Autor Tema: El Teorema del Valor Intermedio

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

28 Enero, 2021, 06:15 pm
Respuesta #20

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
He estado leyendo algo en Wikipedia, y algún hilo...Si digo lo que quiero, me estoy saliendo del contexto, pero no puedo evitarlo.

No entiendo. Puedes decir lo que quieras y hablar de lo que quieras. No hay ningún contexto al que restringirse. En todo caso, si un hilo deriva de forma natural hacia otro tema, se parte en dos si es necesario y listos.

"la construcción de los números reales para demostrar el  axioma del supremo es un camino, bien; pero el axioma del supremo se emplea para construir los números reales, es decir, es como la pescadilla que se muerde la cola".

No es así. Tienes varias opciones independientes unas de las otras. Una es presentar axiomáticamente los números reales, en cuyo caso necesitas incluir el axioma del supremo para que puedas decir que los números de los que hablas son los números reales y no algo parecido pero no igual.

Pero otra, completamente independiente de la que, por lo visto has estudiado, es construir los números reales sin axioma alguno (o, más precisamente, basándote en los axiomas generales de la teoría de conjuntos). Hay varias construcciones posibles. Las más habituales son la de Dedekind, que define los números reales como secciones de \( \mathbb Q \) y la de Cantor, que los define como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales. Hay otra de Kronecker, pero es menos práctica.

Voy a describir un poco la de Dedekind, para que te hagas una idea de lo que supone construir los números reales.

Según esta construcción, sin dar ningún axioma ni nada, se define un número real \( \alpha \) como un subconjunto \( \alpha\subset \mathbb Q \) que cumpla las propiedades siguientes:

  • \( \emptyset \subsetneq \alpha\subsetneq \mathbb Q \), es decir, hay números racionales que están en \( \alpha \) y también otros que no lo están.
  • Si \( r, s\in \mathbb Q \) cumplen \( r<s\in \alpha \), entonces \( r\in \alpha \) (todo número a la izquierda de un elemento de \( \alpha \) está en \( \alpha \)).
  • Si \( r\in \alpha \), existe un número racional \( s \) tal que \( r<s\in\alpha \) (\( \alpha \) no tiene máximo elemento).

Se define \( \mathbb R \) como el conjunto de todos los conjuntos \( \alpha \) que cumplen las propiedades anteriores. Ya tienes los números reales construidos sin usar ningún axioma. Los números reales son eso y nada más que eso. Ahora falta probar que en esos objetos que hemos llamado números reales se puede definir una suma, un producto y una relación de orden de modo que se cumplen todas las propiedades que a ti te han dado como axiomas al presentarte los números reales, incluso el axioma del supremo. Todo eso se puede demostrar sin apoyarse en ningún axioma sobre números reales.

La idea subyacente a esta construcción es que cada número real se define como el conjunto de todos los números reales que deberían ser menores que él. Por ejemplo, con esta construcción,

\( \sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid  r<0\}\cup \{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \)

La raíz cuadrada de \( 2 \) es el conjunto de todos los números racionales negativos (que ciertamente son menores que \( 1.4142\ldots \)) y todos los números positivos cuyo cuadrado es menor que \( 2 \).

La relación de orden en \( \mathbb R \) es simplemente la inclusión: se dice que un número real \( \alpha \) es menor o igual que otro \( \beta \) si cumplen \( \alpha\subset \beta \).

Es fácil demostrar que todo conjunto \( S\subset \mathbb R \) no vacío y acotado superiormente tiene una mínima cota superior. Concretamente, se demuestra que ésta es el número real

\( s=\bigcup\limits_{\alpha\in S}\alpha \).

Es decir, se demuestra sin gran dificultad que este \( s \) cumple las tres propiedades que definen a los números reales y que es la menor cota superior de \( \color{red}S \). Y así tienes demostrado el axioma del supremo sin basarte circularmente en él en ningún momento.

29 Enero, 2021, 04:57 am
Respuesta #21

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,014
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, Carlos, muy buena idea dividir el hilo, pero, ¿cuál es el enlace del nuevo hilo?
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

29 Enero, 2021, 05:43 am
Respuesta #22

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,355
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

29 Enero, 2021, 09:48 am
Respuesta #23

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,014
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Hola, Carlos¡

Me cuesta entender las secciones de Dedekind como construcción de los reales. Intercalo las dudas en cursiva y en rojo en la cita donde las defines:


Pero otra, completamente independiente de la que, por lo visto has estudiado, es construir los números reales sin axioma alguno (o, más precisamente, basándote en los axiomas generales de la teoría de conjuntos). Hay varias construcciones posibles. Las más habituales son la de Dedekind, que define los números reales como secciones de \( \mathbb Q \) y la de Cantor, que los define como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales. Hay otra de Kronecker, pero es menos práctica.

Voy a describir un poco la de Dedekind, para que te hagas una idea de lo que supone construir los números reales.

Según esta construcción, sin dar ningún axioma ni nada, se define un número real \( \alpha \) como un subconjunto \( \alpha\subset \mathbb Q \) que cumpla las propiedades siguientes:

  • \( \emptyset \subsetneq \alpha\subsetneq \mathbb Q \), es decir, hay números racionales que están en \( \alpha \) y también otros que no lo están.
(Yo lo leo como: un corte no puede ser el conjunto vacío, ni \( \mathbb Q \))

  • Si \( r, s\in \mathbb Q \) cumplen \( r<s\in \alpha \), entonces \( r\in \alpha \) (todo número a la izquierda de un elemento de \( \alpha \) está en \( \alpha \)).
  • Si \( r\in \alpha \), existe un número racional \( s \) tal que \( r<s\in\alpha \) (\( \alpha \) no tiene máximo elemento).

Se define \( \mathbb R \) como el conjunto de todos los conjuntos \( \alpha \) que cumplen las propiedades anteriores. Yo hasta ahora sólo veo racionales. No veo reales Ya tienes los números reales construidos sin usar ningún axioma. Los números reales son eso y nada más que eso. Ahora falta probar que en esos objetos que hemos llamado números reales se puede definir una suma, un producto y una relación de orden de modo que se cumplen todas las propiedades que a ti te han dado como axiomas al presentarte los números reales, incluso el axioma del supremo. Todo eso se puede demostrar sin apoyarse en ningún axioma sobre números reales.

La idea subyacente a esta construcción es que cada número real se define como el conjunto de todos los números reales que deberían ser menores que él. Por ejemplo, con esta construcción, ¿Cada número real podría ser cada corte?

\( \sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid  r<0\}\cup \{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \)

La raíz cuadrada de \( 2 \) es el conjunto de todos los números racionales negativos (que ciertamente son menores que \( 1.4142\ldots \)) y todos los números positivos cuyo cuadrado es menor que \( 2 \). ¿Te refieres a la unión?¿cómo un número puede ser un conjunto de números?

La relación de orden en \( \mathbb R \) es simplemente la inclusión: se dice que un número real \( \alpha \) es menor o igual que otro \( \beta \) si cumplen \( \alpha\subset \beta \).

Es fácil demostrar que todo conjunto \( S\subset \mathbb R \) no vacío y acotado superiormente tiene una mínima cota superior. Concretamente, se demuestra que ésta es el número real

\( s=\bigcup\limits_{\alpha\in S}\alpha \).
No lo entiendo

Es decir, se demuestra sin gran dificultad que este \( s \) cumple las tres propiedades que definen a los números reales y que es la menor cota superior de \( s \) ¿Te refieres a \( S \)?. Y así tienes demostrado el axioma del supremo sin basarte circularmente en él en ningún momento.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

29 Enero, 2021, 01:05 pm
Respuesta #24

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,666
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, Marcos.

Te digo lo que yo interpreto (no estoy seguro del todo de si acierto, pero así voy también intentando entender la idea).

Entiendo que se trata de identificar los números reales con una idea, con algo; del mismo modo que identificamos los naturales con signos lingüisticos o escritos. Aquí se identifican con conjuntos y esos conjuntos son los de los números estrictamente menores que el número real identificado; supongo que hay que verlo así, como una biyección con cosas, sin darle demasiadas vueltas.

Dado cualquier “r”, existe siempre un racional “s” mayor que “r”; fíjate que esto no implica que sólo se consideren los racionales, “r” puede ser irracional y siempre existe un racional mayor; por ejemplo, 3,15 es un racional mayor que \( \pi \). Con ello, \( \pi\in3,15
  \), porque es menor que el; es decir, está en el conjunto que identifica al número 3,15.

El problema que dan los números reales está entre medias de dos cualesquiera, al poderse escribir con infinitos decimales (aunque sea una mantisa de ceros en el caso de los enteros) siempre existen números entre dos reales que elijas, por muy juntos que estén. Pero son distintos y, por tanto, teóricamente sabemos que han de llevar un orden. En la práctica vamos a poder comparar los números incluso aunque no sepamos si son racionales o irracionales; dados 2,345... y 2,344... ya vemos que el primero es mayor que el segundo; sean cuales sean las cifras que vengan después, no necesitamos conocer su valor exacto, nos basta con eso para establecer una relación de orden entre ellos. Todos los números que tú puedas escribir (y no hace falta escribirlos) añadiendo las distintas cifras que sea y en la cantidad que sea, que están detrás de 2,344999..., y éste incluido, pertenecen a 2,345... porque siempre son menores (salvo que consideremos eso como un periodo infinito de nueves, que en ese caso podría ser, quizá, igual de grande que 2,345... según las cifras que sigan; pero establezcamos que no nos referimos a eso).

Entonces, con lo dicho, el conjunto de todos los \( x=2,344999...-|r
 | \) con \( r\in\mathbb{R}
  \) sería el número 2,345... (pues r puede ser cero, está incluido el propio número descrito).

*(Bueno, es sólo el conjunto de los racionales menores, entonces sería \( x=(2,344999...-|r|)\cap\mathbb{Q}
  \), \( r\in\mathbb{R}
  \))

Añadamos alguna cifra más al número que teníamos por ver si puede haber confusión: 2,3451... No hay confusión, éste sería el conjunto de los elementos \( x=2,3450999...-|r
 | \), que es distinto del anterior.

Podemos añadir dos cifras y tener uno más pequeño, por ejemplo, 2,34501... pero volvemos a obtener un conjunto diferente a los anteriores \( x=2,34500999...-|r
 | \).

Por la construcción, vemos que siempre va a pasar, no van a ser iguales, según se añadan unas cifras u otras, cambia. Luego así podemos ir estableciendo una biyección entre números e ideas distintivas (las cuales podemos representar por ejemplo de ese modo) para cada uno de ellos.

Saludos.

29 Enero, 2021, 01:29 pm
Respuesta #25

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
(Yo lo leo como: un corte no puede ser el conjunto vacío, ni \( \mathbb Q \))

Es lo mismo. Decir que \( \alpha\neq \emptyset \) es decir que algún número racional está en \( \alpha \) y decir que \( \alpha\neq \mathbb Q \) es decir que algún número racional no está en \( \alpha \).


Yo hasta ahora sólo veo racionales. No veo reales

Je, je. Es como si te pones gafas de rayos X y dices: no veo personas, sólo esqueletos. Es que, de acuerdo con esta construcción, un número real, como \( \alpha = 2 \), es por definición el conjunto de números racionales

\( \alpha =\{r\in \mathbb Q\mid r<2\} \),

donde el \( 2 \) que aparece ahí es el número racional \( 2 \). Ese conjunto de números racionales que ves ahí es el número real \( 2 \). Lo que ocurre es que cuando escribes \( 2\in\mathbb R \) no te pones las gafas de rayos X y "no le ves el esqueleto", pero lo que estás viendo es eso, lo sepas o no. Ese conjunto de números racionales es el número real \( 2 \). Para verlo como tal número real sólo tienes que mentalizarte de que ese conjunto se llama \( 2 \).

¿Cada número real podría ser cada corte?

Exacto. Cada número real es un corte de \( \mathbb Q \). Un número real es un conjunto cuyos elementos son los números racionales que tienen que ser menores que él, de modo que si \( r\in \alpha \) eso significa que \( r<\alpha \), mientras que si \( r\in \mathbb Q\setminus\alpha \) eso significa que \( \alpha\leq r \).

¿Te refieres a la unión?¿cómo un número puede ser un conjunto de números?

Hace un momento parecías dispuesto a aceptar que un número real fuera un corte, y un corte es un conjunto de números. ¿Ahora te chirría?

Estamos hablando de una construcción de \( \mathbb R \) en el seno de la teoría de conjuntos, y todos los objetos definidos en la teoría de conjuntos son conjuntos. Otra cosa es que en muchos casos los elementos de un objeto sean un "esqueleto" que no nos interesa y no lo tengamos en cuenta. No hay ningún objeto matemático que tú conozcas (o cualquiera) que oficialmente no sea un conjunto cuando lo consideras en el seno de la teoría de conjuntos.

Por ejemplo, un par ordenado \( (3, 4) \) se define como el conjunto \( \{\{3\},\{3, 4\}\} \), aunque en la práctica a nadie le importa que esa sea "su radiografía". Lo mismo vale para números, polinomios, funciones, etc. Por ejemplo, si consideras los polinomios de \( \mathbb R[x] \), un polinomio como \( x^3-3x+2 \) es un conjunto, concretamente se suele definir como el conjunto

\( \{(0, 2), (1, -3), (2, 0), (3, 1)\}\cup\{(n, 0)\mid n\in \mathbb N,\ n\geq 4\} \)

Claro que así no lo reconocería ni su madre, pero es que a nadie le importa qué conjunto es exactamente el polinomio \( x^3-3x+2 \). Los polinomios se definen como ciertas sucesiones de números reales (en este caso), que a su vez son conjuntos de pares ordenados, pero eso no importa. Lo que importa es que todo polinomio se puede escribir como suma de monomios, que es como los escribe todo el mundo.

Lo mismo vale para los números reales. Son conjuntos de números racionales, pero eso es algo que sólo importa mientras los construimos. Luego es algo que podemos olvidar para siempre. Es verdad, pero irrelevante. Podríamos escribir cosas como \( 2\in \pi \), y sería verdad, pero serían ganas de hacer sangrar los ojos de los matemáticos, por lo que nadie con sentido de la educación y del decoro escribe verdades como ésa.

La relación de orden en \( \mathbb R \) es simplemente la inclusión: se dice que un número real \( \alpha \) es menor o igual que otro \( \beta \) si cumplen \( \alpha\subset \beta \).

Es fácil demostrar que todo conjunto \( S\subset \mathbb R \) no vacío y acotado superiormente tiene una mínima cota superior. Concretamente, se demuestra que ésta es el número real

\( s=\bigcup\limits_{\alpha\in S}\alpha \).
No lo entiendo

Tienes un conjunto \( S\subset \mathbb R \). Entonces cada \( \alpha \in S \) es un número real, es decir, un conjunto de números racionales \( \alpha\subset \mathbb Q \). Por lo tanto, puedes considerar la unión de todos los \( \alpha\in S \). Es la unión de un conjunto (posiblemente infinito) de subconjuntos de \( \mathbb Q \), luego la unión es también un subconjunto de \( \mathbb Q \).

Pues se puede demostrar que esa unión \( s \) de números reales, como subconjunto que es de \( \mathbb Q \), cumple las tres propiedades que definen a los números reales y, más concretamente, la unión de una familia de conjuntos es el menor conjunto que los contiene a todos, por lo que \( s \) es el menor número real que contiene a todos los \( \alpha\in S \), pero \( \alpha\subset s \) es, por definición de la relación de orden en \( \mathbb R \), lo mismo que \( \alpha\leq s \), luego lo que tenemos es que \( s \) es la menor cota superior de \( S \).

Naturalmente, todo esto son cosas que habría que ir demostrando paso a paso. Mi única intención era darte una visión general de cómo funciona esta construcción. Detallarla llevaría varias páginas.

¿Te refieres a \( S \)?.

Sí. Disculpa.

Si tienes interés en trabajar esta construcción paso a paso, puedo abrir un hilo para ello, pero dependerá del tiempo que tengas para ponerte a trabajar en el asunto.

29 Enero, 2021, 06:59 pm
Respuesta #26

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,014
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Hola, feriva, Carlos!

Carlos, te agradezco mucho tu propuesta de abrir un nuevo hilo, pero voy a buscar primero un texto en el que se expliquen las Cortaduras de Dedekind. Que no sea Wikipedia. Me toca trabajar a mí. Voy a estudiar tus mensajes; a buscar en internet, en la biblioteca de la Uned, ...Y si es necesario, después empezaré un hilo nuevo. feriva, de nuevo muy visual tu aproximación. También ayudará.

¡Muchas gracias y un saludo muy afectuoso!
No man is an island (John Donne)

29 Enero, 2021, 10:38 pm
Respuesta #27

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,666
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

 feriva, de nuevo muy visual tu aproximación. También ayudará.


Como siempre me había despistado; "son los menores que el número", pero racionales; y yo había tomado reales. Claro, si no están construidos, cómo se van a poder tomar para construirlos...

Saludos.

29 Enero, 2021, 10:50 pm
Respuesta #28

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,374
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Hola, feriva, Carlos!

Carlos, te agradezco mucho tu propuesta de abrir un nuevo hilo, pero voy a buscar primero un texto en el que se expliquen las Cortaduras de Dedekind. Que no sea Wikipedia. Me toca trabajar a mí. Voy a estudiar tus mensajes; a buscar en internet, en la biblioteca de la Uned, ...Y si es necesario, después empezaré un hilo nuevo. feriva, de nuevo muy visual tu aproximación. También ayudará.

¡Muchas gracias y un saludo muy afectuoso!

Por si te interesa, en este hilo del foro tienes una traducción del apéndice del "Principles of Mathematical Analysis" de Rudin donde construye los reales vía cortaduras de Dedekind.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)