Autor Tema: Aritmética de Peano de segundo orden

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

05 Noviembre, 2020, 08:10 pm
Respuesta #10

JordiMath

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 103
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Por cierto, volviendo al tema, las traducciones de los axiomas de \( Z_{num} \) a \( AP_{2} \) me están costando de digerir, especialmente la del axioma de infinitud. De momento las he pasado un poco de puntillas aunque al terminar el capítulo les daré otra vuelta, a ver si las asimilo mejor.

05 Noviembre, 2020, 10:25 pm
Respuesta #11

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Por cierto, volviendo al tema, las traducciones de los axiomas de \( Z_{num} \) a \( AP_{2} \) me están costando de digerir, especialmente la del axioma de infinitud. De momento las he pasado un poco de puntillas aunque al terminar el capítulo les daré otra vuelta, a ver si las asimilo mejor.

Si precisas las dudas que tienes podemos intentar aclararlas, pero dicho así no sabría qué decirte.

08 Noviembre, 2020, 08:39 pm
Respuesta #12

JordiMath

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 103
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
He empezado la relectura de la parte donde se define \( AP_{2} \) y lo primero en que profundizar es la relación de pertenencia \( A∈^{*}B\equiv{\exists{n}(0∈B_{n}\wedge{A}\approx{B^{+}_{n}})} \) y básicamente la parte de \( A\approx{B^{+}_{n}} \) que equivale a \( \forall{m}(0∈A_{m}\rightarrow{\exists{n}A_{m}=B^{+}_{n}})\wedge{\forall{n}(0∈B^{+}_{n}\rightarrow{\exists{m}B^{+}_{n}=A_{m}})} \)

Ello significa que los conjuntos \( A_{m} \) que componen A son todos aquellos que incluyen el 0 (obvio) y cada uno de los cuales es igual a algún conjunto \( B^{+}_{n} \), siendo ello para todos los n, dado que la relación de pertenencia es para todo n.

Por tanto, sabiendo que \( B^{+}=\{n|n+1∈B\} \) entonces realmente que \( A∈^{*}B \) equivale a que A sea “igual” a todos los \( B^{+}_{n} \), que no son más que los elementos de B a los que se resta 1. ¿Es así?

08 Noviembre, 2020, 09:02 pm
Respuesta #13

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Ello significa que los conjuntos \( A_{m} \) que componen A son todos aquellos que incluyen el 0 (obvio) y cada uno de los cuales es igual a algún conjunto \( B^{+}_{n} \), siendo ello para todos los n, dado que la relación de pertenencia es para todo n.

Por tanto, sabiendo que \( B^{+}=\{n|n+1∈B\} \) entonces realmente que \( A∈^{*}B \) equivale a que A sea “igual” a todos los \( B^{+}_{n} \), que no son más que los elementos de B a los que se resta 1. ¿Es así?

Pues no me cuadra mucho lo que dices. Estamos definiendo una relación \( A\in^* B \), donde, en sentido estricto, \( A \) y \( B \) son dos conjuntos de números naturales, pero queremos verlos como códigos de conjuntos de conjuntos de números naturales. El conjunto \( A \) está codificando el conjunto formado por todos los conjuntos \( A^+_n \) tales que \( 0\in A_n \). Lo mismo vale para \( B \).

Ahora, la relación \( A\approx B \) se cumple cuando \( A \) y \( B \) codifican la misma familia de conjuntos, es decir, cuando todo elemento de \( A \), es decir, todo \( A^+_n \) tal que \( 0\in A_n \), es igual a un \( B^+_m \) con \( 0\in B_m \) (aunque esto equivale a que \( A_n=B_n \) y es más corto), y viceversa.

Asegúrate de que ves esto claro: \( A\approx B \) significa que  \( A \) y \( B \) son códigos tal vez distintos para un mismo conjunto. Pueden ser distintos, por ejemplo, porque un mismo conjunto sea igual a siete conjuntos \( A^+_n \) y a doce conjuntos \( B^+_m \), por ejemplo, pero que al final aparezcan los mismos conjuntos en la lista, sin contar sus repeticiones.

Una vez entendido eso, lo que dice la relación de pertenencia es que \( A\in^*B \) significa que \( A \) es uno de los elementos de \( B \), es decir, uno de los conjuntos \( B^+_n \) con \( 0\in B_n \), pero no en el sentido de que sean el mismo código, sino que \( A \) y \( B^+_n \) codifican el mismo conjunto.

Si quieres desarrollar esto más (aunque no creo que contribuya a aclarar nada) esto significa que cada conjunto \( A^+_n \) con \( 0\in A_n \) es igual a un \( (B^+_n)^+_m \) con \( 0\in (B^+_n)_m \) y viceversa.

08 Noviembre, 2020, 09:37 pm
Respuesta #14

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,354
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Tengo una duda:

Ahora, la relación \( A\approx B \) se cumple cuando \( A \) y \( B \) codifican la misma familia de conjuntos, es decir, cuando todo elemento de \( A \), es decir, todo \( A^+_n \) tal que \( 0\in A_n \), es igual a un \( B^+_m \) con \( 0\in B_m \) (aunque esto equivale a que \( A_n=B_n \) y es más corto), y viceversa.

¿Podría decirse que la relación \( \approx \) como la defines es de equivalencia?

Gracias y saludos

08 Noviembre, 2020, 10:38 pm
Respuesta #15

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
¿Podría decirse que la relación \( \approx \) como la defines es de equivalencia?

Sí.

09 Noviembre, 2020, 02:25 pm
Respuesta #16

JordiMath

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 103
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
A ver, voy a tomar un ejemplo.

Supongamos los siguientes conjuntos:
\( A_{0}=\{0,2,4\} \) que corresponde al conjunto \( A^{+}_{0}=\{1,3\} \)
\( A_{1}=\{0,1,3,5\} \) que corresponde al conjunto \( A^{+}_{1}=\{0,2,4\} \)

Así pues, \( A=\{\langle0,2\rangle,\langle0,4\rangle,\langle1,1\rangle,\langle1,3\rangle,\langle1,5\rangle\} \)

Ahora supongamos los siguientes conjuntos:
\( B_{0}=\{0,2\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{0}=\{1\} \)
\( B_{1}=\{0,4\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{1}=\{3\} \)
\( B_{2}=\{0,1\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{2}=\{0\} \)
\( B_{3}=\{0,3\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{3}=\{2\} \)
\( B_{4}=\{0,5\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{4}=\{4\} \)

Así pues, \( B=\{\langle0,2\rangle,\langle1,4\rangle,\langle2,1\rangle,\langle3,3\rangle,\langle4,5\rangle\} \)

Aunque en realidad B codifica el mismo conjunto de elementos que A, con lo que \( A\approx{B} \)

Ahora supongamos un conjunto C integrado solo por los conjuntos:
\( C_{0}=\{0,2\} \) que corresponde al conjunto \( C^{+}_{0}=\{1\} \)
\( C_{1}=\{0,4\} \) que corresponde al conjunto \( C^{+}_{1}=\{3\} \)

de forma que \( C=\{\langle0,2\rangle,\langle1,4\rangle\} \)

Por tanto, C codifica el mismo conjunto de elementos que \( A^{+}_{0} \) (\( C\approx{A^{+}_{0}} \) y \( 0\in{A_{0}} \)), de forma que podemos afirmar que \( C\in^*A \)

Y del mismo modo, podemos afirmar que \( C^{+}_{0} \) es igual a \( (A^{+}_{0})^{+}_{0} \) y que \( C^{+}_{1} \) es igual a \( (A^{+}_{0})^{+}_{1} \), en todos los casos con el 0 incluido en los correspondientes conjuntos sin superíndice +.

¿Es correcto?

09 Noviembre, 2020, 09:25 pm
Respuesta #17

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
No, no es así. La verdad es que no consigo imaginar cómo lo estás pensando. No es cierto que \( A\approx B \) ni por asomo.

Ante todo, te dejas el \( 0 \) al codificar los conjuntos. Al conjunto \( A \) te falta ponerle los pares \( \left<0,0\right> \) y \( \left<1,0\right> \) para que \( A_0 \) y \( A_1 \) sean los que has dicho (y lo mismo le pasa a \( B \)). Pero, pasando eso por alto, ¿por qué dices que \( B \) codifica el mismo conjunto de elementos que \( A \) si tú mismo has probado que no es así?

El conjunto \( A \) (con los pares que le faltan) codifica un conjunto con dos elementos, que son los conjuntos \( \{1, 3\} \) y \( \{0, 2, 4\} \), mientras que el conjunto \( B \) codifica un conjunto con cinco elementos, que son los conjuntos \( \{0\}, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\} \) ¡No se parecen en nada!

Un ejemplo de conjunto \( B \) que codifica el mismo conjunto que el conjunto \( A \) que has definido podría ser:

\( B = \{\left<0, 0\right>,\left<0, 1\right>, \left<0, 3\right>, \left<0, 5\right>, \left<1, 0\right>,\left<1, 2\right>, \left<1, 4\right>, \left<2, 0\right>, \left<2, 2\right>, \left<2, 4\right>, \left<3, 7\right>, \left<3, 9\right>, \left<4, 8\right>\} \)

Porque así \( B_0=A_1, B_1=A_0, B_2=A_0 \) y los demás \( B_n \) no cuentan porque no tienen al \( 0 \).

Antes de seguir con lo que dices después, sería conveniente aclarar esto. ¿Ves que \( A\approx B \) con mis ejemplos, pero no con los tuyos?

09 Noviembre, 2020, 09:46 pm
Respuesta #18

JordiMath

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 103
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Vale, han de ser exactamente los mismos conjuntos aunque pueda haber repeticiones y conjuntos que podemos ignorar por no tener el cero. Yo estaba considerando erróneamente los elementos de los conjuntos de tipo \( A^{+} \). Entendido.

En tu ejemplo entonces es evidente que si tenemos \( C=B_{0}=A_{1} \) está claro que \( C\in^{*}A \).

¿Qué sería un conjunto tipo \( (A^{+}_{n})^{+}_{m} \)?

11 Noviembre, 2020, 04:18 pm
Respuesta #19

JordiMath

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 103
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Creo que este hilo ha quedado aparcado.

Quedaba pendiente aclarar qué era el conjunto \( (A^{+}_{n})^{+}_{m} \)

Me lanzo a la piscina. No sé muy bien si es correcto lo que planteo.

Veo que dicho concepto aparece en la traducción a \( AP_{2} \) del axioma de la unión, con lo que interpreto que ha de tener algo que ver con el conjunto de los elementos de los elementos.

Supongamos que tenemos

\( A_{0}=\{\{0,1,2\},\{0,1,2,3\}\} \) y por tanto \( A^{+}_{0}=\{\{0,1\},\{0,1,2\}\} \) entonces tendríamos
\( (A^{+}_{0})_{m_{0}}=\{0,1\} \)
\( (A^{+}_{0})_{m_{1}}=\{0,1,2\} \)

Y también
\( (A^{+}_{0})^{+}_{m_{0}}=\{0\} \)
\( (A^{+}_{0})^{+}_{m_{1}}=\{0,1\} \)

Entonces entiendo que podemos definir el conjunto unión Y:
\( Y=\{\langle\langle0,m_{0}\rangle,0\rangle, \langle\langle0,m_{0}\rangle,1\rangle, \langle\langle0,m_{1}\rangle,0\rangle, \langle\langle0,m_{1}\rangle,1\rangle, \langle\langle0,m_{1}\rangle,2\rangle\} \)

Y entonces está claro que puede haber un conjunto \( U \) tal que \( U\approx{(A^{+}_{0})^{+}_{m_{i}}} \) para algún \( m_{i} \) con \( 0\in{(A^{+}_{0})_{m_{i}}} \)

En este caso supongo que sería \( A=\{\langle0,m_{0}\rangle,\langle0,m_{1}\rangle\} \)
Lo que no sé es cuál sería el valor de \( m_{0} \) y de \( m_{1} \) al tratarse de conjuntos y no números.

Pero si no son conjuntos y son números entonces al bajar de niveles me encuentro que no hay ningún conjunto que pertenezca al conjunto unión Y, ya que entonces me encuentro con un solo conjunto tal que \( (A^{+}_{0})_{m}=\{0\} \) y al pasarlo a \( (A^{+}_{0})^{+}_{m} \) pasa a ser vacío, con lo que el único conjunto que pertenecería a la unión sería el conjunto vacío.