Autor Tema: Aritmética de Peano de segundo orden

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03 Noviembre, 2020, 11:20 pm
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JordiMath

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Veo que en \( AP_{2} \) se crean conjuntos del tipo \( A_{n}\equiv{\{m|<n,m>∈A\}} \)

Entiendo pues que, por ejemplo, \( A_{0}\equiv{\{m|<0,m>∈A\}} \)
\( A_{1}\equiv{\{m|<1,m>∈A\}} \)

y así sucesivamente. Y A está formado por conjuntos de tipo \( A_{n} \). Pero con esta definición ningún conjunto sería vacío pues A tendría al menos un elemento.

Para evitar eso se define \( A^{+}=\{n|n+1∈A\} \) con \( 0∈A \)

Así pues, \( A\equiv{\{0\}\cup{\{n+1|n∈A^{+}\}}} \)

Y luego se dice que A es el conjunto de conjuntos cuyos elementos son los de \( A^{+}_{n} \) con \( 0∈A \)

Preguntas:

1. ¿Qué es realmente \( A^{+}_{n} \)?

2. ¿Cómo evitamos así que ningún conjunto A sea vacío?

04 Noviembre, 2020, 01:52 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Vamos a codificar un conjunto que tenga dos elementos, el primero que sea el conjunto de los múltiplos de \( 5 \) y el segundo el de los múltiplos de \( 7 \). Si lo hiciéramos "descuidadamente", tomaríamos

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k\ m=5k)\lor (n=1\land \exists k\ m=7k{\color{red})}\} \)

Así tenemos que \( A_0 \) es el conjunto de los múltiplos de \( 5 \) y \( A_1 \) el de los múltiplos de \( 7 \), pero en realidad falla algo, porque también tenemos que \( A_n=\emptyset \) para \( n>1 \), luego nuestro conjunto \( A \) tiene en realidad tres elementos: el de los múltiplos de 5, el de los múltiplos de 7 y el conjunto vacio.

Podríamos deshacernos del vacío con otra definición que haga que \( A_{2n} \) sea el conjunto de los múltiplos de 5 y \( A_{2n+1} \) el de los múltiplos de 7. Así cada uno de los dos conjuntos se repetiría infinitas veces, pero no quedaría espacio para que se nos cuele el vacío intruso. Pero el problema es que así no podemos evitar que siempre haya al menos un conjunto. Aun tomando \( A=\emptyset \), se cumple que cada \( A_n=\emptyset \) y, por lo tanto, \( A \) codifica \( \{\emptyset\} \).

Para evitar esto definimos

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k(m=0\lor m=5k+1){\color{red})}\lor (n=1\land \exists k(m=0\lor m=7k+1){\color{red})}\} \)

De este modo \( A_0 \) contiene a \( 0 \) y a los números \( 5k+1 \), mientras que \( A_1 \) contiene a \( 0 \) y a los números \( 7k+1 \) y \( A_n \) es vacío para \( n>1 \).

Por lo tanto, \( A_0^+ \) es el conjunto de los múltiplos de \( 5 \), \( A_1^+ \) es el conjunto de los múltiplos de \( 7 \) y los demás no importan, porque ahora entendemos que \( A \) codifica el conjunto que contiene únicamente a \( A_0^+ \) y a \( A_1^+ \), ya que son los únicos tales que \( 0\in A_n \). Los \( A_n \) con \( n>1 \) no se usan, porque no contienen al \( 0 \).

Con esta codificación, el conjunto \( A=\emptyset \) codifica al conjunto vacío, pues, todos los \( A_n \) son vacíos y, como no contienen al \( 0 \), no los contamos como elementos de (el conjunto codificado por) \( A \).

Lo he escrito un poco rápido porque ahora mismo tengo prisa. Si no está claro, dilo y mañana por la tarde te respondo con más tiempo.

04 Noviembre, 2020, 02:14 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola Carlos

Unas cosas. Primero que seguro con el apuro creo que faltan unos paréntesis:

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k(m=0\lor m=5k+1)\color{red}\textbf{)}\color{black}\lor (n=1\land \exists k(m=0\lor m=7k+1)\color{red}\textbf{)}\color{black}\} \)

También quisiera saber si cuando dices:

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k\ m=5k)\lor (n=1\land \exists k\ m=7k\} \)

se sobreentiende que \( A \) es \( A_n \), porque luego hablas de ciertos \( A_0,A_1,\ldots \), y no me queda claro si se desprende de esa definición o hay algo más.

Gracias y saludos

P.D. El uso de [tex]\left<...\right>[/tex] se desaconseja totalmente, como se indica aquí. En cambio se puede usar [tex]\langle...\rangle[/tex].

04 Noviembre, 2020, 12:34 pm
Respuesta #3

JordiMath

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Vale, entonces entiendo que el aspecto clave es crear conjuntos \( A^{+}_{n} \) que contengan el 0 y entonces forman parte de A. Si no contienen el 0, no.

No entiendo por qué estableces m=5k+1 y dices que esto son todos los múltiplos de 5. ¿No debería ser m=5(k+1)? Porque si no m no son todos los múltiplos de 5 sino 1, 6, 11, 16... Supongo que es un lapsus.

04 Noviembre, 2020, 04:53 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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Vale, entonces entiendo que el aspecto clave es crear conjuntos \( A^{+}_{n} \) que contengan el 0 y entonces forman parte de A. Si no contienen el 0, no.

Eso es.

No entiendo por qué estableces m=5k+1 y dices que esto son todos los múltiplos de 5. ¿No debería ser m=5(k+1)? Porque si no m no son todos los múltiplos de 5 sino 1, 6, 11, 16... Supongo que es un lapsus.

No, no. Está bien así. Para que uno de los elementos del conjunto sea el de los múltiplos de \( 5 \), en \( A_0 \) pongo los números de la forma \( 5k+1 \), para que así

\( A_0^+ = \{n\mid n+1\in A_0\} \)

esté formado por los múltiplos de \( 5 \). Al pasar de \( A_0 \) a \( A_0^+ \) se resta \( 1 \) a todos los elementos no nulos de \( A_0 \), así que pongo los \( 5k+1 \) para que al restarles \( 1 \) queden los \( 5k \).

04 Noviembre, 2020, 05:03 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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También quisiera saber si cuando dices:

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k\ m=5k)\lor (n=1\land \exists k\ m=7k\} \)

se sobreentiende que \( A \) es \( A_n \), porque luego hablas de ciertos \( A_0,A_1,\ldots \), y no me queda claro si se desprende de esa definición o hay algo más.

La definición de \( A_n \) está en el mensaje inicial del hilo.

P.D. El uso de [tex]\left<...\right>[/tex] se desaconseja totalmente, como se indica aquí.

De vez en cuando me escribe algún plasta para quejarse de que en mi página de Historia Jesús no resucita y cosas así. Te digo lo mismo que a ellos: si lo que escribo es contrario a tu religión, no lo leas, que nadie te obliga a hacerlo, y mucho menos a husmear en el código fuente.

En cambio se puede usar [tex]\langle...\rangle[/tex].

¿Y \left< no se puede usar?  Serás tú el que no pueda, porque yo lo he usado y no me ha fulminado ningún rayo de Zeus. Si a causa de estos pecados acabo ardiendo en el infierno en otra vida ya le diré cuatro cosas a Zeus, pero, de momento, poderse parece que sí que se puede.

04 Noviembre, 2020, 05:32 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Un comentario sobre lo del LaTeX. Lo primero es que no es muy educado quejarse por los comandos que usa cada uno, y más en un foro donde no se está haciendo un documento para la posteridad, sino que se están resolviendo dudas de matemáticas. Yo soy el primero que va con poco cuidado con el LaTeX cuando escribe mensajes en el foro.

Pero es que además, en este caso, no veo en tu enlace nada en contra del uso de \left< y \right>. De hecho lo que pone ahí es que \left< es un alias para \left\langle. Así que en todo caso, usar \left< es mejor que usar \langle, porque escala al contenido. Por ejemplo:
Con \langle:
\[ \langle \frac{1}{2} \rangle \]
Con \left<:
\[ \left< \frac{1}{2} \right> \]

Lo único que sí es cierto, y lo que dice el mensaje que enlazas, es que hay que evitar < > como delimitadores porque queda horrible: \( <a> \).
Vamos, me da la sensación de que esta vez "te has pasado de listo" con el LaTeX.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Noviembre, 2020, 05:56 pm
Respuesta #7

JordiMath

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Gracias por las respuestas.

05 Noviembre, 2020, 02:00 am
Respuesta #8

manooooh

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Hola

La definición de \( A_n \) está en el mensaje inicial del hilo.

Ah, cierto. Dentro contiene el conjunto \( A \). Gracias.

De vez en cuando me escribe algún plasta para quejarse de que en mi página de Historia Jesús no resucita y cosas así. Te digo lo mismo que a ellos: si lo que escribo es contrario a tu religión, no lo leas, que nadie te obliga a hacerlo, y mucho menos a husmear en el código fuente.

En cambio se puede usar [tex]\langle...\rangle[/tex].

¿Y \left< no se puede usar?  Serás tú el que no pueda, porque yo lo he usado y no me ha fulminado ningún rayo de Zeus. Si a causa de estos pecados acabo ardiendo en el infierno en otra vida ya le diré cuatro cosas a Zeus, pero, de momento, poderse parece que sí que se puede.

Todo lo que hagas y no repercuta en los demás bien, nada que objetar, pero el problema es que ese código LaTeX puede ser visto por cualquiera sin saber que existe una manera en que los especialistas recomiendan usar, y no los llamo ignorantes o algo así sino que pues falta de experiencia. Si el código no se viera o no se pueda deducir de ninguna manera, no hay nada que objetar.

He dado una serie de argumentos pero parece que metí la pata cuando cité un mensaje que se me borró lo que había escrito.

Vamos, me da la sensación de que esta vez "te has pasado de listo" con el LaTeX.

Yo sólo transmití un mensaje. :P

Saludos

05 Noviembre, 2020, 03:33 pm
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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Todo lo que hagas y no repercuta en los demás bien, nada que objetar, pero el problema es que ese código LaTeX puede ser visto por cualquiera sin saber que existe una manera en que los especialistas recomiendan usar, y no los llamo ignorantes o algo así sino que pues falta de experiencia. Si el código no se viera o no se pueda deducir de ninguna manera, no hay nada que objetar.

Ah, pero como sí que puede verse, sí que tienes algo que objetar. Me estás diciendo que yo puedo escribir en LaTeX como quiera siempre y cuando nadie vea lo que escribo, porque si se ve "tienes algo que objetar", "es un problema." ¿Y si yo te dijera lo mismo? ¿Y si yo te dijera que puedes profesar tu doctrina de la Sagrada Verdad Revelada por los Santos Expertos privadamente, pero que deberías abstenerte de mencionarla en público, no vayas a confundir a algún incauto que te pudiera tomar en serio? Porque no pasa nada por que me digas esto a mí. Yo me río de tu necedad y ya está, pero si sigues con tu obsesión de decirle a todo el mundo lo que puede y no puede hacer, lo que debe verse y lo que debe ocultarse de la mirada de la gente, a algún infeliz confundirás algún día. (Sólo espero que nunca convenzas a ningún infeliz con poder para imponer tus dogmas.)

Pero parece que no has entendido lo que te ha dicho geómetracat, que la página que citas no dice lo que tú crees que dice. Hay algo más plasta que un fanático plasta, y es un fanático plasta que no sabe leer su Biblia. No quise señalarte lo que te ha advertido geómetracat (y que al parecer no has entendido), por no rebatirte con tus pseudoargumentos. Aunque en esa página realmente hubiera dicho lo que tú crees que dice, daría lo mismo. Lo que digan unos histéricos que dicen que les sangran los ojos si ven tal cosa escrita así o asá no tiene relevancia alguna. Si tú quieres ser la reencarnación de Phileas Fogg, allá tú, pero podrías abstenerte de hacer proselitismo entre quienes no estamos interesados en tus consejos. Y —siguiendo tu política— te recomendaría evitar el "problema" que supone que expongas tu religión normativa públicamente.

Yo sólo transmití un mensaje. :P

Probablemente, si hiciéramos un inventario de mantras repetidas por fanáticos de todo tipo, éste sería el más repetido.