Autor Tema: Número de cifras en base 3

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01 Mayo, 2008, 05:13 pm
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7up

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Hola.
Tengo una duda con un problema que he resuelto, pero no sé si estará del todo bien. No tengo confianza con este tipo de problemas.

¿De cuántas formas un número de n cifras en base 3 puede tener al menos un 0 , al menos un 1, y al menos un 2?

Yo entiendo que se deben dar las 3 condicones simultáneamente, por tanto \( n\geq{3} \)
Primero analizo la forma de distribuir un 0, un 1 y un 2:
Considerando que el primer dígito sea no-nulo, existen:
                      \( (n-1)^2(n-2) \) formas de distribuirlo
El resto de números, como pueden repetirse, podré colocarlo en las restantes \( (n-3) \) posiciones:
                       \( 2\cdot{}3^{n-2} \) formas
He considerado que en la primera posición debe ser no-nulo.
Por tanto el total es:
\( (n-1)^2(n-2)2\cdot{}3^{n-2} \)

La duda que tengo, es que no sé si el considerar dos veces que el primer dígito sea no-nulo, estaré contando mal.

Saludos.

02 Mayo, 2008, 11:34 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Permíteme que me meta en tu papel.

 7up - ¿Habré resuelto bien el problema? ¿Cómo saberlo? Puedo preguntar al foro... pero a veces son tan lentos...Eurkea...

 7up - Para \( n=3 \), puedo contar a mano los casos:

 120,102,201,210

 Cuatro casos. Con mi fórmula:

 \( (3-1)^2(3-2)\cdot 2\cdot 3^0=8 \)

 7up - ¡¡¡NOOO!!!

 Fin de la representación.

 Conclusión: tu fórmula falla.
 
 Veamos como contar. Primero contamos todas las posibilidades. Son:

\(  2\cdot 3^{n-1} \)

 Luego le restamos los que solo usan el 1,2; el 0,1; ó el 0,2. Son:

\(  2^n+2^{n-1}+2^{n-1} \)

 Pero, cuidado, así hemos restado dos veces los números formados por una sóla cifra (por el uno o por el dos). Así hay que sumarle dos opciones.

 Por tanto en definitiva las posibilidades totales son:

\(  2\cdot 3^{n-1}-(2^n+2^{n-1}+2^{n-1})+2=2(3^{n-1}-2^n+1) \)

Saludos.

02 Mayo, 2008, 04:08 pm
Respuesta #2

7up

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Gracias por la respuesta.

Saludos.