[cristianoceli]

Hola estaba estudiando y me surgió esta duda en este ejercicio:

Hola tengo problemas con este ejercicio:

Para un entero \( n> 1 \) denotemos \( Z_n \) el grupo cíclico de orden \( n \)

a) Pruebe que todo homomorfismo \( Z_{10}  \longrightarrow Z_9 \) es trivial
b) Encuentre todos los homomorfismos de grupo \(  f: Z_{10}  \longrightarrow Z_8 \)

Lo que he hecho:

a) Tenemos que \( f: Z_{10}  \longrightarrow Z_9 \) es un homomorfismo \(  f(x) =1 \) pero no se como justificarlo mejor.

b) No se muy bien como encontrarlo.

De antemano gracias.

[Fernando Revilla]

Para un entero \( n> 1 \) denotemos \( Z_n \) el grupo ciclico de orden\(  n \)
a) Pruebe que todo homomorfismo \( Z_{10}  \longrightarrow Z_9 \) es trivial

Si \( G \) es un grupo cíclico y \( \phi:G\to G^\prime \) un homomorfismo de grupos, el homomorfismo queda determinado dando el transformado de un generador de \( G \). Si existiera un homomorfismo de grupos no trivial \( \phi: \mathbb{Z}_{10}\to \mathbb{Z}_9 \), entonces \( \phi (1)=g\ne 0 \). Pero \( 0=\phi (10)=10g=1g=g \), lo cual es absurdo.

Veamos si lo anterior te da la idea para la segunda parte.

[cristianoceli]

Para un entero \( n> 1 \) denotemos \( Z_n \) el grupo ciclico de orden\(  n \)
a) Pruebe que todo homomorfismo \( Z_{10}  \longrightarrow Z_9 \) es trivial

Si \( G \) es un grupo cíclico y \( \phi:G\to G^\prime \) un homomorfismo de grupos, el homomorfismo queda determinado dando el transformado de un generador de \( G \). Si existiera un homomorfismo de grupos no trivial \( \phi: \mathbb{Z}_{10}\to \mathbb{Z}_9 \), entonces \( \phi (1)=g\ne 0 \). Pero \( 0=\phi (10)=10g=1g=g \), lo cual es absurdo.

Veamos si lo anterior te da la idea para la segunda parte.

Entiendo que un homomorfismo del grupo cíclico \( Z_m \)en cualquier otro grupo está determinado por el transformado del genrador como tu me explicaste Entonces el generador debe enviarse a un elemento cuyo orden divida \( m \).

En este caso debo buscar \( MCD(10,8)=2 \) si no he entendido mal no veo cuales son son

Saludos

[Fernando Revilla]

    Si \( f:\mathbb{Z}_{10}\to \mathbb{Z}_8 \) es homomorfismo de grupos, entonces

        \( f(\bar{1})=k\bar{1} \) con \( 0\le k \le 7. \)

Como  \( f(\bar{0})=\bar{0} \) se ha de verificar \( 10k\text{ (mod 8)}=0\text{ (mod 8)} \). Tenemos,

        \( 10k\text{ (mod 8)}=0\text{ (mod 8)}\Rightarrow 8\mid 10k\Rightarrow 4\mid 5k\Rightarrow 4\mid k\Rightarrow k=0\text{ o }k=4 \).

Solamente hay dos posibles homomorfismos:

        \( f(\bar{1})=0\bar{1}=\bar{0} \) (que es el homomorfismo trivial),
        \( g(\bar{1})=4\bar{1}=\bar{4} \).

Intenta demostrar si \( g \) es o no homomorfismo.

[cristianoceli]

    Si \( f:\mathbb{Z}_{10}\to \mathbb{Z}_8 \) es homomorfismo de grupos, entonces

        \( f(\bar{1})=k\bar{1} \) con \( 0\le k \le 7. \)

Como  \( f(\bar{0})=\bar{0} \) se ha de verificar \( 10k\text{ (mod 8)}=0\text{ (mod 8)} \). Tenemos,

        \( 10k\text{ (mod 8)}=0\text{ (mod 8)}\Rightarrow 8\mid 10k\Rightarrow 4\mid 5k\Rightarrow 4\mid k\Rightarrow k=0\text{ o }k=4 \).

Solamente hay dos posibles homomorfismos:

        \( f(\bar{1})=0\bar{1}=\bar{0} \) (que es el homomorfismo trivial),
        \( g(\bar{1})=4\bar{1}=\bar{4} \).

Intenta demostrar si \( g \) es o no homomorfismo.

Muy claro muchas gracias,

Saludos