Autor Tema: Demostración identidad de Bezout

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22 Septiembre, 2020, 08:34 pm
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JordiMath

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Viendo la demostración de la identidad de Bezout que aparece en el libro de Lógica matemática de Carlos Ivorra, hay una igualdad que no sé de dónde sale.

Adjunto la imagen de la demostración completa donde aparece la línea que no entiendo señalada con una flecha roja.



No sé si es una errata o soy yo que estoy espeso. Tendría sentido que fuese:

\( x(1+qy-us)-t<xy \)

aunque de ahí no sé cómo se inferiría que

\( 1+qy-us<y \)

habiendo ese “-t” ahí.

Y no veo lo de:

\( x(1+qy-us)=x(1+qy)-t \)

porque significaría que

\( xus=t \)

y eso no se deduce en ningún momento en toda la demostración.

23 Septiembre, 2020, 12:00 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Pues tiene pinta de ser una errata, o al menos yo tampoco veo de dónde sale.

Editado: Lo del spoiler está mal.
Spoiler
Pero puedes deducir la desigualdad que te interesa como sigue. Por un lado tienes que
\( x(1+qy-us) = t+y(qx-vs) < y(qx-vs) \) (porque \( t>0) \).
Y por otro lado, por la elección de \( q \) se tiene que \( qx-vs \leq x \), como se dice en el texto. Juntando ambas desigualdades tienes lo que buscas:
\( x(1+qy-us) < xy \).
[cerrar]
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Septiembre, 2020, 12:08 pm
Respuesta #2

JordiMath

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Modifico respuesta.

Si es t>0 entonces no puede ser

\( t+y(qx-vs)<y(qx-vs) \)

no?

23 Septiembre, 2020, 01:01 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Tienes razón, se me fue la pinza completamente. Pensaré a ver si lo consigo arreglar.

De todas formas, es una demostración de la identidad de Bézout muy enrevesada. Lo normal es usar un poco de teoría de anillos e ideales, y sale mucho más limpio. Aunque supongo que aquí el interés está en dar una prueba en una teoría aritmética, sin usar \( \Bbb Z \) y cosas así.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Septiembre, 2020, 01:07 pm
Respuesta #4

JordiMath

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Así es. Se trata de demostrarlo en \( IΣ_{1} \)

23 Septiembre, 2020, 01:45 pm
Respuesta #5

feriva

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Tienes razón, se me fue la pinza completamente. Pensaré a ver si lo consigo arreglar.

De todas formas, es una demostración de la identidad de Bézout muy enrevesada.

Pero es muy bonita e ingeniosa, es una de mis demostraciones preferidas :)  (sí es verdad que con mis conocimientos no puedo adentrarme en muchísimas otras, pero dentro de las que he estudiado es de las que más me gustan)

23 Septiembre, 2020, 04:12 pm
Respuesta #6

feriva

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JordiMath, de esa demostración (no exactamente tomando como referencia la transcripción de Carlos, pero es la misma) se habló largo y tendido aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=92222.msg373065#msg373065

Saludos.

23 Septiembre, 2020, 04:19 pm
Respuesta #7

JordiMath

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Ojo, tal como dice geómetracat se trata de una demostración en una teoría aritmética \( IΣ_{1} \). No sirve la demostración habitual, que es menos enrevesada, como dice él.

23 Septiembre, 2020, 04:34 pm
Respuesta #8

feriva

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Ojo, tal como dice geómetracat se trata de una demostración en una teoría aritmética \( IΣ_{1} \). No sirve la demostración habitual, que es menos enrevesada, como dice él.

Ah, perdón, me había parecido la misma pero con símbolos raros; no tenía ni idea de eso, gracias.

Saludos.

24 Septiembre, 2020, 01:34 am
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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Hola. Acabo de ver el hilo.

En efecto, el problema es que se trata de demostrar la identidad de Bezout en I\( \Sigma_1 \) como medio para acabar definiendo la función \( 2^x \), y a partir de ahí ya es relativamente fácil definir sucesiones finitas en I\( \Sigma_1 \) y a su vez formalizar todas las funciones recursivas, con lo que I\( \Sigma_1 \) se convierte en una teoría en la que uno puede moverse con comodidad. Pero, mientras tanto, las cosas son complicadas.

Ahora es un poco tarde. Lo pensaré en cuanto pueda.