Autor Tema: Paradoja del cumpleaños para tres personas

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28 Diciembre, 2020, 11:59 pm
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pichurro

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Hola a todos, es muy conocido dentro de las matemáticas el problema de “la paradoja del cumpleaños”, se trata de la probabilidad que existe de que en un grupo de 23 personas haya al menos dos que cumplan años el mismo día. La resolución del ejercicio la comprendo sin problemas pero me estoy planteando cómo sería la  respuesta en el caso de que se pidiese: LA PROBABILIDAD DE QUE AL MENOS 3 PERSONAS (en lugar de 2) CUMPLIERAN AÑOS. Evidentemente ahora no se puede plantear el suceso complementario y el resultado restarlo a 1, así que yo en un principio planteaba que no queda otra que ir resolviendo y sumando  sucesivamente las probabilidades de que coincidan 3 personas, 4 personas y hasta las 23 personas en el mismo día. Pero claro, según mi solución cuando por  ejemplo  tres cumplen el mismo día y otros dos también, no se encuadra en ninguno de los casos. Y también hay casos que se encontrarían  repetidos. a ver si alguien me puede orientar. Un saludo a todos.

Título corregido desde la moderación.

29 Diciembre, 2020, 01:21 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos, es muy conocido dentro de las matemáticas el problema de “la paradoja del cumpleaños”, se trata de la probabilidad que existe de que en un grupo de 23 personas haya al menos dos que cumplan años el mismo día. La resolución del ejercicio la comprendo sin problemas pero me estoy planteando cómo sería la  respuesta en el caso de que se pidiese: LA PROBABILIDAD DE QUE AL MENOS 3 PERSONAS (en lugar de 2) CUMPLIERAN AÑOS. Evidentemente ahora no se puede plantear el suceso complementario y el resultado restarlo a 1, así que yo en un principio planteaba que no queda otra que ir resolviendo y sumando  sucesivamente las probabilidades de que coincidan 3 personas, 4 personas y hasta las 23 personas en el mismo día. Pero claro, según mi solución cuando por  ejemplo  tres cumplen el mismo día y otros dos también, no se encuadra en ninguno de los casos. Y también hay casos que se encontrarían  repetidos. a ver si alguien me puede orientar. Un saludo a todos.

Título corregido desde la moderación.

Supón que \( X \) es el número máximo de fechas de cumpleaños repetidas entre \( n \) personas, entonces quieres calcular \( \Pr [X\geqslant 3]=1-\Pr [X<3]=1-\Pr [X=2]-\Pr [X=1] \) siendo \( \Pr [X=1] \) la probabilidad de que no haya ninguna coincidencia, que asumo ya sabes cómo calcularlo, te queda calcular por tanto \( \Pr [X=2] \), es decir, la probabilidad de que en \( n \) fechas de cumpleaños haya al menos un par de números repetidos pero no tres números repetidos.

Una forma de hacer el cálculo de \( \Pr [X=2] \) es el siguiente: primero observamos que, dada una lista de \( n \) números válida (válida quiere decir que haya al menos un par de números repetidos pero no tres) entonces la lista tendrá un número de pares diferentes, ese número va desde uno hasta \( \lfloor n/2 \rfloor \). Luego podemos contar cuántas listas (no ordenadas) distintas de \( k \)-pares diferentes hay, si los números que forman parte de ella pueden ir desde uno hasta 365 días (los diferentes días de un año normal), tendremos que hay \( \binom{365}{k} \) grupos diferentes de \( k \)-pares que pueden hacerse, y por cada uno de estos \( k \)-pares habrá \( \binom{365-k}{n-k} \) formas de completar la lista con números no repetidos, es decir, el número total de listas diferentes (sin importar el orden) de exactamente \( k \)-pares diferentes es \( \binom{365}{k}\binom{365-k}{n-k}=\binom{365}{k,n-k,365-n} \).

Ahora bien, cada lista de \( k \)-pares puede ordenarse de \( n!/2^k \) formas diferentes (dividimos por dos por cada par en la lista, para eliminar listas repetidas), por tanto el número total de listas ordenadas válidas será

\( \displaystyle{
\sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor}\frac{n!}{2^k}\binom{365}{k,n-k,365-n}
} \)

Ahí \( \binom{a}{f,g,a-f-g}:=\frac{a!}{f!g!(a-f-g)!} \) representa un trinomio, y \( \lfloor \cdot  \rfloor \) es la función piso.

Como el número total de listas posibles (ordenadas) es  el número total de permutaciones con repetición de \( n \) elementos sobre 365, el total de listas de cumpleaños (ordenadas) posibles es \( 365^n \), por tanto

\( \displaystyle{
\Pr [X=2]=\frac1{365^n}\sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor}\frac{n!}{2^k}\binom{365}{k,n-k,365-n}=\frac{365^{\underline{n}}}{365^n}\sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor }\frac1{2^k} \binom{n}{k}
} \)

donde \( n^{\underline{m}}:=\prod_{k=0}^{m-1}(n-k) \) es lo que se llama un factorial descendente.

29 Diciembre, 2020, 10:57 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 También puedes leer sobre el tema aquí, donde se proponen distribuciones que aproximan la exacta y son más cómodas de calcular.

https://math.stackexchange.com/questions/25876/probability-of-3-people-in-a-room-of-30-having-the-same-birthday

 O este artículo:

Anirban DasGupta. "The matching, birthday and the strong birthday problem: a contemporary review". Journal of Statistical Planning and
Inference 130 (2005) 377 – 389

Saludos.