Autor Tema: Una proposición falsa implica cualquier proposición

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09 Diciembre, 2020, 07:45 pm
Respuesta #20

mathtruco

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Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas


Creo entender donde está el error.

\( F\rightarrow q \) es verdadero independiente del valor de verdad de \( q \), ¿estás de acuerdo?

Nota que no se afirma nada sobre el valor de verdad de \( q \), sólo afirma que la proposición \( F\rightarrow q \) es verdadera.

Repito lo que cité:


Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas


La proposición falsa (antecedente) no dice nada sobre el valor de verdad del consecuente (dos proposiciones contrarias son a la vez verdaderas).

09 Diciembre, 2020, 09:57 pm
Respuesta #21

Masacroso

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Por lo que leo a Geómetracat ahora (no había leído anteriores respuestas más despacio) no era correcto decir que no se parte de algo falso en una demostración por reducción al absurdo; así que lo meto en spoiler. Perdón por la equivocación.

Spoiler
Pero es distinto; no se parte de una falsedad

Supongamos que raíz de 2 es racional; entonces:

\( 2=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}
  \)

Para empezar esa igualdad no es falsa, ya que, existe a/b, pero no es racional.

Otra cosa diferente sería dar por bueno (no como hipótesis) la afirmación “raíz de dos es racional”; entonces a ver quién demuestra que no lo es, si lo tomamos como una verdad de la cual partir en vez de una hipótesis.
[cerrar]

Yo creo que la cuestión está más bien aquí, pero no sé, a lo mejor me equivoco otra vez.

En una demostración por reducción al absurdo, la premisa de partida P no es una falsedad que se tome por verdadera, la falsedad que se toma por verdadera está en la implicación.

\( P\underset{{\color{red}V}}{\rightarrow}Q
  \)

O puede ser lo contrario, se supone que algo cierto es falso

\( P\underset{{\color{red}F}}{\rightarrow}Q
  \).

Sencillamente no es el caso que estás considerando lo que se usa en una demostración por reducción al absurdo; partir de una P falsa (a sabiendas) no sirve para demostrar nada en matemáticas, ni por reducción al absurdo de ninguna manera.

Saludos.

Yo lo entiendo de esta manera feriva, aunque podría haber algo inexacto (o erróneo) ya que no sé mucho de lógica. Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).

09 Diciembre, 2020, 11:41 pm
Respuesta #22

feriva

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Yo lo entiendo de esta manera feriva, aunque podría haber algo inexacto (o erróneo) ya que no sé mucho de lógica. Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).

A ver, espera que lo piense... que yo sí que no sé de lógica formal casi nada.

O sea, entiendo que tenemos un teorema \( A\Longrightarrow B
  \), entonces consideramos por reducción al absurdo que la implicación es falsa. En ese caso la implicación \( \neg A\Longrightarrow\, B
  \) tendrá que ser verdadera (porque es una cosa u otra). Ahora, dado que B es verdadera, de ambas proposiciones se deduce que \( A
  \) no puede ser falsa. ¿Es eso?

Saludos.

09 Diciembre, 2020, 11:46 pm
Respuesta #23

geómetracat

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Se me pasó el mensaje de feriva. Lo que dice Masacroso es correcto, pero no acabo de ver ahí la reducción al absurdo. Reducción al absurdo consiste en lo siguiente. Quieres probar que \( A \) es verdadero. Para ello supones que \( \neg A \) y a partir de ahí llegas a una falsedad. Si lo consigues, has demostrado que \( A \) es verdadero.

Una manera sencilla de entender por qué funciona es la siguiente: demostrar una falsedad a partir de \( \neg A \) es lo mismo que demostrar que la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera (\( \bot \) significa falso).  Pero si la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera, como \( \bot \) es falso, quiere decir que \( \neg A \) es falso (porque si fuera verdadero, \( \neg A \to \bot \) sería falso). Pero si \( \neg A \) es falso, entonces \( A \) es verdadero, que es lo que queríamos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

09 Diciembre, 2020, 11:59 pm
Respuesta #24

Carlos Ivorra

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Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).

Ojo. Eso, literalmente es cierto, pero puede llevar a engaño. Considera la afirmación:

Si un entero x es impar, entonces es primo.

Obviamente, no vas a poder probar nunca eso (para un x arbitrario). Normalmente, se dice que esa implicación es falsa. Sin embargo, no puedes deducir de ahí que

si x no es un entero impar, entonces x es primo.

Es verdad que tú no has dicho eso. Lo que has dicho es cierto para cada cosa x concreta que consideres. Si x es un entero impar,  es cierta la segunda afirmación, y si no lo es, es cierta la primera. Pero es fácil entenderlo mal y acabar pensando que de la primera afirmación que he puesto se puede pasar a la segunda.

10 Diciembre, 2020, 12:17 am
Respuesta #25

feriva

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Se me pasó el mensaje de feriva. Lo que dice Masacroso es correcto, pero no acabo de ver ahí la reducción al absurdo. Reducción al absurdo consiste en lo siguiente. Quieres probar que \( A \) es verdadero. Para ello supones que \( \neg A \) y a partir de ahí llegas a una falsedad. Si lo consigues, has demostrado que \( A \) es verdadero.

Una manera sencilla de entender por qué funciona es la siguiente: demostrar una falsedad a partir de \( \neg A \) es lo mismo que demostrar que la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera (\( \bot \) significa falso).  Pero si la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera, como \( \bot \) es falso, quiere decir que \( \neg A \) es falso (porque si fuera verdadero, \( \neg A \to \bot \) sería falso). Pero si \( \neg A \) es falso, entonces \( A \) es verdadero, que es lo que queríamos.

Ahí lo veo más sencillo; más semejante a los problemas prácticos. Si “No A” implica falso y la implicación es verdadera, entonces es “Sí A”, debido a que con “No A” da falso.

Gracias, Geómetracat.

10 Diciembre, 2020, 12:32 am
Respuesta #26

ancape

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Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).

Ojo. Eso, literalmente es cierto, pero puede llevar a engaño. Considera la afirmación:

Si un entero x es impar, entonces es primo.

Obviamente, no vas a poder probar nunca eso (para un x arbitrario). Normalmente, se dice que esa implicación es falsa. Sin embargo, no puedes deducir de ahí que

si x no es un entero impar, entonces x es primo.

Es verdad que tú no has dicho eso. Lo que has dicho es cierto para cada cosa x concreta que consideres. Si x es un entero impar,  es cierta la segunda afirmación, y si no lo es, es cierta la primera. Pero es fácil entenderlo mal y acabar pensando que de la primera afirmación que he puesto se puede pasar a la segunda.

Estaba Jesús con sus apóstoles y dijo 'Yo soy el que soy'. Le responde San Pedro: Si me gustas maestro es por lo bien que te expresas.

Cuando se habla de temas de lógica matemática, hay que hacerlo con una precisión extrema. Si se usan medias palabras se pueden decir cosas que hacen sonreír a cualquier interlocutor que sepa algo del tema.


10 Diciembre, 2020, 12:38 am
Respuesta #27

ancape

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Una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas.
Una implicación falsa implica que se puede deducir de ella cualquier proposición, falsa o verdadera. Incluyendo proposiciones contrarias, pero no a la vez.
La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta.
Partimos de una implicación falsa\( 3=5 \), y usando axiomas correctos \( 3\neq5 \) llegamos a otra contradicción.

Una de dos, o no te has leído que yo he escrito exactamente: 'Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas' o tu frase 'La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta' se refiere a mi y no a Carlos que sostiene justo lo contrario.

10 Diciembre, 2020, 12:45 am
Respuesta #28

Carlos Ivorra

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Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas

Es que dos proposiciones contrarias no pueden ser verdaderas a la vez. Nadie ha dicho eso. Sugata te lo ha explicado muy bien.

No sabia que el depositario de la verdad fueras tú. Las matemáticas se defienden con razonamientos no con la autoridad del que las expone como ocurre con otras disciplinas

Eso es relativo. Si envías un artículo a una revista para que te lo publiquen, el resultado no será que te lo aceptan si  lo que pones en él es verdad y que te lo rechazan si no es verdad, sino que dependerá de si los que evalúan tu artículo consideran que es verdad o los que te evalúan tu artículo consideran que no es verdad. Siempre que hay que tomar una decisión práctica, es necesario que haya un "depositario de la verdad" (o mejor, varios). Eso es inevitable y lo máximo que puede hacerse es procurar que los "depositarios de la verdad" sean tan fiables como sea posible y, por supuesto, que siempre sea posible consultar más opiniones en caso de duda o discrepancia.

En este foro, los inevitables "depositarios de la verdad" somos los moderadores y administradores y, sin que lo que voy a decir me incluya a mí (al contrario que a ti, no me gusta valorarme a mí mismo), estoy convencido de que todos ellos están muy bien elegidos. Dudo mucho que haya un solo matemático serio que lea tus mensajes y, en caso de tener que ejercer como "depositario de la verdad" no coincidiera en el veredicto de que a menudo no sabes de lo que hablas y te pones en evidencia en una de cada cuatro frases que escribes. Si encuentras una opinión imparcial que discrepe de la mía, será interesante leer unos argumentos que sostengan tus puntos de vista y que no sean los tuyos. Si, por el contrario, considerar que tu razón es suficiente para llevarle la contraria a todo el mundo... pues poco podré decir yo, que soy parte del mundo, para convencerte de que algo falla ahí.

Las integrales estaban mal escritas, el símbolo \( dxdy \) representa una forma diferencial bidimensional y debe reservarse para cuando se integra en dos dimensiones, esto es, para la integral doble.

Magister dixit.  ¿Quién es ahora el depositario de la verdad?

Estaría de acuerdo con la expresión \( \displaystyle\int_{a}^{b}(\displaystyle\int_{a}^{b}fdy)dx \) pues no te gusta que \( dx \) vaya delante del integrando (observa los paréntesis), pero nunca con \( dxdy \) dentro de una integral simple.

Es que en la notación que censuras no hay dos diferenciales dentro de una integral simple. Entre el categórico "la integral está mal escrita" y el más modesto "yo pondría unos paréntesis" hay bastante diferencia. Y de toda la vida, el criterio práctico con los paréntesis es que si se pueden omitir sin que la expresión resultante sea ambigua, es lícito omitirlos.

Si no, cada vez que escribes \( f(2, 3) \) te podría decir que eso está mal escrito porque deberías escribir \( f((2, 3)) \), ya que se trata de la imagen \( f(x) \) del par ordenado \( x=(2, 3) \) por la función \( f \). Pero eso sería una pedantería, como lo que dices de la integral.


Creo que el que no  ha pensado matemáticamente lo que escribe eres tú,

Eso es poco menos que una prueba de que yo tengo razón.

por una parte lanzas como hipótesis 3=5 lo que te sitúa en un sistema axiomático diferente del usual.

 ::)  La experiencia me avisa de que sería inútil preguntarte por enésima vez cuál es ese sistema axiomático usual en el que estás pensando y que nunca has sabido concretarme, por lo que sería más inútil aún preguntarte por cuál es ese nuevo sistema axiomático en el que me sitúas. ¿Desde cuándo una hipótesis me sitúa en otro sistema axiomático? ¿Cada vez que demuestras una implicación estás cambiando de sistema axiomático? ¿Sabes lo que es un sistema axiomático? (Olvida la pregunta, he acabado en una pregunta retórica cuya respuesta es obvia.) En un sistema axiomático puedes suponer lo que quieras y con ello no cambias de sistema axiomático.

Luego la frase 'es un teorema conocido que \( 3\neq5 \)' hace que aparezca un teorema de un mundo que no es compatible con la axiomática de la hipótesis. Es así como se llega a cualquier cosa, mezclando razonamientos de un mundo con los de otro,

Para que veas lo poco que me cuesta reconocer mis errores, confieso mi error: Pensé que no me ibas a sorprender, pero me has sorprendido. Cuando pides sustentar la verdad con razonamientos, resulta que los tuyos consisten en hablar de mundos incompatibles con axiomáticas. Eso sí, unas axiomáticas misteriosas que nadie ha logrado saber jamás cuáles son.

pero no te preocupes, le pasa a todo el mundo que está un poco lejos de las matemáticas.

 :aplauso:  No sé si me creerás, pero te juro que he tenido que deja de escribir casi un minuto para esperar que se me pasara la risa. ¿Te piensas mucho estas estocadas o te salen espontáneas? Probablemente habrá a quien le incomode tu actitud, pero a mí, ver a alguien tan desorientado lanzar tales puyas sin fundamento me da risa. Es como cuando ves a un chihuahua ladrándole todo enfadado a un pedazo de perro que lo mira asombrado (técnicamente, aquí el pedazo de perro sería yo, pero eso es anecdótico, lo que me hace gracia es que le ladras así a cualquiera).

En resumen, estoy muy orgulloso de que me hayas puesto un -1 en el karma pues mis razonamientos no son muy de fiar y podrían confundir a personas no muy diestras en matemáticas

No lo he hecho para llenarte de orgullo ni para lo contrario. Es para que no asustes a nadie.

gracias a que desde pequeños han tenido  profesores que les han enseñado que las matemáticas son una mezcla de sentido común, razonamientos en los que cabe todo y muchas fórmulas que hay que aprender de memoria.

Te falta añadir: ¡Pecadores! ¡Arderéis en el infierno!

No te preocupes pues ya no me merece la pena seguir participando en un foro tipo academia necesaria para aprobar una asignatura.

Puente de plata.

Pero poco te ha durado la decisión:

Estaba Jesús con sus apóstoles y dijo 'Yo soy el que soy'. Le responde San Pedro: Si me gustas maestro es por lo bien que te expresas.

Eso no lo dijo Jesús a los apóstoles. Se lo dijo Yahveh a Moisés. Un poco de culturilla...

Cuando se habla de temas de lógica matemática, hay que hacerlo con una precisión extrema. Si se usan medias palabras se pueden decir cosas que hacen sonreír a cualquier interlocutor que sepa algo del tema.

¿Conoces a alguien que sepa del tema? Pues pídele que te explique unas cuantas cosas. Yo, en cambio, coincido con Einstein cuando dijo que si no eres capaz de explicarle algo a tu abuela (a una abuela nacida en el siglo XIX, sin estudios) es que no lo entiendes.

De todos modos, a ver si el problema va a ser ése. Entonces puedes ir leyéndote esto

https://www.uv.es/ivorra/Libros/LM.pdf

Y si encuentras alguna falta de precisión, me avisas.

Una de dos, o no te has leído que yo he escrito exactamente: 'Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas' o tu frase 'La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta' se refiere a mi y no a Carlos que sostiene justo lo contrario.

¿Y no será la de tres? ¿Y si eres tú el que ni entiende lo que he dicho yo, ni entiende lo que ha dicho Sugata, ni entiende nada de nada?

¿Y qué haces todavía en este foro de academia? Se me ocurre que podrías recomendar a tus alumnos que se pasaran por aquí, no para aprender recetas de academia, pero seguro que les interesaba ver a su profe haciendo el ridículo. Si te sientes tan orgulloso como dices, invítalos, aunque sólo sea para presumir de lo bien que estás quedando, que es algo que te gusta mucho.

10 Diciembre, 2020, 01:06 am
Respuesta #29

ancape

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Carlos

Voy a dejar el tema pues veo que de razonar entiendes poco, solo sabes insultar y eso no es lo que buscaba en este foro.