Autor Tema: Usando todas las hipótesis y la tesis, buscar la hipótesis faltante

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08 Diciembre, 2020, 07:17 am
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manooooh

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Hola!!

Considerando la similitud con este hilo: Dado un razonamiento cuantificado hallar hipótesis faltante estoy lidiando con este ejercicio:

Teniendo en cuenta TODAS las hipótesis y la tesis, la hipótesis faltante para realizar la deducción es:

\(
\begin{array}{ll}
\text{H1:}&\forall x(Ax\to Fx\land Ex)\\
\text{H2:}&\forall x(Tx\to Hx\land Kx)\\
\text{H3:}&\forall x(Ux\lor Kx\to Ax\land\neg Px)\\
\text{H4:}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\hline
\text{C:}&\forall x(Ax\land Ex)
\end{array}
 \)

1) \( \forall x(Ux\land Ex) \)
2) \( \forall x(Ux\land Tx) \)
3) \( \forall x(Ux\lor Tx) \)
4) \( \exists x(Ux\lor Tx\lor Ax) \)

La respuesta dice que la faltante es la 3), pero no veo cómo ya que nunca llego a deducir la tesis.

Reglas de inferencia permitidas
Modus Ponens, Modus Tollens, Adición, Simplificación, silogismo hipotético, y las siguientes llamadas dilemas constructivo y silogismo disyuntivo (en ese orden):

\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
r\to s\\
p\vee r\\\hline
\therefore q\vee s
\end{array}\qquad
\begin{array}{l}
p\vee q\\
\neg q\\\hline
\therefore p
\end{array}
 \)
[cerrar]

A continuación lo que hice:



USANDO 1: (Me falta usar H2)

Spoiler
\(
\begin{array}{lll}
(1)&\forall x(Ax\to Fx\land Ex)&\text{Premisa}\\
\color{red}(2)&\color{red}\forall x(Tx\to Hx\land Kx)&\color{red}\text{Premisa}\\
(3)&\forall x(Ux\lor Kx\to Ax\land\neg Px)&\text{Premisa}\\
(4)&\forall x(Ux\land Ex)&\text{Premisa}\\
(5)&A\to F\land E&\text{Particularización $\forall$ (1)}\\
\color{red}(6)&\color{red}T\to H\land K&\color{red}\text{Particularización $\forall$ (2)}\\
(7)&U\lor K\to A\land\neg P&\text{Particularización $\forall$ (3)}\\
(8)&U\land E&\text{Particularización $\forall$ (4)}\\
(9)&U&\text{Eliminación $\land$ (8)}\\
(10)&U\lor K&\text{Introducción $\lor$ (9)}\\
(11)&A\land\neg P&\text{MP (7), (10)}\\
(12)&A&\text{Eliminación $\land$ (11)}\\
(13)&F\land E&\text{MP (5), (12)}\\
(14)&E&\text{Eliminación $\land$ (13)}\\
(15)&A\land E&\text{Introducción $\land$ (12), (14)}\\
(16)&\forall x(Ax\land Ex)&\text{Generalización $\forall$ (15)}\\
\end{array}
 \)
[cerrar]



USANDO 2: (Uso todas las hipótesis)

Spoiler
\(
\begin{array}{lll}
(1)&\forall x(Ax\to Fx\land Ex)&\text{Premisa}\\
(2)&\forall x(Tx\to Hx\land Kx)&\text{Premisa}\\
(3)&\forall x(Ux\lor Kx\to Ax\land\neg Px)&\text{Premisa}\\
(4)&\forall x(Ux\land Tx)&\text{Premisa}\\
(5)&A\to F\land E&\text{Particularización $\forall$ (1)}\\
(6)&T\to H\land K&\text{Particularización $\forall$ (2)}\\
(7)&U\lor K\to A\land\neg P&\text{Particularización $\forall$ (3)}\\
(8)&U\land T&\text{Particularización $\forall$ (4)}\\
(9)&U&\text{Eliminación $\land$ (8)}\\
(10)&U\lor K&\text{Introducción $\lor$ (9)}\\
(11)&A\land\neg P&\text{MP (7), (10)}\\
(12)&A&\text{Eliminación $\land$ (11)}\\
(13)&F\land E&\text{MP (5), (12)}\\
(14)&T&\text{Eliminación $\land$ (8)}\\
(15)&H\land K&\text{MP (6), (14)}\\
(16)&K&\text{Eliminación $\land$ (15)}\\
(17)&U\lor K&\text{Introducción $\lor$ (16)}\\
(18)&A\land\neg P&\text{MP (7), (17)}\\
(19)&E&\text{Eliminación $\land$ (13)}\\
(20)&A\land E&\text{Introducción $\land$ (12), (19)}\\
(21)&\forall x(Ax\land Ex)&\text{Generalización $\forall$ (20)}\\
\end{array}
 \)
[cerrar]



USANDO 3: (No llego nunca a la tesis)

Spoiler
\(
\begin{array}{lll}
(1)&\forall x(Ax\to Fx\land Ex)&\text{Premisa}\\
(2)&\forall x(Tx\to Hx\land Kx)&\text{Premisa}\\
(3)&\forall x(Ux\lor Kx\to Ax\land\neg Px)&\text{Premisa}\\
(4)&\forall x(Ux\lor Tx)&\text{Premisa}\\
(5)&A\to F\land E&\text{Particularización $\forall$ (1)}\\
(6)&T\to H\land K&\text{Particularización $\forall$ (2)}\\
(7)&U\lor K\to A\land\neg P&\text{Particularización $\forall$ (3)}\\
(8)&U\lor T&\text{Particularización $\forall$ (4)}\\\hline
&&\text{A partir de aquí empiezo a deducir cosas innecesarias}\\\hline
(9)&A\to F&\text{De (5)}\\
(10)&A\to E&\text{De (5)}\\
(11)&U\to A&\text{De (7)}\\
(12)&U\to\neg P&\text{De (7)}\\
(13)&K\to A&\text{De (7)}\\
(14)&K\to\neg P&\text{De (7)}\\
(15)&U\to F&\text{SH (9), (11)}\\
(16)&U\to E&\text{SH (10), (11)}\\\hline
&&\text{Y así sigue...}\\\hline
\end{array}
 \)
[cerrar]



USANDO 4:

Spoiler
Aquí con certeza afirmo que no es la hipótesis correcta, pues si la usáramos el razonamiento sería inválido ya que la tesis tiene un "Para todo" y por tanto sus hipótesis deben ser "Para todo", sin la variable restringida.
[cerrar]

Mis preguntas:

1) ¿Ven si se podrían usar todas las hipótesis considerando 1)?

2) ¿Es correcta la deducción de 2)?

3) Cuando considero la 3) me queda \( U\lor T \), ¿de aquí puedo decir que por eliminación de la disyunción me quedo con p.e. \( T \) o no es una regla de inferencia válida?

4) ¿Por qué dicen que la opción correcta es 3) si yo no pude llegar a la tesis?

5) ¿La justificación de 4) es correcta? Me temo que no alcance y haya que dar una interpretación concreta donde muestre que las premisas son verdaderas pero la conclusión falsa, ya que ese argumento encaja con lo que mencionaron aquí:

No sé si entiendo correctamente la pregunta, pero yo diría que no, depende del razonamiento. Por ejemplo, podrías tener algo del estilo:
Premisa: \( \exists x (P(x) \wedge \forall y(y=x)) \)
Conclusión: \( \forall x P(x) \)
Este es un razonamiento válido.

¿O es que, como dice la cita "depende del razonamiento", en este caso puedo justificarlo así? ¿Por qué podría o por qué no?



Igualmente tengan en cuenta que este es un ejercicio de examen, no hay tiempo como para ponerse con todas las posibilidades porque hay que dedicar tiempo a otros ejercicios.

Si pueden ir contestando punto por punto se los agradecería.

Saludos

08 Diciembre, 2020, 09:39 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Permíteme que en un primer momento NO conteste directamente a tus preguntas.

 Como primera observación entiendo que el ejercicio pide que se escoja que hipótesis falta para poder concluir la tesis, sin que SOBRE ninguna de las hipótesis propuestas.

 Tengo una curiosidad. Independientemente de como redactes la resolución, para decidir cual es la respuesta, ¿razonas como has escrito? ¿o primero haces un estudio rápido de la situación entendiendo, más allá del formalismo estricto, que significa cada hipótesis y la tesis?.

 Te digo como razono yo. La tesis es que para todo elemento se cumpla \( A \) y \( E \).
 Por la hipótesis 1, si se cumple \( A \) se cumple \( E \). Luego realmente lo que necesitamos para la tesis es que para todo elemento se cumpla \( A \).
 En la hipótesis 3 si se cumple \( U \) ó \( K \) ya tenemos que se cumple \( A \).

 Por ahora me olvido de la hipótesis 2.

 Entonces paso a analizar las posibilidades:

 - En (1) para todo \( x \) se cumple \( U \). Por tanto según razonamos antes se cumple la conclusión. Y NO hace falta la H2.
 - En (2) IDEM.
 - En (3) para todo \( x \) se cumple \( U \) ó \( T \). Si se cumple \( U \) tenemos la tesis. Si se cumple \( T \) por H2 se cumple \( K \) y por \( H \) se cumple \( A \): tenemos la tesis.
 - En (4) la única información es sobre la existencia de UN elemento, luego no podemos deducir nada para TODOS los elementos.

 Entonces en (1) y (2) tienes que dar un ejemplo de que cumplen H1,H3, y (a) o (b) y la TESIS pero H2 es falsa. Eso prueba que la hipótesis 2 es inncecesaria y por tanto no son respuestas a lo que se preguntan.

 En (3) tienes que dar tres ejemplos donde se cumplan tres de las cuatro hipótesis H1,H2,H3 y (c) (eliminando en cada una H1, H2 ó H3) pero no se cumpla la tesis. Eso muestra que todas las hipótesis son necesarias.

 En (4) tienes que dar un ejemplo donde se cumplan H1,H2,H3 y (d) pero no la tesis.

Saludos.

09 Diciembre, 2020, 02:16 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Tengo una curiosidad. Independientemente de como redactes la resolución, para decidir cual es la respuesta, ¿razonas como has escrito? ¿o primero haces un estudio rápido de la situación entendiendo, más allá del formalismo estricto, que significa cada hipótesis y la tesis?.

¿Cómo puedes darle un significado a cada hipótesis y tesis si no hay contexto alguno?

Te digo como razono yo. La tesis es que para todo elemento se cumpla \( A \) y \( E \).
 Por la hipótesis 1, si se cumple \( A \) se cumple \( E \). Luego realmente lo que necesitamos para la tesis es que para todo elemento se cumpla \( A \).
 En la hipótesis 3 si se cumple \( U \) ó \( K \) ya tenemos que se cumple \( A \).

 Por ahora me olvido de la hipótesis 2.

 Entonces paso a analizar las posibilidades:

 - En (1) para todo \( x \) se cumple \( U \). Por tanto según razonamos antes se cumple la conclusión. Y NO hace falta la H2.
 - En (2) IDEM.
 - En (3) para todo \( x \) se cumple \( U \) ó \( T \). Si se cumple \( U \) tenemos la tesis. Si se cumple \( T \) por H2 se cumple \( K \) y por \( H \) se cumple \( A \): tenemos la tesis.
 - En (4) la única información es sobre la existencia de UN elemento, luego no podemos deducir nada para TODOS los elementos.

 Entonces en (1) y (2) tienes que dar un ejemplo de que cumplen H1,H3, y (a) o (b) y la TESIS pero H2 es falsa. Eso prueba que la hipótesis 2 es inncecesaria y por tanto no son respuestas a lo que se preguntan.

 En (3) tienes que dar tres ejemplos donde se cumplan tres de las cuatro hipótesis H1,H2,H3 y (c) (eliminando en cada una H1, H2 ó H3) pero no se cumpla la tesis. Eso muestra que todas las hipótesis son necesarias.

 En (4) tienes que dar un ejemplo donde se cumplan H1,H2,H3 y (d) pero no la tesis.

Sobre la primera parte lo he entendido bien, vas razonando sin hacer los cálculos.

No entiendo:

- Cuando dices "En (3) para todo \( x \) se cumple \( U \) ó \( T \). Si se cumple \( U \) tenemos la tesis", tenemos \( U\lor T \) y entiendo que primero dices "Si considero \( U \) pasa esto. Y si pasa \( T \) pasa esto otro". Vale, tiene sentido, pero lógicamente (y tratando de no agregar más suposiciones), ¿cómo se haría con las reglas de inferencia propuestas?

- Cuando dices "En (4) la única información es sobre la existencia de UN elemento, luego no podemos deducir nada para TODOS los elementos." es falso. Te cito el ejemplo de geómetracat:

No sé si entiendo correctamente la pregunta, pero yo diría que no, depende del razonamiento. Por ejemplo, podrías tener algo del estilo:
Premisa: \( \exists x (P(x) \wedge \forall y(y=x)) \)
Conclusión: \( \forall x P(x) \)
Este es un razonamiento válido.

En ese razonamiento la única información es sobre la existencia de UN elemento, y sin embargo podemos deducir que se cumple para TODOS los elementos. Así que hay que buscar otra alternativa, y por eso pregunto si la única vía es buscar un contraejemplo.

Luego no entiendo qué serían esos que llamas (a), (b), (c) y (d).

Finalmente, cuando hablas de "Eso prueba que la hipótesis 2 es inncecesaria y por tanto no son respuestas a lo que se preguntan", ¿podrías explicarlo más en detalle? ¿Cómo es que funcionan este tipo de pruebas?

Gracias Luis.

Saludos

09 Diciembre, 2020, 09:29 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

¿Cómo puedes darle un significado a cada hipótesis y tesis si no hay contexto alguno?

No me refiero a dar significado a cada hipótesis y tesis, sino a razonar con la lógica natural sin especificar (ni por escrito ni tan siquiera mentalmente) de manera rigurosa si estamos usando tal o cual regla de inferencia. De hecho  luego dices que has entendido más o menos como he razonado (independientemente de las dudas concretas), así que me refería a lo que tu luego citas como: "Sobre la primera parte lo he entendido bien, vas razonando sin hacer los cálculos.".

Eso: me refiero a ir razonando sin hacer los cálculos.

Citar
No entiendo:

- Cuando dices "En (3) para todo \( x \) se cumple \( U \) ó \( T \). Si se cumple \( U \) tenemos la tesis", tenemos \( U\lor T \) y entiendo que primero dices "Si considero \( U \) pasa esto. Y si pasa \( T \) pasa esto otro". Vale, tiene sentido, pero lógicamente (y tratando de no agregar más suposiciones), ¿cómo se haría con las reglas de inferencia propuestas?

Pues con mucha paciencia.  :D He supuesto que las reglas se pueden usar son las usuales: las de la lógica natural. Y, no lo digo orgulloso, no me las sé, francamente. Por una laguna bastante sorprendente en el plan de estudios de Matemáticas de mi época, no estudié ninguna asignatura de lógica (más allá de que transversalmente se recordasen ciertas cosas en otras materias). Las asignaturas de lógica eran opcionales y por aquel entonces me interesaban más otras cosas. Así que no me las conozco por su nombre; entonces tendría que ir apuntando uno por uno lo que era Modus Ponens, Modus Tollens, Adición, Simplificación, silogismo hipotético, etcétera...

Lo que si tengo claro es que cualquier razonamiento que uno hace aplicando la lógica de forma más intuitiva, se puede formalizar sin problema con esas reglas; y realmente eso es trabajo de oficina, funcionarial, burocracia matemática; puede ser más o menos pesado, pero no habrá ahí ninguna idea demasiado relevante.

En el fondo eso es la filosofía de todo mi mensaje anterior.

Citar
- Cuando dices "En (4) la única información es sobre la existencia de UN elemento, luego no podemos deducir nada para TODOS los elementos." es falso. Te cito el ejemplo de geómetracat:

No sé si entiendo correctamente la pregunta, pero yo diría que no, depende del razonamiento. Por ejemplo, podrías tener algo del estilo:
Premisa: \( \exists x (P(x) \wedge \forall y(y=x)) \)
Conclusión: \( \forall x P(x) \)
Este es un razonamiento válido.

En ese razonamiento la única información es sobre la existencia de UN elemento, y sin embargo podemos deducir que se cumple para TODOS los elementos. Así que hay que buscar otra alternativa, y por eso pregunto si la única vía es buscar un contraejemplo.

Eso es un poco de trampa; en el ejemplo de geómetracat aparece por ahí escondido un para todo. Le hiciste una pregunta muy genérica (supongo) de si por el mero hecho de que aparezca un "existe" todo lo que venga después se refiere sólo a un elemento...y tan genéricamente la respuesta es NO. Pero no es el caso de la hipótesis 4) que nos ocupa.

Además recuerda que estoy razonando un tanto informalmente; lo que trato de decirte es que antes de ponerse a formalizar nada, en mi opinión, uno tiene que tener nítidamente claro cuál es la respuesta al problema. Porque tal hipótesis vale y tal otra no. Y eso se puede hacer sin las más mínima formalización.

Citar
Luego no entiendo qué serían esos que llamas (a), (b), (c) y (d).

Hombre, eso fue un despiste.  :'( Pero... ¿quizá a falta de otros candidatos no se podría haber sobreentendido qué me refería a las opciones 1)2)3)4) que se dan cómo posibles respuestas?. 

Citar
Finalmente, cuando hablas de "Eso prueba que la hipótesis 2 es inncecesaria y por tanto no son respuestas a lo que se preguntan", ¿podrías explicarlo más en detalle? ¿Cómo es que funcionan este tipo de pruebas?

Lo único que digo es que si de este razonamiento:

Te digo como razono yo. La tesis es que para todo elemento se cumpla \( A \) y \( E \).
 Por la hipótesis 1, si se cumple \( A \) se cumple \( E \). Luego realmente lo que necesitamos para la tesis es que para todo elemento se cumpla \( A \).
 En la hipótesis 3 si se cumple \( U \) ó \( K \) ya tenemos que se cumple \( A \).

 Por ahora me olvido de la hipótesis 2.

 Entonces paso a analizar las posibilidades:

 - En (1) para todo \( x \) se cumple \( U \). Por tanto según razonamos antes se cumple la conclusión. Y NO hace falta la H2.
 - En (2) IDEM.

 vemos que H1,H3+opción 1\( (\forall x(Ux\land Tx) \)) concluimos la TESIS C, y no usamos para nada la hipótesis H2, pues entonces la hipótesis 2 no es necesaria para obtener la tesis con esas tres premisas. Y por tanto la opción (1) no es la respuesta correcta a lo que nos preguntan, ya que como aclaré al principo, entiendo que el ejercicio pide:

Citar
Como primera observación entiendo que el ejercicio pide que se escoja que hipótesis falta para poder concluir la tesis, sin que SOBRE ninguna de las hipótesis propuestas.

 Si escogiésemos como hipótesis añadida la opción (1) la H2 sobraría (no sería necesaria) para concluir la tesis.

Saludos.

09 Diciembre, 2020, 11:12 am
Respuesta #4

geómetracat

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Pues con mucha paciencia.  :D He supuesto que las reglas se pueden usar son las usuales: las de la lógica natural. Y, no lo digo orgulloso, no me las sé, francamente. Por una laguna bastante sorprendente en el plan de estudios de Matemáticas de mi época, no estudié ninguna asignatura de lógica (más allá de que transversalmente se recordasen ciertas cosas en otras materias). Las asignaturas de lógica eran opcionales y por aquel entonces me interesaban más otras cosas. Así que no me las conozco por su nombre; entonces tendría que ir apuntando uno por uno lo que era Modus Ponens, Modus Tollens, Adición, Simplificación, silogismo hipotético, etcétera...

Yo estudié bastante lógica en su día y tampoco me sé los nombres, más allá de los básicos como modus ponens. En mi experiencia se los saben mejor los filósofos que los matemáticos. Pero vamos, tampoco hice muchos ejercicios de formalizar frases enormes o de hacer deducciones como estos problemas que suele poner manooooh. El énfasis suele estar más en entender qué es una demostración formal, la relación sintaxis-semántica y los límites de la lógica, que en hacer deducciones de este tipo, que no aportan gran cosa.

Citar
Citar
- Cuando dices "En (4) la única información es sobre la existencia de UN elemento, luego no podemos deducir nada para TODOS los elementos." es falso. Te cito el ejemplo de geómetracat:

No sé si entiendo correctamente la pregunta, pero yo diría que no, depende del razonamiento. Por ejemplo, podrías tener algo del estilo:
Premisa: \( \exists x (P(x) \wedge \forall y(y=x)) \)
Conclusión: \( \forall x P(x) \)
Este es un razonamiento válido.

En ese razonamiento la única información es sobre la existencia de UN elemento, y sin embargo podemos deducir que se cumple para TODOS los elementos. Así que hay que buscar otra alternativa, y por eso pregunto si la única vía es buscar un contraejemplo.

Eso es un poco de trampa; en el ejemplo de geómetracat aparece por ahí escondido un para todo. Le hiciste una pregunta muy genérica (supongo) de si por el mero hecho de que aparezca un "existe" todo lo que venga después se refiere sólo a un elemento...y tan genéricamente la respuesta es NO. Pero no es el caso de la hipótesis 4) que nos ocupa.

La pregunta concreta era: "Si tenemos un razonamiento con al menos una variable cuantificada existencialmente y la conclusión tiene a la misma variable cuantificada universalmente, ¿podemos decir que el razonamiento siempre será inválido?"
Y la respuesta a eso es claramente no, y a eso respondía ese ejemplo.

De todas formas tampoco hay que ser tan rígido. El hecho de pensar "en la hipótesis aparece una variable con un cuantificador existencial y en la conclusión una variable con un cuantificador universal, por lo que es probable que el razonamiento sea inválido" es una primera intuición muy válida. Luego habrá que comprobar/demostrar que es así. Y en este ejemplo no es muy difícil ver que es así construyendo un modelo que cumpla las hipótesis y no la conclusión.

Estoy de acuerdo con lo que te ha dicho Luis, y ya te lo dije yo (y otros como Carlos Ivorra) en alguna ocasión. Para enfrentarte a una demostración formal tienes que conocer la demostración a un nivel intuitivo (o mejor dicho, a nivel semántico) antes de ponerte a aplicar reglas sin ton ni son. Eso es lo que te pasa con 3), como no entiendes previamente la demostración vas aplicando reglas sin ninguna guía y te haces un lío. Si antes has pensado este argumento:
- En (3) para todo \( x \) se cumple \( U \) ó \( T \). Si se cumple \( U \) tenemos la tesis. Si se cumple \( T \) por H2 se cumple \( K \) y por \( H \) se cumple \( A \): tenemos la tesis.
Entonces es mucho más fácil (rutina pura) formalizar la demostración, porque tienes una guía clara de por dónde tirar.

En resumen, más flexibilidad, más intuición, y menos rigidez y formalidad en primera instancia. Cuando veas las cosas claras a un nivel informal, entonces te puedes dedicar al rigor y la formalización.


La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)