Autor Tema: ¿Cómo demostrar estas proposiciones ? Si P entonces Q y R. Si P entonces Q o R.

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10 Octubre, 2020, 11:44 pm
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w a y s

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Hola, traigo una duda acerca de cómo demostrar las proposiciones :  (1):"Si P entonces Q y R" y (2): "Si P entonces Q o R".

Primera duda: Para demostrar (1), he de demostrar, que las proposiciones "Si P entonces Q" y "Si P entonces R" son ambas verdaderas, ¿es esto cierto?

Segunda duda: Para demostrar (2), en este caso tengo dos proposiciones  "Si P entonces Q  " y "Si p entonces R" y con demostrar una de las dos ya bastaría para demostrar (2), ¿es esto cierto?

Muchas gracias de antemano, un saludo.

11 Octubre, 2020, 01:19 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

El enunciado escrito tal cual está no tiene sentido. ¿Demostrar las proposiciones en qué contexto o bajo qué hipótesis? Podría decir "Demostrar la proposición \( p \)" pero esa frase no nos dice nada.

Un condicional como \( p\to q\land r \) puede ser verdadero o falso dependiendo del valor de verdad de las proposiciones más simples. Para ello haz la tabla de verdad y verás cuándo será verdadero y cuándo falso. Por ejemplo con \( p \) verdadera y \( q,r \) falsas, (1) es falsa.

Revisa lo que te piden demostrar.

Saludos

11 Octubre, 2020, 01:28 am
Respuesta #2

w a y s

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Hola, manooooh, no estoy hablando de ningún ejercicio concreto, a lo que yo me refiero es si al demostrar que una implicación "Si p entonces Q y R" cualquiera, podría hacerse demostrando que "Si P  entonces R" y "Si  P entonces Q "son ambas verdaderas. Siento no haberme expresado con la suficiente claridad, gracias por tu ayuda.

Saludos.

11 Octubre, 2020, 01:37 am
Respuesta #3

Pie

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Yo sin ejemplos concretos me pierdo, pero diría que sí. Aunque en el segundo caso tal vez habría que matizar que tanto Q como R pueden ser verdaderas o falsas (no siempre verdaderas o siempre falsas).

Se me ocurre algo como si P es un número natural, entonces ese número es par (implicación Q) o impar (implicación R). En este caso no bastaría con demostrar que una implicación es siempre verdadera (no se podría de hecho), sólo que siempre lo es alguna de las dos.

Así que según lo veo yo, sería más correcto decir que basta con demostrar que las dos implicaciones no pueden ser falsas al mismo tiempo.

Pero ya digo que no entiendo mucho del tema, a ver si te contesta alguien con más conocimiento (o me corrige si dije alguna burrada XD)

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

11 Octubre, 2020, 02:01 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Ahora entiendo. Lo que estamos usando es un concepto de lógica llamado razonamiento. Un razonamiento es un conjunto de proposiciones donde una de ellas (llamada conclusión) se afirma sobre la base de las demás (llamadas premisas).

Un razonamiento será válido cuando partiendo de premisas VERDADERAS, NO se puede extraer una conclusión FALSA. Un ejemplo bien conocido de razonamiento válido es el Modus Ponens: \( p\to q,p\therefore q \) (las premisas son \( p\to q \) y \( p \), y la conclusión es \( q \)). Existen diversos métodos para demostrar la validez de dicho razonamiento, uno es en base a reglas de inferencia y leyes lógicas. El Modus Ponens es una regla de inferencia básica. Al razonamiento anterior también se lo suele escribir así:

\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
p\\\hline
q
\end{array}
 \)

Por lo tanto, lo que estás preguntando es si los siguientes razonamientos son válidos:

\(
\begin{array}{lr}
(1)\colon
\begin{array}{l}
p\to q\\
p\to r\\\hline
p\to q\land r
\end{array}
&
(2)\colon
\begin{array}{l}
p\to q\\
p\to r\\\hline
p\to q\lor r
\end{array}
\end{array}
 \)

La respuesta es SÍ. Demostremos (1) usando un método llamado demostrativo (es el más formal):

\(
\begin{array}{lll}
(1)&p\to q&\text{Premisa}\\
(2)&p\to r&\text{Premisa}\\
(3)&\neg p\lor q&\text{Equivalencia condicional (1)}\\
(4)&\neg p\lor r&\text{Equivalencia condicional (2)}\\
(5)&(\neg p\lor q)\land(\neg p\lor r)&\text{Introducción de la conjunción (3),(4)}\\
(6)&\neg p\lor(q\land r)&\text{Distributiva (5)}\\
(7)&p\to q\land r&\text{Equivalencia condicional (6)}\\
\end{array}
 \)

Observa cómo hemos ido deduciendo las líneas a partir de nuestras premisas hasta llegar a la conclusión. Para demostrar la validez del razonamiento (2) basta con aplicar la ley lógica "Adición" que dice \( p\to p\lor q\equiv\mathrm{V} \) a una de las premisas.

Por esto creo que tanto w a y s como Pie pueden responder a sus inquietudes viendo, por ejemplo, qué ocurre con la validez (no se dice la veracidad) de un razonamiento cuando se parte de premisas falsas etc.

Cualquier duda consulta.

Saludos

11 Octubre, 2020, 02:09 am
Respuesta #5

w a y s

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Hola, manooooh, muchas gracias por tu ayuda. Ahora ya está todo claro.

11 Octubre, 2020, 02:19 am
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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Hola, traigo una duda acerca de cómo demostrar las proposiciones :  (1):"Si P entonces Q y R" y (2): "Si P entonces Q o R".

Segunda duda: Para demostrar (2), en este caso tengo dos proposiciones  "Si P entonces Q  " y "Si p entonces R" y con demostrar una de las dos ya bastaría para demostrar (2), ¿es esto cierto?

Supón que quieres demostrar que:

Si x es un número natural (P),  entonces  x es par (Q) o x es impar (R).

¿Crees que sería buena idea tratar de probar:

Si x es un número natural (P), entonces x es par (Q)

o bien probar que

Si x es un número natural (P), entonces x es impar (R). ?

La proposición "Si P, entonces Q o R" es demostrable, pero no puedes demostrarla ni probando

Si P, entonces Q

ni tampoco probando

Si P, entonces R,

porque esas dos proposiciones son falsas.

En general, probar que  "Si P, entonces Q o R"  es equivalente a probar que "Si P y no Q entonces R", o también "Si P y no R, entonces Q".

Lo que planteas es correcto interpretado literalmente: "Bastaría probar lo que propones, si es que puedes probarlo", pero sospecho que la interpretación literal no responde a lo que realmente querías preguntar, y es que si tienes que probar una implicación de ese tipo, es muy mala idea tratar de hacerlo como planteas, porque en muchos casos no funcionará.

11 Octubre, 2020, 10:27 am
Respuesta #7

feriva

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Hola, traigo una duda acerca de cómo demostrar las proposiciones :  (1):"Si P entonces Q y R" y (2): "Si P entonces Q o R".

Primera duda: Para demostrar (1), he de demostrar, que las proposiciones "Si P entonces Q" y "Si P entonces R" son ambas verdaderas, ¿es esto cierto?

Segunda duda: Para demostrar (2), en este caso tengo dos proposiciones  "Si P entonces Q  " y "Si p entonces R" y con demostrar una de las dos ya bastaría para demostrar (2), ¿es esto cierto?


Es como cuando demuestras algo por casos; como tantas demostraciones que se dan en la práctica.

Por ejemplo, \( mcd(a,b)=1;\, c|a\cdot b\Rightarrow c|a\vee c|b
  \). Lo que vas a comprobar en realidad es si \( c|a  \) por una parte, y si \( c|b
  \) por otra; en caso de que una de ellas o las dos sean ciertas, la proposición es cierta, si se da la circunstancia de que ambas sean falsas, es falsa.
Para cuando \( Q\wedge R
  \)  el procedimiento puede ser el mismo también muchas veces, lo que cambia es el tipo de verificación más que la demostración, tienen que cumplirse las dos.

Saludos.