Hola ferbad.
La sucesión \( (a_n) \) converge a \( 1/4 \), y como bien dices, la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n \) diverge por algún criterio que conoces.
La sucesión \( (a_n) \) corresponde a los números
\( a_1,a_2,a_3,\dots a_n,\dots \)
esto es
\( \dfrac{1}{5},\;\dfrac{2}{9},;\dfrac{3}{13},\;\dots\;, \dfrac{n}{4n+1},\;\dots\;, \dfrac{1}{4} \)
Sólo para ganar intuición, usando decimales la sucesión es:
\( a_1=0.2,\;a_2=0.22222,\;a_3=0.23077,\;a_4=0.23529\;,a_5=0.23810,\; \dots\; a_{50}=0.24876\; \dots \;a_{100}=0.24938 \), etc.
Lo que haz calculado es \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\dfrac{1}{4} \), es significa que la sucesión converge a \( \dfrac{1}{4} \).
