Autor Tema: Aritmética de Peano de segundo orden

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11 Noviembre, 2020, 05:24 pm
Respuesta #20

Carlos Ivorra

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Creo que este hilo ha quedado aparcado.

Quedaba pendiente aclarar qué era el conjunto \( (A^{+}_{n})^{+}_{m} \)

Disculpa. No vi la pregunta.

Para eso, lo que tienes que tener presente es que \( \left<m, n\right> \) no es ninguna clase de objeto nuevo, sino que es un número natural. Y todo números natural es de la forma  \( \left<m, n\right> \) para unos únicos números naturales \( m \) y \( n \).

Explícitamente (definición 5.14):

\( \displaystyle \left<x, y\right>=\frac{(x+y)(x+y+1)}2+x \).

Así, dado un conjunto

\( A=\{\left<0,0\right>,\left<0,4\right>,\left<0,7\right>,\left<1,0\right>,\left<1,6\right>,\left<1,9\right>,\left<1,13\right>\} \)

tenemos que \( A_0=\{0, 4, 7\} \), luego \( A_0^+=\{3,6\} \), mientras que \( A_1=\{0, 6, 9, 13\} \), luego \( A_1^+=\{5,8,12\} \).

Si ahora quieres calcular, por ejemplo, \( (A_1^+)^+_2 \), necesitas expresar los elementos de \( A^+_1 \) como pares y —si no me he equivocado en las cuentas— son  \( A_1^+=\{\left<2, 0\right>,\left<2,1\right>,\left<2,2\right> \} \) y, viéndolo así, ya podemos concluir que

\( (A_1^+)_2=\{0,1,2\} \), luego \( (A_1^+)_2^+=\{0,1\} \).

En resumen: \( A_n \) y \( A_n^+ \) están definidos para cualquier conjunto de números naturales \( A \). Para calcularlos, lo primero que tienes que hacer es expresar los elementos de \( A \) como pares y luego hacer lo de siempre.  Así, como \( A_n^+ \) es otro conjunto de números naturales, nada te impide volver a calcular a partir de él \( (A_n^+)_m^+ \), tomando \( A_n^+ \) como conjunto de partida.

Lo que dices de la unión no tiene mucho sentido:

Supongamos que tenemos

\( A_{0}=\{\{0,1,2\},\{0,1,2,3\}\} \) y por tanto \( A^{+}_{0}=\{\{0,1\},\{0,1,2\}\} \) entonces tendríamos
\( (A^{+}_{0})_{m_{0}}=\{0,1\} \)
\( (A^{+}_{0})_{m_{1}}=\{0,1,2\} \)

Pero eso no es así. \( A_0 \) no puede ser un conjunto cuyos elementos sean dos conjuntos. Aquí sólo tenemos conjuntos de números naturales. Los elementos son números naturales necesariamente, no conjuntos de números naturales. \( A_0^+ \) no estaría definido para el conjunto \( A_0 \) que escribes.

Poner un ejemplo concreto que no resulte bobo para el axioma de la unión es un tanto laborioso, porque hay que definir ejemplos explícitos de conjuntos y meterlos unos dentro de otros. Ahora mismo no tengo tiempo de hacer cuentas. En cuanto pueda te calculo un ejemplo.

11 Noviembre, 2020, 05:47 pm
Respuesta #21

JordiMath

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Entendido. Si se expresa cualquier número natural como par, entonces tiene todo el sentido. Ya veía que para el conjunto A se tomaba el par \( \langle{n,m}\rangle \) para codificar el elemento pero no había caído que para los \( A_{n} \) se podía hacer exactamente lo mismo. Muchísimas gracias.

Ahora en principio las traducciones a \( AP_{2} \) de los axiomas me son comprensibles, excepto la del axioma de infinitud, que tiene algunos términos diferentes. Cuando tenga un momento la releo y planteo las dudas.

11 Noviembre, 2020, 08:55 pm
Respuesta #22

Carlos Ivorra

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Ahora en principio las traducciones a \( AP_{2} \) de los axiomas me son comprensibles, excepto la del axioma de infinitud, que tiene algunos términos diferentes. Cuando tenga un momento la releo y planteo las dudas.

Pues si no necesitas el ejemplo, me lo ahorro, porque para presentar conjuntos concretos hay que codificar algunos conjuntos sencillos, como \( \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \), etc., y ello conlleva varios niveles de códigos, lo que resulta un tanto pesado de calcular.

11 Noviembre, 2020, 10:58 pm
Respuesta #23

Carlos Ivorra

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¡Bah! No me gusta ser perezoso. Aquí van algunos cálculos:

\( A=\emptyset \) codifica el conjunto \( 0=\emptyset \).

\( B=\{\left<0,0\right>\}=\{0\} \) codifica el conjunto \( 1=\{0\} \).

\( C=\{\left<0, 0\right>, \left<1,0\right>,\left<1,1\right>\}=\{0, 2, 4\} \) codifica \( 2=\{0,1\} \).

\( D=\{\left<0,0\right>,\left<1,0\right>,\left<1,1\right>,\left<1,3\right>,\left<1,5\right>\}=\{0,2,4,11,22\} \) codifica \( \{0,2\} \).

\( X=\{\left<0,0\right>,\left<0,1\right>,\left<0,3\right>,\left<0,5\right>,\left<1,0\right>,\left<1,1\right>,\left<1,3\right>,\left<1,5\right>,\left<1,{\color{red}12}\right>,\left<1,{\color{red}23}\right>\} \)

\( = \{0,1,6,15,2,4,11,22,{\color{red}92, 301}\} \) codifica \( \{\{0,1\},\{0,2\}\} \).

La prueba del axioma de la unión muestra cómo construir a partir de \( X \) un conjunto de números naturales que codifique el conjunto \( \bigcup\{\{0,1\},\{0,2\}\}=\{0,1\}\cup \{0,2\}=\{0, 1, 2\} \).

12 Noviembre, 2020, 12:44 am
Respuesta #24

JordiMath

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¿Los últimos dos pares del conjunto X no deberían ser \( \langle{1,12}\rangle,\langle{1,23}\rangle \)?

12 Noviembre, 2020, 12:51 am
Respuesta #25

Carlos Ivorra

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¿Los últimos dos pares del conjunto X no deberían ser \( \langle{1,12}\rangle,\langle{1,23}\rangle \)?

Corregido, gracias.