Autor Tema: Una proposición falsa implica cualquier proposición

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08 Diciembre, 2020, 11:33 am
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ancape

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Yo creo maestro ancape que se refieren a esto:




Saludos

La tabla que expones es la típica tabla que ilustra las clases de lógica. El problema es su aplicación a este caso. ¿En la afirmación inicial, que es \( P \) y \( Q? \).
Además la condición inicial es falsa y en la tabla sólo contempla el caso \( P\Rightarrow{Q} \). ¿Acaso si \( P \) no implica \( Q \), podemos aplicar la tabla?

Por otra parte, si leemos el enunciado detenidamente, podemos observar que no piden que digamos qué opción es correcta sin más, sino que dicen que supuesta cierta la igualdad, digamos qué opción sería correcta. No dice que miremos si la igualdad es cierta o no. Creo que es más bien un ejercicio de lógica matemática que de trigonometría.

Voy a poner un ejemplo sencillo para ilustrarlo.

Enunciado del problema

Si \(  3=5  \) marcar la opción correcta

a) \( 7=8 \)
b) \( 7\neq 8 \)
c) \( 8 = 10 \)
d) \( 1 = 2 \)


Claramente, si la hipótesis fuese cierta, la respuesta correcta es c) pues si \(  3=5  \), sumando \( 5 \) a ambos miembros de la igualdad hipótesis, obtenemos la condición c)

Viene esto a cuento de que en este hilo se ha puesto el foco en ver si es verdad o mentira la expresión inicial cuando el enunciado dice claramente que supongamos que fuese cierta. Este hecho no es tan descabellado. Los padres de las geometrías no euclídeas partieron del supuesto, en contra del sentido común, de que el quinto postulado de Euclides no era cierto.

Saludos

08 Diciembre, 2020, 11:53 am
Respuesta #1

geómetracat

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Vaya por delante que esta discusión me parece un tanto irrelevante para el problema inicial. Creo que ya ha quedado claro que hay una errata en el enunciado o está mal planteado.

La tabla que expones es la típica tabla que ilustra las clases de lógica. El problema es su aplicación a este caso. ¿En la afirmación inicial, que es \( P \) y \( Q \).
Además la condición inicial es falsa y en la tabla sólo contempla el caso \( P\Rightarrow{Q} \). ¿Acaso si \( P \) no implica \( Q \), podemos aplicar la tabla?

En este caso, \[ P \] sería "se cumple \( \sin t^2= X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \)" y \( Q \) sería cualquiera de las opciones. Entonces, por supuesto que se puede hablar del valor de la proposición \( P \to Q \), y en este caso sería verdadero para cualquier opción pues \( P \) es falso. Siempre se puede hablar del valor de verdad de \( P \to Q \), y viene dado por la tabla. Cuando se dice "\( P \) no implica \( Q \)" normalmente uno se refiere a que el condicional \( P \to Q \) es falso.

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Por otra parte, si leemos el enunciado detenidamente, podemos observar que no piden que digamos qué opción es correcta sin más, sino que dicen que supuesta cierta la igualdad, digamos qué opción sería correcta. No dice que miremos si la igualdad es cierta o no. Creo que es más bien un ejercicio de lógica matemática que de trigonometría.

Voy a poner un ejemplo sencillo para ilustrarlo.

Enunciado del problema

Si \(  3=5  \) marcar la opción correcta

a) \( 7=8 \)
b) \( 7\neq 8 \)
c) \( 8 = 10 \)
d) \( 1 = 2 \)


Claramente, si la hipótesis fuese cierta, la respuesta correcta es c) pues si \(  3=5  \), sumando \( 5 \) a ambos miembros de la igualdad hipótesis, obtenemos la condición c)

El problema con esto es que a partir de algo falso puedes demostrar absolutamente cualquier cosa. Por ejemplo, partiendo de \( 3=5 \), restando \( 3 \) a ambos lados, tenemos \( 0=2 \). Pero \( 0 \leq 1 \leq 2=0 \), luego por la antisimetría del orden, \( 1=0=2 \). En particular d) es verdadera. Ahora, sumando \( 6 \) a ambos lados de la igualdad \( 1=2 \), tenemos \( 7=8 \). Luego a) es verdadera. Y b) es verdadera, sin necesidad de usar la hipótesis (puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \)). Así pues, usando la hipótesis \( 3=5 \) hemos demostrado que todas las opciones son verdaderas. Si te has centrado en la c) es simplemente porque es la más sencilla de deducir, pero eso es engañoso. En lógica clásica a partir de una premisa falsa puedes demostrar cualquier cosa (es el llamado principio de explosión).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Diciembre, 2020, 12:10 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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Al impecable razonamiento de geómetracat:

El problema con esto es que a partir de algo falso puedes demostrar absolutamente cualquier cosa. Por ejemplo, partiendo de \( 3=5 \), restando \( 3 \) a ambos lados, tenemos \( 0=2 \). Pero \( 0 \leq 1 \leq 2=0 \), luego por la antisimetría del orden, \( 1=0=2 \). En particular d) es verdadera. Ahora, sumando \( 6 \) a ambos lados de la igualdad \( 1=2 \), tenemos \( 7=8 \). Luego a) es verdadera. Y b) es verdadera, sin necesidad de usar la hipótesis (puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \)). Así pues, usando la hipótesis \( 3=5 \) hemos demostrado que todas las opciones son verdaderas. Si te has centrado en la c) es simplemente porque es la más sencilla de deducir, pero eso es engañoso. En lógica clásica a partir de una premisa falsa puedes demostrar cualquier cosa (es el llamado principio de explosión).

Añadiría lo siguiente:

Voy a poner un ejemplo sencillo para ilustrarlo.
Enunciado del problema
Si \(  3=5  \) marcar la opción correcta
a) \( 7=8 \)
b) \( 7\neq 8 \)
c) \( 8 = 10 \)
d) \( 1 = 2 \)

Claramente, si la hipótesis fuese cierta, la respuesta correcta es c) pues si \(  3=5  \), sumando \( 5 \) a ambos miembros de la igualdad hipótesis, obtenemos la condición c)

Si \( 3=5 \) fuera cierto estarías aplicando incorrectamente el modus ponens. Para el modus ponens no basta con \( P\to Q \) sino que "de \( P \) y \( P\to Q \), se deduce \( Q \)", que es regla de deducción tanto en el sistema formal del cálculo de enunciados formal \( L \) como en el cálculo de predicados formal \( \mathcal{L} \) para la construcción de teoremas.
 

08 Diciembre, 2020, 12:20 pm
Respuesta #3

ancape

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En este caso, \[ P \] sería "se cumple \( \sin t^2= X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \)" y \( Q \) sería cualquiera de las opciones. Entonces, por supuesto que se puede hablar del valor de la proposición \( P \to Q \), y en este caso sería verdadero para cualquier opción pues \( P \) es falso. Siempre se puede hablar del valor de verdad de \( P \to Q \), y viene dado por la tabla. Cuando se dice "\( P \) no implica \( Q \)" normalmente uno se refiere a que el condicional \( P \to Q \) es falso.


Si tu lo dices......
El problema con esto es que a partir de algo falso puedes demostrar absolutamente cualquier cosa. Por ejemplo, partiendo de \( 3=5 \), restando \( 3 \) a ambos lados, tenemos \( 0=2 \). Pero \( 0 \leq 1 \leq 2=0 \), luego por la antisimetría del orden, \( 1=0=2 \). En particular d) es verdadera. Ahora, sumando \( 6 \) a ambos lados de la igualdad \( 1=2 \), tenemos \( 7=8 \). Luego a) es verdadera. Y b) es verdadera, sin necesidad de usar la hipótesis (puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \)). Así pues, usando la hipótesis \( 3=5 \) hemos demostrado que todas las opciones son verdaderas. Si te has centrado en la c) es simplemente porque es la más sencilla de deducir, pero eso es engañoso. En lógica clásica a partir de una premisa falsa puedes demostrar cualquier cosa (es el llamado principio de explosión).

Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.


Saludos

08 Diciembre, 2020, 12:25 pm
Respuesta #4

ancape

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El problema con esto es que a partir de algo falso puedes demostrar absolutamente cualquier cosa. Por ejemplo, partiendo de \( 3=5 \), restando \( 3 \) a ambos lados, tenemos \( 0=2 \). Pero \( 0 \leq 1 \leq 2=0 \), luego por la antisimetría del orden, \( 1=0=2 \). En particular d) es verdadera. Ahora, sumando \( 6 \) a ambos lados de la igualdad \( 1=2 \), tenemos \( 7=8 \). Luego a) es verdadera. Y b) es verdadera, sin necesidad de usar la hipótesis (puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \)). Así pues, usando la hipótesis \( 3=5 \) hemos demostrado que todas las opciones son verdaderas. Si te has centrado en la c) es simplemente porque es la más sencilla de deducir, pero eso es engañoso. En lógica clásica a partir de una premisa falsa puedes demostrar cualquier cosa (es el llamado principio de explosión).

Añadiría lo siguiente:

Voy a poner un ejemplo sencillo para ilustrarlo.
Enunciado del problema
Si \(  3=5  \) marcar la opción correcta
a) \( 7=8 \)
b) \( 7\neq 8 \)
c) \( 8 = 10 \)
d) \( 1 = 2 \)

Claramente, si la hipótesis fuese cierta, la respuesta correcta es c) pues si \(  3=5  \), sumando \( 5 \) a ambos miembros de la igualdad hipótesis, obtenemos la condición c)

Si \( 3=5 \) fuera cierto estarías aplicando incorrectamente el modus ponens. Para el modus ponens no basta con \( P\to Q \) sino que "de \( P \) y \( P\to Q \), se deduce \( Q \)", que es regla de deducción tanto en el sistema formal del cálculo de enunciados formal \( L \) como en el cálculo de predicados formal \( \mathcal{L} \) para la construcción de teoremas.

En la edad media los médicos recurrían al latín cuando no sabían explicar algo.

08 Diciembre, 2020, 12:47 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Pero es que la propia premisa es contradictoria. Puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \), a partir de los axiomas de Peano o donde quieras. Una demostración incondicional, que no use la premisa, es también una demostración bajo la premisa. Dicho de otra forma, si \( Q \) es cierto, también lo es \( P \to Q \) sea cual sea \( P \).

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Diciembre, 2020, 01:16 pm
Respuesta #6

Fernando Revilla

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En la edad media los médicos recurrían al latín cuando no sabían explicar algo.

Ahora, cuando alguien intenta justificar lo injustificable sin recurrir a la razón se dice que está usando un argumento ad hominen.

08 Diciembre, 2020, 01:23 pm
Respuesta #7

ancape

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Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Pero es que la propia premisa es contradictoria. Puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \), a partir de los axiomas de Peano o donde quieras. Una demostración incondicional, que no use la premisa, es también una demostración bajo la premisa. Dicho de otra forma, si \( Q \) es cierto, también lo es \( P \to Q \) sea cual sea \( P \).

La premisa no es contradictoria, como tampoco lo es que por un punto exterior a una recta sólo se pueda trazar una paralela, en todo caso lo único que puede decirse es que en la aritmética que generan los axiomas de Peano, la proposición no es cierta \( (cierta \neq contradictoria) \)

El enunciado dice exactamente que supongamos que la igualdad fuese válida y actuemos en consecuencia. Es el típico problema de lógica matemática.

No vale demostrar 7=8 con esa premisa, \( 7\neq8 \) con otra premisa (la demostración usual basada en los axiomas de Peano) y concluir que las afirmaciones 7=8 y \( 7\neq8 \) son ambas ciertas como no valdría decir que la suma de ángulos de un triángulo es 180º pues puede demostrarse (en geometría euclídea) pero no suman 180º porque también puede demostrarse (geometrías no euclídeas).

Saludos

08 Diciembre, 2020, 01:25 pm
Respuesta #8

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Ahora, cuando alguien intenta justificar lo injustificable sin recurrir a la razón se dice que está usando un argumento ad hominen.

No sabía que usaras argumentos ad hominen

08 Diciembre, 2020, 01:35 pm
Respuesta #9

Fernando Revilla

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Ya, ya, je je. Estudia lógica (puedes empezar con los libros de bachillerato) y si tienes alguna duda, pregunta.