Autor Tema: Teoría de Kripke-Platek

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29 Septiembre, 2020, 04:47 pm
Respuesta #10

JordiMath

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El esquema del pdf adjunto sería un esquema correcto según lo hablado en este post, Carlos?

29 Septiembre, 2020, 06:09 pm
Respuesta #11

JordiMath

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Sigo leyendo sobre KP.

¿Por qué no puede probarse en KP que todo conjunto es finito pero sí puede hacerse en \( IΣ_{1} \)?

29 Septiembre, 2020, 09:39 pm
Respuesta #12

Carlos Ivorra

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En \( I\Sigma_1 \) se demuestra que cada número natural puede identificar con un conjunto a través de su representación binaria, pero el desarrollo binario de un número natural tiene necesariamente un número finito de unos, luego el conjunto determinado por cualquier número natural es necesariamente finito.

En cambio KP es una teoría de conjuntos cuyos axiomas afirman que existen conjuntos que cumplen tales y cuales propiedades, pero no dicen nada sobre si hay o no conjuntos infinitos. Si añadimos como axioma que todo conjunto es finito, obtenemos una teoría totalmente equivalente a \( I\Sigma_1 \), en el sentido de que, por una parte, los teoremas sobre conjuntos que pueden demostrarse en \( I\Sigma_1 \) son exactamente los mismos que pueden probarse en KP más el axioma "todos los conjuntos son finitos" (en cierto modo, la respuesta a tu pregunta de por qué en KP no se puede demostrar que todo conjunto es finito es que porque falta añadir el axioma que afirma tal cosa) y, por otro lado, los teoremas sobre números naturales que pueden probarse en KP (y aquí da igual que añadas o no el axioma de que todo conjunto es finito) son los mismos que pueden demostrarse en \( I\Sigma_1 \).

Así pues, en \( I\Sigma_1 \) todo conjunto es finito porque un número natural sólo puede codificar conjuntos finitos, mientras que KP puede verse como la teoría que resulta de "extirpar" esa finitud inevitable en \( I\Sigma_1 \) y dejar abiertas las dos posibilidades: añadir como axioma que todo conjunto es finito, en cuyo caso tenemos la misma teoría de conjuntos que obtenemos de \( I\Sigma_1 \), pero también añadir como axioma que existen conjuntos infinitos, con lo que pasamos a una teoría mucho más potente, capaz de demostrar más teoremas sobre números naturales.

La idea es que:

1) Los teoremas demostrables en \( I\Sigma_1 \) o KP (más el axioma "todo conjunto es finito") son los demostrables en términos estrictamente finitistas y constructivos, en los que para justificar que existe un número o un conjunto, tienes que mostrar explícitamente cómo encontrarlo.

2) Los teoremas demostrables en AP o ZFC sin el axioma de infinitud más el axioma "todo conjunto es finito" se corresponden con los que se pueden demostrar sin recurrir a conjuntos infinitos arbitrarios (con argumentos que involucren sólo conjuntos finitos o, a lo sumo, conjuntos infinitos definibles explícitamente mediante fórmulas concretas).

3) Los teoremas demostrables en ZFC (sobre conjuntos o, en particular, sobre números naturales) son los que pueden demostrarse con argumentos que involucran conjuntos infinitos, pero sin partir de nada que un matemático (no metido a filósofo) no considere "asumible" sin reservas.

4) Pero todavía pueden demostrarse más teoremas sobre números naturales (plausiblemente verdaderos) si uno acepta axiomas adicionales que un matemático no consideraría "demostrables" o meramente "asumibles como algo evidente", como por ejemplo la posibilidad de extender la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de \( \mathbb R \).

Sí, el esquema que has subido se corresponde con la situación.

29 Septiembre, 2020, 10:36 pm
Respuesta #13

geómetracat

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4) Pero todavía pueden demostrarse más teoremas sobre números naturales (plausiblemente verdaderos) si uno acepta axiomas adicionales que un matemático no consideraría "demostrables" o meramente "asumibles como algo evidente", como por ejemplo la posibilidad de extender la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de \( \mathbb R \).

Sobre esto, tengo una curiosidad. ¿Se conocen teoremas "de interés aritmético" que no sean demostrables en ZFC pero sí en ZFC+axiomas adicionales, como cardinales grandes?
Por teoremas "de interés aritmético" me refiero a cosas del tipo teorema de Goodstein o teorema de Paris-Harrington, y no a cosas tipo \( Con(ZFC) \) (o equivalentes del tipo una ecuación diofántica horrible no tiene solución). No es algo muy bien definido pero espero que se entienda.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Septiembre, 2020, 11:30 pm
Respuesta #14

Carlos Ivorra

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Sobre esto, tengo una curiosidad. ¿Se conocen teoremas "de interés aritmético" que no sean demostrables en ZFC pero sí en ZFC+axiomas adicionales, como cardinales grandes?
Por teoremas "de interés aritmético" me refiero a cosas del tipo teorema de Goodstein o teorema de Paris-Harrington, y no a cosas tipo \( Con(ZFC) \) (o equivalentes del tipo una ecuación diofántica horrible no tiene solución). No es algo muy bien definido pero espero que se entienda.

Pues yo estaba pensando en cosas tipo \( Con(ZFC) \), pero al parecer también hay resultados finitistas "más o menos naturales". Recuerdo que hace unos años estuve buscando información sobre eso y todo lo que leía apuntaba hacia el trabajo de Friedman, pero sólo encontré referencias indirectas, enunciados sin demostración, o algunos tochos que había que tener mucho tiempo para leerlos y enterarse de algo. He vuelto a buscar ahora y he encontrado algunas cosas que parecen más asequibles, como esto:

https://arxiv.org/abs/math/9811187

No lo he leído. Lo acabo de encontrar ahora, pero lo he ojeado y la "Proposición B" parece totalmente finitista. Por lo visto Friedman tiene más resultados de este estilo, sobre grafos finitos y cosas así, pero, ya digo, cuando busqué hace tiempo, no encontré detalles. También es verdad que no debí de buscar muy bien, porque, por ejemplo, este artículo es de 1998.

29 Septiembre, 2020, 11:59 pm
Respuesta #15

geómetracat

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Muchas gracias, justo era el tipo de cosas que buscaba. Parece que Friedman es el único que ha hecho cosas en esta línea, pero me parece que requeriría bastante tiempo (al menos a mí) enterarse de los detalles.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)