Autor Tema: Tres garrafas con distintas capacidades, y volver con determinados litros

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15 Noviembre, 2020, 06:37 pm
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Frankie

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Buenas tardes. Se me ha planteado el siguiente problema de artimética entera y modular:

Tenemos tres garrafas, con capacidades de 21, 35 y 45 litros. Vamos a una fuente a por agua, y queremos traer 17 litros. Antes de salir, nos piden que traigamos además 9 litros. ¿Sería posible, en un solo viaje, regrasar con 17 litros en una garrafa y 9 en la otra? Caso de ser posible, explica el procedimiento para lograrlo.

Entiendo correctamente el problema y antes de proceder a resolverlo he planteado el siguiente sistema de congruencias:

\( 21x + 35y + 45z \equiv{h} mód 17 \)
\( 21x + 35y + 45z \equiv{h mód 9} \)

No estoy seguro de haber planteado el sistema correctamente. ¿Me podrían echar una mano?

Muchas gracias de antemano.

16 Noviembre, 2020, 02:09 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Para obtener 17
A=21
B=35
C=45


Lleno C y lo vierto en B restan 10 en C
Vacío B lleno A y lo vierto en B
Lleno A y lo vuelvo a vertir en B en A sobran 7 y le agrego los 10 de C
Quedando 17 en A
Para conseguir otro de 9

 Lleno C y lo vierto en B restan 10 en C
 Vacio B
 Paso lo de C a B
 Lleno C y lo vierto en B ahora restan 20 en C
Vacio B
Paso lo de C a B
Lleno C y lo vierto en B ahora restan 30 en C
Vacío B
Paso los 17 de A a B
Vierto C en A llenándolo, el resto en C es 9
En B tengo 17 y en C 9 como pide del enunciado
Desconozco si las formulas resuelven el problema
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

16 Noviembre, 2020, 09:14 am
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

\( 21x + 35y + 45z \equiv{h} mód 17 \)
\( 21x + 35y + 45z \equiv{h mód 9} \)

No estoy seguro de haber planteado el sistema correctamente. ¿Me podrían echar una mano?

En estos problemas se suele aceptar que puedes llenar una garrafa hasta su máxima capacidad o verter su contenido en otra hasta que, o bien la primera se vacía por completo o hasta que la segunda se llena. No estoy seguro de que plantear ecuaciones diofánticas lineales vaya a llevar a buen puerto. No sé si hay algún algoritmo específico para este tipo de problemas. Yo una vez me encontré con un ejercicio parecido en una asignatura de teoría de grafos y lo que había que hacer es asignar a cada vértice de un grafo dirigido un trío de números que representarían cómo se hallan las tres garrafas en un determinado momento. Unir un vértice con otro significaba que se podía pasar de una situación a otra bien trasbasando agua de una garrafa a otra, bien vaciando una garrafa o bien llenándola. Luego, si se quiere hallar el camino más corto se aplica el algoritmo de ruta mínima, por ejemplo.

Con un poco de vista se puede llegar a una solución como la que ha propuesto Richard R. Richard o similar. Yo he encontrado otra bastante diferente, así que debe haber múltiples.

Un saludo.

16 Noviembre, 2020, 09:00 pm
Respuesta #3

Frankie

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Agradezco ambas respuestas pero es necesario para mi y para mi profesor tener un mínimo de explicación algebráica para este problema. Dicho esto, mis ecuaciones están mal planteadas.

Primeramente, habría que plantear una ecuación como sigue:

\( 21x + 35y + 45z = 17 \)

Siendo x, y, z las veces que hay que rellenar (o vaciar en caso de que sean negativas) cada una de las garrafas. La forma en la que he procedido es:

Buscar para qué valores de x la ecuación tiene solución, teniendo:

\( 35y + 45z = 17 - 21x \)

Como \( mcd(35, 45) = 5 \), tenemos que:

\[ 17-21x \equiv{0} \] \[ mód 5 \]
\( -21x\equiv{-17 mod 5} \)
\( 4x\equiv{3 mod 5} \). Multiplicamos por el inverso de \( 4 \) en \( Z(5) \) que es 4
\( x \equiv{2 mod 5} \)

Por tanto, tenemos que
\( x = 2+5k \)

Si sustituimos este valor en la ecuación original, tenemos:
\( 35y+45z = 17-21(2+5k) \)
\( 35y+45z = -25-105k \) (Dividimos entre 5)
\( 7y+9z = -5-21k \)

De aquí ya tenemos una congruencia de nuevo:

\( 7y \equiv{-5-21k mod 9} \)

Es fácil de resolver y de obtener el valor de \( y \) y posteriormente el de \( z \).

A partir de aquí no sé continuar, ya que con esos 3 valores tengo que estimar cuál de las tres garrafas se quedará con los 17 litros para luego plantear una ecuación similar a la inicial, pero con una incógnita menos ya que estaremos ocupando una garrafa.

Los valores finales que he obtenido para la primera ecuación, suponiendo que no me he equivocado, han sido:

\( x=2+5k \)
\( y=7+6k+9k' \)
\( z=-6-7k-7k' \)

Si sustituimos con \( k, k' = 0 \), tenemos \( x=2 \), \( y=7 \) y \( z=-6 \). A partir de aquí no sé proseguir.

16 Noviembre, 2020, 10:14 pm
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

Una pregunta, ¿lo que te ha dicho tu profesor es que debes resolver el problema a base de ecuaciones lineales, o que debes aplicar un algoritmo que sirva para un caso general?

Si es lo primero no sé a qué se refiere. Si es lo segundo, podría ser lo que te digo del grafo. No obstante, con los datos que das, creo que va a haber que programar un ordenador para ejecutarlo.

Un saludo.

16 Noviembre, 2020, 10:46 pm
Respuesta #5

Frankie

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Hola.

Una pregunta, ¿lo que te ha dicho tu profesor es que debes resolver el problema a base de ecuaciones lineales, o que debes aplicar un algoritmo que sirva para un caso general?

Si es lo primero no sé a qué se refiere. Si es lo segundo, podría ser lo que te digo del grafo. No obstante, con los datos que das, creo que va a haber que programar un ordenador para ejecutarlo.

Un saludo.

Hola martiniano. Tiene que ser con ecuaciones como las que he puesto en mi mensaje anterior, plantear una ecuación lineal y de ahí obtener una ecuación en congruencia para obtener todas las soluciones posibles al problema, aunque nos quedemos con la más fácil.

\( x=2+5k \)
\( y=7+6k+9k' \)
\( z=-6-7k-7k' \)

Según me acaba de decir mi profesor, esto que he hecho tiene sentido. No me ha dicho si está bien o mal evidentemente (puesto que este ejercicio he de resolverlo y entregarlo por mi cuenta), pero me ha dicho que es una solución que tiene sentido, y que en concreto tengo que: Llenar dos veces la garrafa de 21 litros, llenar 7 veces la garrafa de 35 litros y vaciar 6 veces la garrafa de 45, al menos para mi solución.

Ahora bien, para plantear la otra ecuación, me ha dicho que tengo que conseguir que la ecuación diofántica que plantee con el término independiente igual a 9 tenga solución. Por tanto, obtengo:

\( 21x+35y=9 \), tenemos que \( mcd(21,35)=7 \) que no divide a 9, por tanto estas dos garrafas no pueden ser.
\( 35y+45z=9 \), tenemos que \( mcd(35,45)=5 \) que tampoco divide a 9

Por descarte entonces, tengo que resolver la siguiente ecuación:
\( 21x+45z=9 \)

Estoy muy seguro de que este método de resolución es algo extraño y que muchos de ustedes no entendáis por qué hago esto... Pero si lo piensan, en el caso de que un ejercicio de este tipo apareciese en un examen, no puedo argumentar como lo hizo Richard R Richard en su mensaje, independientemente de que desde un punto de vista matemático sea correcto.

16 Noviembre, 2020, 10:57 pm
Respuesta #6

ingmarov

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...
Por descarte entonces, tengo que resolver la siguiente ecuación:
\( 21x+45z=9 \)

...

Aquí puedes ver la forma de resolver la ecuación diofántica que propones,

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=26781.msg105385#msg105385


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

16 Noviembre, 2020, 11:09 pm
Respuesta #7

Frankie

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