Autor Tema: Teoría de Kripke-Platek

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26 Septiembre, 2020, 08:12 pm
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JordiMath

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En el libro de Carlos Ivorra de Lógica matemática leo en una página

Si γ es una fórmula \( \triangle{_0} \) de \( £{_a} \) entonces existe una fórmula γ* del tipo \( \triangle{_1} \) en KP.

Y en la página siguiente se dice:

Si γ es una fórmula \( \triangle{_0} \) de \( £_{tc} \) entonces \( γ{_a} \) es \( \triangle{_1} \) en \( IΣ1 \)

¿Al “traducir” cada fórmula al lenguaje de la otra teoría salta un nivel en la correspondiente jerarquía?


Por otro lado, como reflexión más general, planteo cómo entiendo lo que voy leyendo a ver si lo entiendo correctamente:

Por lo que veo, si partimos de los axiomas de la aritmética de Peano y mediante IΣ1 podemos construir conjuntos “creando” una relación de pertenencia y acabamos demostrando algunos axiomas de teoría de conjuntos.

Pero por otro lado, si partimos de los axiomas de teoría de conjuntos (Z* o KP, por ejemplo) llegamos a construir una teoría aritmética equivalente a la de Peano.

¿Es esa la idea de fondo?

27 Septiembre, 2020, 12:38 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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En el libro de Carlos Ivorra de Lógica matemática leo en una página

Si γ es una fórmula \( \triangle{_0} \) de \( £{_a} \) entonces existe una fórmula γ* del tipo \( \triangle{_1} \) en KP.

Y en la página siguiente se dice:

Si γ es una fórmula \( \triangle{_0} \) de \( £_{tc} \) entonces \( γ{_a} \) es \( \triangle{_1} \) en \( IΣ1 \)

¿Al “traducir” cada fórmula al lenguaje de la otra teoría salta un nivel en la correspondiente jerarquía?

No exactamente. Eso sólo pasa en la base de la jerarquía. Lo que sucede es que, la fórmula \( x\in y \) es \( \Delta_0 \) en KP, pero para definir la relación de pertenencia en \( I\Sigma_1 \), necesitamos una fórmula \( \Delta_1 \). Y recíprocamente, las fórmulas \( z=x+y \), \( z=xy \), etc. son \( \Delta_0 \) en \( I\Sigma_1 \), pero para definirlas en KP necesitamos fórmulas \( \Delta_1 \).

Esto hace que suceda lo que dices: que al traducir fórmulas \( \Delta_0 \) de una teoría a la otra, se convierten en fórmulas \( \Delta_1 \), porque sustituimos conceptos primitivos, sin definición, que son trivialmente \( \Delta_0 \), por conceptos definidos no triviales cuya definición no puede ser menos que \( \Delta_1 \), pero ahí termina la diferencia de nivel.

Si traduces una fórmula \( \Delta_1 \) de una teoría a la otra, obtienes una fórmula \( \Delta_1 \), y lo mismo con fórmulas más complejas. Por ejemplo, la fórmula

\( \exists x\forall u\, u\notin y \)

es \( \Sigma_2 \) en KP, porque \( u\notin y \) es \( \Delta_0 \), al añadirle el \( \forall u \) pasa a ser \( \Pi_1 \) y al añadirle el \( \exists x \) pasa a ser \( \Sigma_2 \), pero su traducción aritmética también es \( \Sigma_2 \) (no aumenta su puesto en la jerarquía), porque ahora la traducción \( u\notin y \) ya no es \( \Delta_0 \), sino \( \Delta_1 \), pero al añadirle \( \forall u \) sigue siendo \( \Pi_1 \) y al añadirle \( \exists x \) sigue siendo \( \Sigma_2 \).

Por lo que veo, si partimos de los axiomas de la aritmética de Peano y mediante IΣ1 podemos construir conjuntos “creando” una relación de pertenencia y acabamos demostrando algunos axiomas de teoría de conjuntos.

Pero por otro lado, si partimos de los axiomas de teoría de conjuntos (Z* o KP, por ejemplo) llegamos a construir una teoría aritmética equivalente a la de Peano.

¿Es esa la idea de fondo?

Sí, pero cada oveja con su pareja: la teoría \( I\Sigma_1 \) es bastante más débil que AP. En \( I\Sigma_1 \) puedes definir una relación de pertenencia, de modo que los teoremas que puedes demostrar en \( I\Sigma_1 \) sobre dicha relación de pertenencia son exactamente los mismos que puedes demostrar en KP más el axioma "todo conjunto es finito".

En cambio, en AP puedes demostrar muchos teoremas más sobre dicha relación de pertenencia que en \( I\Sigma_1 \). Concretamente, los teoremas sobre la relación de pertenencia que puedes demostrar en AP son exactamente los mismos que puedes demostrar en la teoría ZF más el axioma "todo conjunto es finito".

Al revés tenemos algo similar: en KP puedes definir los números naturales, la suma, el producto, etc., y los teoremas sobre números naturales que puedes demostrar en KP son exactamente los mismos que puedes demostrar en \( I\Sigma_1 \). Para demostrar todos los teoremas demostrables en AP no te basta KP, sino que necesitas al menos \( Z^* \). Si pasas de \( Z^* \) a una teoría más fuerte, como ZF sin el axioma de infinitud, con eso puedes demostrar más teoremas, pero no más teoremas aritméticos. Los teoremas aritméticos que puedes probar en ambas teorías son los de AP, ni más ni menos.

La teoría KP tiene interés por muchos motivos, pero uno de ellos es que es equivalente, en el sentido que acabo de describir, a la teoría \( I\Sigma_1 \), que a su vez permite formalizar los razonamientos aritméticos que se consideran finitistas en el sentido más estricto del término (en el marco de la lógica clásica, pues hay quien pone más restricciones al finitismo basadas en negar principios lógicos como el tercio excluso, etc.)

27 Septiembre, 2020, 03:00 pm
Respuesta #2

JordiMath

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Muchas gracias por la explicación tan completa.

Una pequeña pregunta adicional. ¿Cuando hablamos de una teoría más fuerte significa que es una teoría que permite demostrar más teoremas? ¿Cuál es la definición de fortaleza cuando hablamos de una teoría?

27 Septiembre, 2020, 03:05 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Una pequeña pregunta adicional. ¿Cuando hablamos de una teoría más fuerte significa que es una teoría que permite demostrar más teoremas? ¿Cuál es la definición de fortaleza cuando hablamos de una teoría?

He visto que en mi mensaje anterior había puesto AP donde tenía que haber puesto ZF. Al decir que ZF (menos el axioma de infinitud) es más fuerte que \( Z^* \) me refería simplemente a eso, a que en ella se pueden demostrar más teoremas, pero a veces se dice que una teoría A es "más fuerte" que otra B en el sentido de que en A se puede demostrar la consistencia de B, que es otra cosa.

27 Septiembre, 2020, 03:15 pm
Respuesta #4

JordiMath

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Vale, entiendo.

Entonces, ¿no hay ninguna teoría de conjuntos en que se puedan probar más teoremas aritméticos que los de AP?

27 Septiembre, 2020, 03:21 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Entonces, ¿no hay ninguna teoría de conjuntos en que se puedan probar más teoremas aritméticos que los de AP?

Todo lo contrario. Lo que he dicho es que en ZF sin el axioma de infinitud (y, de hecho, en ZFC sin el axioma de infinitud) no se pueden demostrar ni más ni menos teoremas aritméticos que los de AP, pero en cuanto añades el axioma de infinitud ya puedes demostrar muchos otros teoremas aritméticos no demostrables en AP. El más obvio (en cuanto uno conoce los teoremas de incompletitud de Gödel) es la propia consistencia de AP, que es equivalente a una sentencia aritmética. Pero hay muchos más "elementales" en apariencia. Uno de los más conocidos es el teorema de Goodstein:

https://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem

Luego, si a ZFC le añades más axiomas, como la existencia de un cardinal inaccesible, todavía puedes demostrar más teoremas aritméticos.

27 Septiembre, 2020, 04:03 pm
Respuesta #6

sugata

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Off Topic, con permiso.

Carlos Ivorra, ¿tu libro es accesible  sin conocimientos previos de lógica?

Alguna vez he pensado en leerlo, pero la lógica me suele costar. Por eso pregunto si se necesita una base.

Perdón por el off topic

27 Septiembre, 2020, 04:07 pm
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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Carlos Ivorra, ¿tu libro es accesible  sin conocimientos previos de lógica?

Teóricamente sí, en el sentido de que no supone nada conocido. Otra cosa es que, aunque he tratado de explicar todo lo más claramente posible, es bastante técnico. Quizá JordiMath te pueda dar una juicio más práctico que lo que yo pueda decir.

En cualquier caso, si lo coges y te surgen dudas, siempre puedes preguntarlas aquí.

27 Septiembre, 2020, 04:52 pm
Respuesta #8

JordiMath

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Bueno, yo tenía conocimientos de lógica proposicional que ayudan a ir más rápido, entiendo, pero en el libro también se explican.

En mi opinión, si tienes alguna base de conocimiento matemático, no necesariamente lógica, se puede leer y es perfectamente inteligible.

Me leí lo que era una versión anterior llamada “Lógica y teoría de conjuntos”, pero en los nuevos libros creo que Carlos ha separado en dos ese libro, con lo que dos libros resultantes creo que son más completos y entra más en detalle, con lo que creo que aún son más accesibles.

27 Septiembre, 2020, 05:08 pm
Respuesta #9

sugata

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Carlos Ivorra, ¿tu libro es accesible  sin conocimientos previos de lógica?

Teóricamente sí, en el sentido de que no supone nada conocido. Otra cosa es que, aunque he tratado de explicar todo lo más claramente posible, es bastante técnico. Quizá JordiMath te pueda dar una juicio más práctico que lo que yo pueda decir.

En cualquier caso, si lo coges y te surgen dudas, siempre puedes preguntarlas aquí.

Gracias. Me he acercado a tu libro, pero nunca en serio, en profundidad.
Me lo pongo en "siguientes"
Gracias Carlos Ivorra