Autor Tema: Una proposición falsa implica cualquier proposición

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08 Diciembre, 2020, 01:45 pm
Respuesta #10

geómetracat

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Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Pero es que la propia premisa es contradictoria. Puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \), a partir de los axiomas de Peano o donde quieras. Una demostración incondicional, que no use la premisa, es también una demostración bajo la premisa. Dicho de otra forma, si \( Q \) es cierto, también lo es \( P \to Q \) sea cual sea \( P \).

La premisa no es contradictoria, como tampoco lo es que por un punto exterior a una recta sólo se pueda trazar una paralela, en todo caso lo único que puede decirse es que en la aritmética que generan los axiomas de Peano, la proposición no es cierta \( (cierta \neq contradictoria) \)

El enunciado dice exactamente que supongamos que la igualdad fuese válida y actuemos en consecuencia. Es el típico problema de lógica matemática.

No vale demostrar 7=8 con esa premisa, \( 7\neq8 \) con otra premisa (la demostración usual basada en los axiomas de Peano) y concluir que las afirmaciones 7=8 y \( 7\neq8 \) son ambas ciertas como no valdría decir que la suma de ángulos de un triángulo es 180º pues puede demostrarse (en geometría euclídea) pero no suman 180º porque también puede demostrarse (geometrías no euclídeas).

Saludos

Si en la aritmética de Peano puedes demostrar que \( 3 \neq 5 \), el sistema formado por la aritmética de Peano añadiendo \( 3=5 \) es contradictorio. Al igual que si añades a los axiomas de la geometría euclídea un axioma que diga que dada una recta y un punto exterior pasa más de una paralela también obtienes un sistema contradictorio.

Si no asumes la aritmética de Peano, habrá que aclarar bien cuáles son los axiomas que se pueden usar, si no es imposible contestar al problema. Bajo ciertas interpretaciones podría ser perfectamente consistente y entonces \( 7 \neq 8 \) no se podría demostrar. Por ejemplo, si consideras los axiomas de Peano,  le quitas el axioma que dice que \( 0 \) no es sucesor de ningún natural, y le añades \( 3=5 \), entonces es perfectamente consistente que \( 7 \neq 8 \) (de hecho hay un modelo en el que únicamente hay un objeto, de manera que \( m=n \) para todo \( m,n \)). Pero hay que dejar muy claro de entrada cuál es el marco del que partes.

En cualquier caso, el problema original está aclarado hace tiempo, ahora le estamos dando vueltas a no sé muy bien qué.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Diciembre, 2020, 05:32 pm
Respuesta #11

feriva

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Tiene Luis razón, son todas verdaderas si lo tomas como un condicional "si se cumple que
\( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces ...", por el hecho de que una implicación con el antecedente falso es siempre verdadera.

Es la primera vez que oigo que una proposición con antecedente falso es siempre verdadera.
Un saludo

Por lo que he visto aquí en el foro al resolver cosas de éstas, si P es falsa, la proposición, es decir, lo que es la implicación sobre Q, siempre es verdadera; tanto si \( P\rightarrow Q
  \) como si \( P\rightarrow\neg Q
  \), porque el valor de verdad está en la implicación en sí, en la flechita, otra cosa distinta es que pueda acabar en \( Q
  \) o en \( \neg Q
  \), que no tiene nada que ver con si es verdadera o falsa la proposición (por lo que he visto siempre comentar, ya digo, que no sé).

Saludos.

08 Diciembre, 2020, 07:31 pm
Respuesta #12

ancape

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Creo que geómetracat y Fernando debían leerse lo que han escrito anteriormente pues según lo que sostienen, las demostraciones por reducción al absurdo dejan de ser válidas cuando resulta ser cierto tanto que A=B como \( A\neq B \). Espero que Shakespeare tome nota de que no vale decir 'Ser o no ser...' ahora hay que decir 'Ser y no ser'

08 Diciembre, 2020, 07:38 pm
Respuesta #13

martiniano

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Hola.


Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Conozco una anécdota en la que un estudiante le pidió a Russell que demostrase que si \( 2+2=5 \) él era el Papa. En Wikipedia hablan del tema.

Toma que b) es falsa y la igualdad del enunciado es cierta para algunos valores de las constantes. Luego aplica el razonamiento de Luis y llegarás a un absurdo que te indicará que si la igualdad del enunciado es cierta entonces b) también tiene que serlo.

Un saludo.

08 Diciembre, 2020, 07:54 pm
Respuesta #14

feriva

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Creo que geómetracat y Fernando debían leerse lo que han escrito anteriormente pues según lo que sostienen, las demostraciones por reducción al absurdo dejan de ser válidas cuando resulta ser cierto tanto que A=B como \( A\neq B \). Espero que Shakespeare tome nota de que no vale decir 'Ser o no ser...' ahora hay que decir 'Ser y no ser'

 
Por lo que leo a Geómetracat ahora (no había leído anteriores respuestas más despacio) no era correcto decir que no se parte de algo falso en una demostración por reducción al absurdo; así que lo meto en spoiler. Perdón por la equivocación.

Spoiler
Pero es distinto; no se parte de una falsedad

Supongamos que raíz de 2 es racional; entonces:

\( 2=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}
  \)

Para empezar esa igualdad no es falsa, ya que, existe a/b, pero no es racional.

Otra cosa diferente sería dar por bueno (no como hipótesis) la afirmación “raíz de dos es racional”; entonces a ver quién demuestra que no lo es, si lo tomamos como una verdad de la cual partir en vez de una hipótesis.
[cerrar]

Yo creo que la cuestión está más bien aquí, pero no sé, a lo mejor me equivoco otra vez.

En una demostración por reducción al absurdo, la premisa de partida P no es una falsedad que se tome por verdadera, la falsedad que se toma por verdadera está en la implicación.

\( P\underset{{\color{red}V}}{\rightarrow}Q
  \)

O puede ser lo contrario, se supone que algo cierto es falso

\( P\underset{{\color{red}F}}{\rightarrow}Q
  \).

Sencillamente no es el caso que estás considerando lo que se usa en una demostración por reducción al absurdo; partir de una P falsa (a sabiendas) no sirve para demostrar nada en matemáticas, ni por reducción al absurdo de ninguna manera.

Saludos.

08 Diciembre, 2020, 08:13 pm
Respuesta #15

Luis Fuentes

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Hola

Creo que geómetracat y Fernando debían leerse lo que han escrito anteriormente pues según lo que sostienen, las demostraciones por reducción al absurdo dejan de ser válidas cuando resulta ser cierto tanto que A=B como \( A\neq B \). Espero que Shakespeare tome nota de que no vale decir 'Ser o no ser...' ahora hay que decir 'Ser y no ser'

Lo que dicen geómetracat y Fernando (y martiniano e ingmarov y yo), en esencia, es que estas dos proposiciones son verdaderas:

1) Si \( 3=5 \) entonces \( 7=8 \).
2) Si \( 3=5 \) entonces \( 7\neq 8 \).

Entonces preguntas concretas:

a) Estás de acuerdo con que esas dos proposiciones son verdaderas. En caso contrario, ¿qué valor de verdad crees que tienen cada una y por qué?.
b) ¿Entiendes qué (1) y (2) sean verdaderas es DISTINTO qué afirmar que (i) \( 7=8 \) y (ii) \( 7\neq 8 \) sean ambas verdaderas?.

Saludos.

08 Diciembre, 2020, 08:27 pm
Respuesta #16

geómetracat

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Creo que geómetracat y Fernando debían leerse lo que han escrito anteriormente pues según lo que sostienen, las demostraciones por reducción al absurdo dejan de ser válidas cuando resulta ser cierto tanto que A=B como \( A\neq B \). Espero que Shakespeare tome nota de que no vale decir 'Ser o no ser...' ahora hay que decir 'Ser y no ser'

No entiendo lo que dices, y no me gusta tu tono, así que dejaré de participar aquí. Pero para dejarlo claro: en una demostración por reducción al absurdo de \( P \) se parte de \( \neg P \) y de ahí se deriva una contradicción.

Lo que yo decía es universalmente conocido y se puede encontrar en cualquier libro de lógica básica (con nombres como principio de explosión, o ex falso quodlibet, aunque sé que no te gusta el latín): para cualesquiera proposiciones \( P,Q \), se tiene que \( P \wedge \neg P \vdash Q \), o equivalentemente por el teorema de deducción, \( P \wedge \neg P \to Q \) es una tautología. Es decir, si partimos de una contradicción como premisa, se puede probar cualquier cosa. Y es tan sencillo como ver que como \( P \wedge \neg P \) es falso sea cual sea el valor de verdad de \( P \) y por tanto el condicional \( P \wedge \neg P \to Q \) es verdadero, por la tabla de verdad del condicional.

No veo ninguna contradicción entre esto y la reducción al absurdo, la verdad. Dicho esto, ya no participaré más en esta discusión pues no creo que pueda aportar nada más.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

09 Diciembre, 2020, 11:43 am
Respuesta #17

Carlos Ivorra

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He separado estos mensajes de este otro hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115217.0

Porque el tema tratado aquí ya no tiene que ver con el asunto original, sino que se trata ya de si alguien se considera con fuerzas, no de explicar, sino de explicarle a ancape, que no es lo mismo, que una proposición falsa implica cualquier proposición.

ancape: Te he puesto un -1 en el "karma" para que sirva de indicación a otros usuarios de que tiendes a afirmar categóricamente cosas clarmaente falsas, por lo que tus respuestas no son, en general, muy de fiar.

Por poner otro ejemplo, aparte del del hilo del que procede éste, aquí:

El enunciado no es correcto pues las integrales iteradas están mal escritas, si lo que hay que demostrar es
\( \displaystyle\int_{U} dx\displaystyle\int_{V} f(x,y)dy =\displaystyle\int_{V}dy \displaystyle\int_{U} f(x,y)dx \).
Es una simple aplicación del Teorema de Fubini.

Las integrales iteradas no están mal escritas. De hecho, no digo que sea incorrecto escribirlas como las escribes tú, pero a mí, personalmente, me gusta más la forma en que están escritas en el planteamiento del hilo. Me parece estéticamente feo escribir \( dx \) antes de la función que hay que integrar.

En la medida en que sigas haciendo esto (no digo equivocarte, sino equivocarte en términos que pueden confundir a los usuarios inseguros con las matemáticas), te iremos bajando el karma para que no crees confusiones innecesarias. Si dejas de hacerlo te lo iremos subiendo.

Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Sólo por la curiosidad de ver qué dices:

Demostración de que \( 3=5 \) implica b) \( 7 \neq 8 \):

Razonamos por reducción al absurdo. Suponemos que \( 7=8 \).

Entonces, por hipótesis tenemos que \( 3=5 \) y, por otra parte, es un teorema conocido que \( 3\neq 5 \). Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, lo que prueba que \( 7 \neq 8 \).

Esta demostración es correcta según todos los estándares formalistas que tanto te gustan y tanto desconoces, pero creo imaginar qué clase de objeción le encontrarás. A ver si me sorprendes.

09 Diciembre, 2020, 07:01 pm
Respuesta #18

ancape

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...........
Porque el tema tratado aquí ya no tiene que ver con el asunto original, sino que se trata ya de si alguien se considera con fuerzas, no de explicar, sino de explicarle a ancape, que no es lo mismo, que una proposición falsa implica cualquier proposición.

Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas

Citar
ancape: Te he puesto un -1 en el "karma" para que sirva de indicación a otros usuarios de que tiendes a afirmar categóricamente cosas clarmaente falsas, por lo que tus respuestas no son, en general, muy de fiar.

No sabia que el depositario de la verdad fueras tú. Las matemáticas se defienden con razonamientos no con la autoridad del que las expone como ocurre con otras disciplinas

Citar

Por poner otro ejemplo, aparte del del hilo del que procede éste, aquí:

El enunciado no es correcto pues las integrales iteradas están mal escritas, si lo que hay que demostrar es
\( \displaystyle\int_{U} dx\displaystyle\int_{V} f(x,y)dy =\displaystyle\int_{V}dy \displaystyle\int_{U} f(x,y)dx \).
Es una simple aplicación del Teorema de Fubini.

Las integrales iteradas no están mal escritas. De hecho, no digo que sea incorrecto escribirlas como las escribes tú, pero a mí, personalmente, me gusta más la forma en que están escritas en el planteamiento del hilo. Me parece estéticamente feo escribir \( dx \) antes de la función que hay que integrar.

Las integrales estaban mal escritas, el símbolo \( dxdy \) representa una forma diferencial bidimensional y debe reservarse para cuando se integra en dos dimensiones, esto es, para la integral doble. Estaría de acuerdo con la expresión \( \displaystyle\int_{a}^{b}(\displaystyle\int_{a}^{b}fdy)dx \) pues no te gusta que \( dx \) vaya delante del integrando (observa los paréntesis), pero nunca con \( dxdy \) dentro de una integral simple.

Citar

Sólo por la curiosidad de ver qué dices:

Demostración de que \( 3=5 \) implica b) \( 7 \neq 8 \):

Razonamos por reducción al absurdo. Suponemos que \( 7=8 \).

Entonces, por hipótesis tenemos que \( 3=5 \) y, por otra parte, es un teorema conocido que \( 3\neq 5 \). Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, lo que prueba que \( 7 \neq 8 \).

Esta demostración es correcta según todos los estándares formalistas que tanto te gustan y tanto desconoces, pero creo imaginar qué clase de objeción le encontrarás. A ver si me sorprendes.

Creo que el que no  ha pensado matemáticamente lo que escribe eres tú, por una parte lanzas como hipótesis 3=5 lo que te sitúa en un sistema axiomático diferente del usual. Luego la frase 'es un teorema conocido que \( 3\neq5 \)' hace que aparezca un teorema de un mundo que no es compatible con la axiomática de la hipótesis. Es así como se llega a cualquier cosa, mezclando razonamientos de un mundo con los de otro, pero no te preocupes, le pasa a todo el mundo que está un poco lejos de las matemáticas.

En resumen, estoy muy orgulloso de que me hayas puesto un -1 en el karma pues mis razonamientos no son muy de fiar y podrían confundir a personas no muy diestras en matemáticas gracias a que desde pequeños han tenido  profesores que les han enseñado que las matemáticas son una mezcla de sentido común, razonamientos en los que cabe todo y muchas fórmulas que hay que aprender de memoria. No te preocupes pues ya no me merece la pena seguir participando en un foro tipo academia necesaria para aprobar una asignatura.



09 Diciembre, 2020, 07:34 pm
Respuesta #19

sugata

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Una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas.
Una implicación falsa implica que se puede deducir de ella cualquier proposición, falsa o verdadera. Incluyendo proposiciones contrarias, pero no a la vez.
La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta.
Partimos de una implicación falsa\( 3=5 \), y usando axiomas correctos \( 3\neq5 \) llegamos a otra contradicción.