Autor Tema: Ecuación en congruencia con Teorema de Euler

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16 Noviembre, 2020, 12:28 pm
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Frankie

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Buenas, se me ha planteado el siguiente problema:

\( 19^{470}x \equiv{21 mod 53} \)

No tengo mucha idea de por dónde empezar. ¿Me echan una mano?

16 Noviembre, 2020, 03:09 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Frankie el resultado está mal en lugar de 19 puse 9, mira la corrección hecha por martiniano.
Spoiler
A ver 19 y 53 son primos, y por tanto primos relativos. Tenemos que,

\[ \varphi(53)=52 \]

Y \[ 470=52\cdot 9+2 \]

por lo que

\[ 9^{470}=9^{2}\cdot (19^{52})^9\equiv 9^2(mod\; 53)\equiv 28(mod\; 53) \]

Dado que \[ 28\cdot 14\equiv 21(mod\; 53) \]

x=14+53K

Revisa, si no me he equivocado.
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Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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16 Noviembre, 2020, 03:42 pm
Respuesta #2

Frankie

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Vale, acabo de comprobarlo y sí, parece que su solución está bien.

Mil gracias, no sabía cómo abordar el problema.

16 Noviembre, 2020, 05:05 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Creo que hay una pequeña errata que no afecta al procedimiento pero sí al resultado:

\( 19^{470} =19^{52\cdot{}9+2}=(19^{52} )^9\cdot{}19^2\equiv{}19^2=361\equiv{43} \)

Un saludo.

16 Noviembre, 2020, 05:13 pm
Respuesta #4

ingmarov

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Hola.

Creo que hay una pequeña errata que no afecta al procedimiento pero sí al resultado:

\( 19^{470} =19^{52\cdot{}9+2}=(19^{52} )^9\cdot{}19^2\equiv{}19^2=361\equiv{43} \)

Un saludo.

Pequeña errata, es colosal  :banghead:

Gracias por revisar compañero.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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16 Noviembre, 2020, 07:38 pm
Respuesta #5

Frankie

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Había visto el error, suponía que era una errata y lo he corregido personalmente. No lo he indicado aquí porque me corría prisa por tener clase, pero lo he tenido en cuenta.

Gracias a ambos!

16 Noviembre, 2020, 07:56 pm
Respuesta #6

ingmarov

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Había visto el error, suponía que era una errata y lo he corregido personalmente. No lo he indicado aquí porque me corría prisa por tener clase, pero lo he tenido en cuenta.

Gracias a ambos!

¡Qué bien que te fijaste!

Hasta la próxima.
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