Hola
Bien, te han puesto un ejemplo de fórmula con una variable libre y otra ligada, sin que importe nada más. En particular, sin fijar ningún modelo en particular, y sin que importe que en los modelos más habituales sea falsa. Da igual que la fórmula sea verdadera o falsa para ilustrar las nociones de variable libre y ligada. Pero entonces no tiene sentido entrar a elucubrar sobre qué valores pueden tomar las variables. En primer lugar haría falta fijar un modelo (o al menos una teoría axiomática) que determinara qué clase de objetos recorren las variables.
Pues para que lo nombren y luego no se use en el resto del curso, ¿qué sentido tuvo ponerlo? Por "usar" me refiero a hacer mención explícita en por lo menos un ejercicio, pero es que ni eso, con un ejemplo terminan esa parte del tema. No me parece adecuado desde el punto de vista del aprendizaje.
Lo que ocurre es que ahora como ayudante veo un poco mejor cómo se enseña esa asignatura. En particular, he notado que en el tema de lógica, nunca usamos predicados de más de 1 variable porque quizás "no sea el objetivo de la materia complicarse las cosas con más variables" y está bien, pero yo como curioso leo "variables libres y ligadas" y en todo el resto de la materia no lo nombran y entonces me pica la curiosidad por saber más.
En las teorías de conjuntos usuales todo son conjuntos. Los elementos de los conjuntos son también conjuntos. No hay nada más que conjuntos.
Claro. Al fin y al cabo que siempre acabaremos ahí.
Tienes que especificar el lenguaje formal que consideras y los axiomas que consideras. Por ejemplo, la fórmula \( \forall A\, A\subset A \), puede interpretarse como un teorema de ZFC, en cuyo caso \( A \) es un conjunto simplemente porque en ZFC todo son conjuntos, o también como un teorema de NBG, en cuyo caso \( A \) recorrería todas las clases, tanto las que son conjuntos como las que no.
No sé a qué te refieres exactamente con "conjunto universal". Se le puede dar sentido de varias formas, pero ninguna es estándar. En las teorías de conjuntos usuales, como ZFC, no hay ningún conjunto universal. Si te refieres al universo de un modelo, entonces sería muy retorcido ponerlo explícito en la fórmula.
Sinceramente no creo que usemos algún modelo con nombre y apellido, sino que por lo menos yo veo que usamos una teoría estándar, de libros clásicos introductorios y nada más.
Pero tu última oración creo que da en la tecla de por qué se ven demostraciones de conjuntos sin que se escriba al "conjunto universal" como parte del ejercicio.
¿Qué son conjuntos numéricos principales?
Los naturales, enteros, racionales y reales. En todos ellos podemos definir una suma y un producto habituales sin que nadie nos pregunte, por ejemplo, "Oye, ¿cómo demuestras la propiedad de cerradura en la adición de esos conjuntos numéricos?" sino que se los toma como "base" para otras operaciones más complejas, como por ejemplo en \( \Bbb{Z} \) si se definiera la operación \( a*b=a\cdot b+2 \).
Si consideras la fórmula \( \forall x\, x+y<5 \), no tiene sentido decir si es verdadera o falsa si no fijamos un modelo. Pongamos por ejemplo el modelo \( M \) cuyo universo son los números naturales (daría igual considerar números reales, por ejemplo). Se entiende que \( + \) se interpreta como la suma de números naturales, etc. Ahora necesitas fijar una valoración \( v \) que a cada variable le asigne un objeto de \( M \). Entonces, se cumple \( M\vDash \forall x\,x+y<5[v] \) si y sólo si para todo número natural \( n \), se cumple que \( n+v(y)<5 \), pero eso no es cierto sea cual sea \( v(y) \). Siempre puedes encontrar un número natural \( n \) por ejemplo \( n=6 \), de modo que \( n+v(y)>5 \).
Y esto significa que la fórmula es falsa en el modelo \( M \).
Vale, creo que voy entendiendo.
Y si ahora escribo \( \forall x\in\Bbb{R}\,\exists y\in\Bbb{N}\cup\{0\}\, x+y<5 \), ¿esta fórmula tendría un modelo asociado de forma natural, implícita? ¿Cuál sería y cómo lo has deducido? Aquí ya no hay variables libres; todas están ligadas.
Pues no sé. Nunca he manejado esa jerga. En la lógica de primer orden no hay necesidad de jugar con clasificaciones de ese tipo. Lo que hay de fondo es que, en general, para determinar si una fórmula es satisfecha o no en un modelo tienes que fijar una valoración que interprete sus variables libres, aunque no siempre. La fórmula \( x\in y\lor x\notin y \) es verdadera en cualquier modelo, sin que importe que tiene variables libres.
Hombre pues claro, una tautología siempre es verdadera (y por lo que te entendí, agregaría "en cualquier modelo"). Lo mismo ocurre con una contradicción como \( x\in y\land x\notin y \).
Lo interesante, creo yo, es estudiar fórmulas de las que de antemano no se sepa cuál será su valor de verdad.
Esa \( \phi \) representa una fórmula. Geómetracat estaba siendo más formal y yo más informal. Es como si te digo que la derivada del seno es el coseno y geómetracat dice que \( (\sin x)' = \cos x \).
Por ejemplo, \( \forall x\in y\, x\subset y \) es un ejemplo de fórmula con un cuantificador acotado. Es la definición de conjunto transitivo. La \( \phi \) de geómetracat es \( \phi\equiv x\subset y \). La fórmula es de tipo \( \forall x\in y\, \phi \), con la \( \phi \) que te he dicho.
Yo había dicho, más informalmente, que ahí hay un cuantificador acotado porque aparece en la forma \( \forall x\in y \), dando por hecho que hay que poner algo detrás para que la fórmula esté completa.
Muchas gracias.
A ver pongo unos ejemplos:
- La fórmula \( \exists x\in\{1,2,3\}\colon x>2 \) tiene a \( x \) como variable ligada (por el \( \exists \)), y el \( \exists \) es un cuantificador acotado pues tiene el \( \in\{1,2,3\} \).
- La fórmula \( \exists x\colon x>2 \) tiene a \( x \) como variable ligada (por el \( \exists \)), ¿y se puede decir que el cuantificador \( \exists \) es un "cuantificador libre" por no tener una pertenencia?
Si existe tal "Cuantificador libre", entonces podríamos armar una tabla de doble entrada como la siguiente (para teoría de conjuntos):
\(
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fórmula con...}&\text{Cuantificador libre}&\text{Cuantificador acotado}\\\hline
\text{Variable libre}&x>2&\text{¿\(x>2\)?}\\\hline
\text{Variable ligada}&\exists x\colon x>2&\exists x\in\{1,2,3\}\colon x>2\\
\end{array}
\)
Me genera dudas el de variable libre y cuantificador acotado, porque al ser variable libre hay ausencia de cuantificador, así que supuse que cuando una variable es libre se puede hablar tanto de cuantificador libre o acotado. ¿Es correcto?
Gracias y saludos
