, supongo que está "disfrutando" de sustituir funciones por series de potencias que simplifiquen este tipo de integrales. Es divertido e interesante.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

02 Julio, 2021, 02:42 am
Respuesta #13

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,936
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Otra forma (aunque es equivalente a mi primera solución) es observar que con el cambio de variable \( x=\frac1{y+1} \) tenemos que

\( \displaystyle{
\int_0^{1}\frac{x}{2+x^7}\mathop{}\!d x=\int_0^{\infty }\frac{(y+1)^4}{2(y+1)^7+1}\mathop{}\!d y
} \)

Ahora bien: integrales del tipo \( \int_0^{\infty }R(t)\mathop{}\!d t \) donde \( R \) es una función racional bien definida en \( [0,\infty ) \) y \( \lim_{t\to \infty }|R(t)|/t^2>0 \) se pueden resolver utilizando integrales de contorno como la de este hilo, tal que

\( \displaystyle{
\int_{0}^{\infty }R(x)\mathop{}\!d x=-\sum_{z\neq 0}\operatorname{res}_z(R\cdot \log )
} \)

donde el logaritmo complejo utilizado es en la rama tal que \( \arg(z)\in[0,2\pi) \). Cuando los polos de \( f/g \), para funciones holomorfas \( f,g \), son simples tenemos que \( \operatorname{res}_z(f/g)=f(z)/g'(z) \). Por tanto, uniendo todo (y si no hay error en los cálculos), tenemos que

\( \displaystyle{
\int_0^{1}\frac{x}{2+x^7}\mathop{}\!d x=-\sum_{k=1}^7\frac{\log (\alpha _k-1)}{14\alpha _k^2}
} \)

donde los \( \alpha _k \) son las diferentes soluciones a la ecuación \( z^7=-1/2 \).

02 Julio, 2021, 03:52 pm
Respuesta #14

NoelAlmunia

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 92
  • País: cu
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

...
NoelAlmunia:
Insisto en la pregunta inicial que hice, en qué contexto te aparece ese ejercicio? Si tienes nociones de cálculo numérico entonces es más fácil aplicar alguna cuadratura para hallar su valor aproximado.

Creo que Noel no se ha encontrado esa integral al resolver otro problema, Noel ha publicado varios problemas similares, supongo que está "disfrutando" de sustituir funciones por series de potencias que simplifiquen este tipo de integrales. Es divertido e interesante.

Saludos

Si mathtruco, es un ejercicio de una sección que estoy estudiando sobre representación de funciones como series de potencia mediante la manipulación de series geométricas, o mediante derivación o integración de dichas series.
Esta estratégia es muy útil en la integración de funciones que no tienen antiderivadas elementales, en la solución de ecuaciones diferenciales y para aproximar funciones mediante polinomiales.
Los científicos lo hacen así para simplificar las expresiones con las que trabajan, los especialistas en computación lo hacen así para representar funciones en calculadoras y computadoras. Saludos cordiales.