Autor Tema: Sumar, multiplicar y calcular inverso en aritmética de polinomios

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18 Noviembre, 2020, 10:41 am
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Frankie

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Buenas, se me ha planteado el siguiente problema:

Sea \( A=Z_5[x] x^4+x^3+3x^2+4 \)

Realiza en \( A \), si es posible, los siguientes cálculos:

  • \( (3x^3+4x^2+x+2)*(4x^3+x^2+2) \)
  • \( (2x^2+1)*(x^3+3x^2+2)+(2x^3+3x+3)^{-1}*(x^3+2)^2 \)
  • \( (2x^3+x^2+x+4)^{-1}*(x^3+x) \)

Lo único que se es que \( A \) tiene 625 elementos y que \( A \) no es un cuerpo, ya que \( x^4+x^3+3x^2+4 \) no es irreducible.

¿Cómo se cuándo no es posible realizar esos cálculos?

Además, también me piden lo siguiente:

Calcula un elemento \( a \in{A} \) tal que:

  • \( (x^3+x+2)(a+x) = a(4x^3+4x^2+3)+(x^2+1) \)

En este último no sé cómo proceder. ¿Me echan una mano?

Muchas gracias de antemano.

18 Noviembre, 2020, 11:34 am
Respuesta #1

geómetracat

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Supongo que querías poner:
\( A=Z_5[x]/(x^4+x^3+3x^2+4) \).

Como es un anillos, siempre puedes calcular sumas y productos. La única posible dificultad es a la hora de calcular inversas, ya que al no ser \( x^4+x^3+3x^2+4 \) irreducible, puede ser que un polinomio no nulo no tenga inversa. Para esto hay que usar el siguiente resultado: un polinomio \( p(x) \) es invertible en \( A \) si y solo si es coprimo con \( x^4+x^3+3x^2+4 \).

Sobre el último, en principio puedes despejar \( a \) igual que si fuera una ecuación usual, siempre que los polinomios que necesites invertir por el camino sean invertibles (creo que aquí lo son).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Noviembre, 2020, 11:43 am
Respuesta #2

Frankie

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Perfecto, esas eran mis dudas. Con eso no debería de tener mucho problema, ya que solo sería multiplicar y sumar.

Para calcular el inverso se puede usar el algoritmo extendido de Euclides aunque sea más tedioso, ¿verdad?

¡Muchas gracias geómetracat!

18 Noviembre, 2020, 11:59 am
Respuesta #3

geómetracat

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Para calcular el inverso se puede usar el algoritmo extendido de Euclides aunque sea más tedioso, ¿verdad?
Exacto.

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¡Muchas gracias geómetracat!
De nada.  ;)
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Noviembre, 2020, 12:34 pm
Respuesta #4

Frankie

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Buenas de nuevo. Rescato este tema porque tengo algunas dudas con los cálculos. Por ejemplo:

  • \( (3x^3+4x^2+x+2)*(4x^3+x^2+2) \)

Tras hacer los cálculos, obtengo el siguiente polinomio:

\( 2x^6+4x^5+x^4+2x^3+x^2+x+2 \)

¿Cómo procedo ahora? ¿Tendría que usar el algoritmo de Horner y dividir ese polinomio entre \( x^4+x^3+3x^2+4 \)? Y si es así, una vez hecho esto, ¿cuál sería ese polinomio en el anillo? ¿El cociente que me ha salido?

Muchas gracias.

20 Noviembre, 2020, 12:50 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Sí, si quieres un representante de grado menor que \( 4 \) tienes que dividirlo por el polinomio por el que estás cocientando (aunque tendrás que usar la división larga, no el algoritmo de Horner). El resultado es el resto, no el cociente.
La cuestión es que si estás en un anillo \( k[x]/(f) \), y tienes un polinomio \( g \), puedes hacer la división \( g=fq+r \), y como tienes que \( f=0 \) en tu anillo, \( g=r \) en el anillo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Noviembre, 2020, 01:02 pm
Respuesta #6

Frankie

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Comprendo.

Una pregunta más. ¿Por qué en este caso no se podría aplicar el algoritmo de Horner?

Muchas gracias.

20 Noviembre, 2020, 01:59 pm
Respuesta #7

geómetracat

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Igual llamas algoritmo de Horner a otra cosa, pero lo que yo tengo entendido por algoritmo de Horner es solo para dividir por polinomios de la forma \( x-a \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Noviembre, 2020, 02:14 pm
Respuesta #8

Frankie

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Según hemos visto en clase se puede aplicar sobre cualquier polinomio. La única modificación es que si el polinomio divisor no es un polinomio mónico, habría que multiplicar el cociente por el inverso del coeficiente líder del divisor y además, en el algoritmo de Horner, los números que se ponen a la izquierda también hay que multiplicarlos por ese inverso.