Autor Tema: Ordenación de dígitos.

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22 Abril, 2008, 07:11 pm
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7up

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Hola

De una lista de 40 ejercicios de combinatoria hay unos pocos, por suerte, que no sé cómo resolver.
Por ejemplo este:

Calcula el número de formas en que pueden ordenarse los dígitos \( 0,1,2,...,9  \) de modo que el primer dígito es mayor que \( 1 \), el último es menor que \( 8 \) y el tercero es distinto de \( 5 \). Como ayuda te dice: Usa inclusión y exclusión.

No sé porque habrá que complicarse tanto con aplicar inclusión y exclusión, a mi se me ocurre:
-número de formas de ordenarlo sin restricciones: \( 10! \)
-número de formas posibles de restricciones: para el primer dígito, no puede haber \( 0 \) ni \( 1 \) -\( 2 \)-; para el tercero no puede haber un \( 5 \) -\( 9 \)-; para el último no puede ser \( 8 \) ni \( 9 \) -\( 2 \)- por tanto: \( 2\cdot{}9\cdot{}2=32 \)
-Por cada una de las posibles restricciones, el resto de números puede ordenarse de \( 7! \) formas

Por tanto el resultado es: \( 10!-32\cdot{}7! \)
¿Estaría bien realizado?
Me despista algo que me recomienden usar inclusión y exclusión.

¡Saludos!

23 Abril, 2008, 03:25 am
Respuesta #1

almendra

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Hola.

Puede haber más de una forma de hacerlo. Una puede ser:

Llamemos \( A_1 \) al conjunto de "ordenaciones" en las que el primer dígito es 0 o 1;
\( A_2 \), al conjunto de las que terminan en 8 o 9; y \( A_3 \) al conjunto de "ordenaciones"  en las que el tercer dígito es 5.

Entonces, el número que buscas se obtiene restando   todas las ordenaciones (10!) menos  (cuando el primer dígito es 0 o 1; ó cuando el último dígito es 8 o 9; ó cuando el tercer dígito es 5), o sea   
 \( 10!  -  | A_1\cup  A_2 \cup A_3 | \) y acá usás el principio de inclusión-exclusión.

23 Abril, 2008, 10:09 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 7up tu razonamiento no es correcto por dos motivos:

 1) El primero, es más bien una errata. Cuando argumentas así:

Citar
-número de formas posibles de restricciones: para el primer dígito, no puede haber \( 0 \) ni \( 1 \) -\( 2 \)-; para el tercero no puede haber un \( 5 \) -\( \color{red}9\color{black} \)-; para el último no puede ser \( 8 \) ni \( 9 \) -\( 2 \)- por tanto: \( 2\cdot{}9\cdot{}2=32 \)

 Creo que si para el tercero no puede haber un 5, la posibilidad que quieres quitar es precisamente que aparezca ese número (una y no nueve).

 2) El segundo es conceptual. Razonando así estás sólo quitando aquellas combinaciones en las que se rompen todas las restricciones al mismo tiempo. Con la notación de almendra, estás restando:

\( \#(A_1\cap A_2\cap A_3) \)

 Trata de rehacerlo con la idea que te dio ella.

Saludos.

29 Abril, 2008, 09:20 pm
Respuesta #3

7up

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¡Hola!
No he podido responder antes ::) mil disculpas.

Muchas gracias a los dos.

No comparto vuestro modo de ver el enunciado; lo copié tal cual viene en la relación.
Yo no entiendo por qué pensais en que deba ser: que no empiece en cero,uno ó no tenga un 5 en el tercer dígito ó sea mayor que 8 el último dígito.

Vosotros deducís que es así, porque se pide usar inclusión-exclusión ¿No?
Yo más bien entendía que no se debían dar las 3 condiciones a la vez, pues al final del enunciado ponía "y el tercero es distinto..."
Si es así vale por mi.
De todas formas, no tiene importancia apenas.

Lo resuelvo a ver qué tal:

|u|=10!
|A1|=2x9!
|A2|=2x9!
|A3|=9!
La solución es: |u|-|A1uA2uA3|=
10!-(5x9!-|A1^A2|-|A1^A3|-|A2^A3|+|A1^A2^A3|)
Tengo la duda aqui, no sé si estará bien:
|A1^A2|=4x8!
|A1^A3|=2x8!
|A2^A3|=2x8!
|A1^A2^A3|=4x7!

Gracias.
¡Saludos!

29 Abril, 2008, 11:05 pm
Respuesta #4

almendra

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Hola.

La parte de cuentas está bien, pero yo me detendría un minuto más en el planteo para que no parezca cosa de magia. Quería decirte que yo entendí el resultado exactamente igual que vos: también buscaba el número de ordenaciones  en las que se cumplieran  SIMULTANEAMENTE las tres condiciones pedidas;  es decir,  que  se cumplan a la vez  la condición 1 y  la condición 2  y la condición 3. Sólo que para calcularlo dije lo siguiente:

  Busquemos para qué ordenaciones falla esto de "cumplirse simultáneamente la condición 1, 2 y 3" y restemos ese número del total.

Por eso es que buscamos las  ordenaciones que NO cumplen SIMULTANEAMENTE las condiciones 1, 2 y 3. Y ¿éstas cuáles son? Son las ordenaciones en las que falla la  condición 1 ó la condición 2 ó la condición 3.

Spoiler
Si uno quisiera extenderse, podría recordar aquello de que el complemento de una intersección es una unión, pero eso ya sería  otra historia.
[cerrar]

Saludos.

30 Abril, 2008, 09:17 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Reincido más en lo que dice almendra.

 Por si quedan dudas, yo también entendí el enunciado como vosotras.

 Precisamente por eso creo que tu error es conceptual. Imagina que te dicen: cuenta cuantos alumnos hay en tu clase que no sean morenos ni tengan veinte años.

 Tu lo que hacías al principio es: contar todos los alumnos y descontar cuantos morenos hay de 20 años. Pero ¿y los qué tienen 20 años pero son rubios? ¿y los qué son morenos pero no tienen 20 años? ¿no los descuentas?.

 (descuentas \( \#(M\cap N) \) en lugar de \( \#(M\cup N) \))

 La forma correcta es (y donde aparece el principio inclusión/exclusión) es: contar todos los alumnos, descontamos los que son morenos, descontamos los que tiene 20 años, pero los que son al mismo tiempo morenos de 20 años los hemos descontado dos veces... se lo volvemos a sumar:

\( \#(M\cup V)=\#M+\#V-\#(M\cap V) \)

Saludos.