Autor Tema: Proposiciones

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

23 Septiembre, 2020, 01:42 am
Leído 1541 veces

serbofsot

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 14
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
El curioso título "Proposiones"  ha sido reemplazado por "Proposiciones"

Hola,
Una duda...
Tengo estas proposiciones???
Sean \( H \) y \( K \) subgrupos de un grupo \( G \)
1: \( H\cup K \) es subgrupo de \( G \)
2: \( H\cap K \) es subgrupo de \( G \)


2 es verdadera
1 es,en general,es falsa pero verdadera si H está incluido en K (o viceversa)

Según he aprendido, una proposición es verdadera o falsa sin ambigüedad

Es ambiguo 1 tal y como está escrito?.es una proposición?

Gracias

Cordialmente

CORREGIDO desde la administración.

23 Septiembre, 2020, 03:38 am
Respuesta #1

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,353
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Ten en cuenta que una proposición puede ser verdadera o falsa independientemente del "contenido" de dicha proposición. Por ejemplo, \( p\land\neg p \) es siempre falsa independientemente de lo que "diga" \( p \).

Por otro lado, ambos enunciados, leídos literalmente, NO son proposiciones en sí pues hablan en forma interrogativa. Es como si dijera "¿Mañana lloverá?": no es proposición lógica, pero sí lo es "Mañana lloverá" (dependerá del clima).

Suponiendo que nos piden determinar si \( H,K\leq G \), se cumple que \( H\cap K\leq G \), la respuesta que debería estar en tu cabeza es: Si es verdadero, hay que demostrarlo para cualquier grupo \( G \) y cualesquiera subgrupos \( H \) y \( K \). Si es falso, hay que poner un caso concreto en donde NO se cumpla que la intersección sea un subgrupo del grupo, por eso es suficiente un ejemplo.

Ahora bien, si se agregan condiciones al enunciado puede ser que la proposición resultante sí sea verdadera, como es el caso de que suponiendo además \( H\subseteq K \) (o al revés). En ese caso se convertiría en verdadera, pero si no lo sabemos entonces el enunciado original es falso.

Saludos

23 Septiembre, 2020, 06:12 am
Respuesta #2

serbofsot

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 14
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola manooooh,
Gracias por su respuesta
A ver si le he entendido bien...
H unión K es subgrupo de G
Para cualquier H o cualquier K entonces la proposición es falsa
Pero H unión K en subgrupos para cualquier H o cualquier K es que H esté parcialmente o totalmente en K (o viceversa).creo que no es una suposición....se derivan 2 opciones......una hace que sea falso y la otra que sea verdadero pero las 2 son H unión K.no?.soy “fiel” al enunciado...creo...
Ya me dirá...
Muchas Gracias
Cordialmente

23 Septiembre, 2020, 10:50 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Tengo estas proposiciones???
Sean \( H \) y \( K \) subgrupos de un grupo \( G \)
1: \( H\cup K \) es subgrupo de \( G \)
2: \( H\cap K \) es subgrupo de \( G \)


No hay duda (1) es FALSA y (2) es VERDADERA.

Cuando se enuncia una proposición de este tipo: "Sean \( H \) y \( K \) subgrupos de un grupo \( G \).  \( H\cup K \) es subgrupo de \( G \)" para que sea CIERTA ha de serlo en general; independientemente de que para algunos casos sueltos pudiera cumplirse, si uno es capaz de encontrar un sólo ejemplo de un grupo \( H \) y dos subgrupos \( H \) y \( K \) para los cuales NO se cumple... entonces es FALSA. Y la demostración de que es falsa es exhibir ese ejemplo.

En este caso, tal ejemplo puede ser: \( G=\Bbb Z_6 \), \( H=\{0,3\} \) \( K=\{0,2,4\} \), donde \( H\cup K=\{0,2,3,4\} \) NO es subgrupo.

Por el contrario (2) es VERDADERA porque es cierta en general. Para cualesquiera \( H \) y \( K \) subgrupos de un grupo \( G \), se tiene que \( H\cap K \) es subgrupo. La demostración de que es verdadera es probar esa propiedad. Si no lo has hecho antes, inténtalo.

Saludos.

23 Septiembre, 2020, 06:08 pm
Respuesta #4

serbofsot

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 14
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis,
Aclarada queda mi duda.
La demostración de la intersección es casi trivial (al menos el elemento neutro es la intersección y es un subgrupo de G) y la de la unión,un poco más complicada...con un elemento que está en un conjunto y no en otro + el concepto de producto de 2 subgrupos.
Muchas gracias.
Cordialmente
P.D:Aún he de aprender latex... :banghead: Lo siento  ;).Me pondré en ello...

Entiendo que el ejemplo no es subgrupo porque la ley de composición no es interna en el conjunto unión    \(  H\cup K  \)  :laugh: :laugh: :laugh: con 2 y 3








24 Septiembre, 2020, 12:19 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Aclarada queda mi duda.

Bien, aunque me desconcierta un poco lo que has puesto después.

Citar
La demostración de la intersección es casi trivial (al menos el elemento neutro es la intersección y es un subgrupo de G)

Ciertamente la demostración de que la intersección de subgrupos  es subgrupo es trivial. Pero no se muy bien que has querido decir con la frase en rojo. Es cierto que el conjunto formado sólo por el neutro es un subgrupo, pero en la intersección puede haber más elementos.

Spoiler
La prueba es fácil utilizando la caracterización: \( A \) es subgrupo de \( G \) si y sólo contiene al neutro y \( a,b\in A\quad \Rightarrow{}\quad ab^{-1}\in A \).

i) \( H\cap K \) es no vacío porque necesariamente contiene al neutro.
ii) Si \( a,b\in H\cap K \) entonces \( a,b\in H \) y \( a,b\in K \). Por ser éstos subgrupos, \( ab^{-1}\in H \) y \( ab^{-1}\in K \) y por tanto \( ab^{-1}\in H\cap K \).
[cerrar]
Citar
y la de la unión,un poco más complicada...con un elemento que está en un conjunto y no en otro + el concepto de producto de 2 subgrupos.

Esto también me desconcierta. La unión de subgrupos no es en general subgrupo; la demostración de eso es simplemente un ejemplo como el que te indiqué (valdría otro).

Citar
Entiendo que el ejemplo no es subgrupo porque la ley de composición no es interna en el conjunto unión    \(  H\cup K  \)  :laugh: :laugh: :laugh: con 2 y 3

Si, justo. \( 2,3\in H\cup K \) pero \( 2+3=5\not\in H\cup K \).

Por completar el asunto se puede probar que \( H\cup K \) es sugrupo si y sólo si \( H\subset K \) ó \( K\subset H \).

Spoiler
Por reduccion al absurdo. Supongamos que \( H\cup K \) es sugrupo. Supongamos que no se da ni \( H\subset K \) ni \( K\subset H \). Eso quiere decir que existe \( h\in H \), \( k\in K \) tales que \( h\not\in K \) y \( k\not\in H. \)

Como \( h,k\in H\cup K \) y éste es subgrupo entonces \( hk\in H\cup K \), y \( hk\in H \) ó \( hk\in K \).

Si \( hk\in H \) entonces \( k=h^{-1}(hk)\in H \) (por ser \( H \) subgrupo): contradicción.
Si \( hk\in K \) entonces \( h=(hk)k^{-1}\in K \) (por ser \( K \) subgrupo): contradicción.
[cerrar]

Saludos.

27 Septiembre, 2020, 09:21 am
Respuesta #6

serbofsot

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 14
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis,

Citar
Ciertamente la demostración de que la intersección de subgrupos  es subgrupo es trivial. Pero no se muy bien que has querido decir con la frase en rojo. Es cierto que el conjunto formado sólo por el neutro es un subgrupo, pero en la intersección puede haber más elementos.

Me refería a que,como minimo,el neutro \( e\in{H}\cap{K} \) (como minimo  =  en referencia a elementos de \( H\cap{K} \)).No obstante,mi frase era muy confusa...

Citar
y la de la unión,un poco más complicada...con un elemento que está en un conjunto y no en otro + el concepto de producto de 2 subgrupos.

Esto también me desconcierta. La unión de subgrupos no es en general subgrupo; la demostración de eso es simplemente un ejemplo como el que te indiqué (valdría otro).

Allá voy....qué me coman los "leones" si no es correcta...que es lo más probable... ;D ;D ;D ;D

\( H\cup{K} \) es subgrupo de un grupo \( G \) siendo \( H \) y \( K \) subgrupos de un grupo \( G \)

Sabemos que al ser \( H \) y \( K \) subgrupos, \( H\cap{K}\neq\emptyset \)

Esto implica que \( H\subseteq{K} \) (o viceversa)

a) Caso en que \( H \subset{K} \):

entonces \( H\cup{K}=K \) y como \( K \) es grupo, tenemos que \( H\cup{K}=K \) es grupo (análogo con \( H \))

b) Caso en que \( H\not\subset K \):

Sea \( h \in{H} \) y \( k \in{K} \) tales que:

\( h\in{H} \) y \( h\not\in K \) y también

\( k\in{K} \) y \( k\not\in H \)

como \( h\in{H} \) y \( k\in{K} \) tenemos el conjunto generado \( HK = \left\{{hk:} h\in{H},

k\in{K}\right\} \) que es subgrupo de  \( HK \) es subgrupo de \( G \) si y sólo si \(  HK = KH \) no sé

si realmente afecta pero bueno...ya me dirán...ahora he caído...

\( hk \in{HK} \)  esto implica que \( hk\in{H} \) o \( hk \in{K} \) (ésto es correcto?)  ---> Acabo de

verlo después de enviarlo...Creo que no..ya que si \( hk\in{H} \) entonces \( k\in{H} \) y,por hipótesis \( k\not\in H \)

qué me coman los "leones".... :laugh: :laugh:  Ya me diréis... ;)


Si \( hk\in{H} \) entonces \( h^{-1}hk\in{H} \), \( k\in{H} \) en contradicción con la hipótesis

en caso de que \( hk\in{K} \) entonces \( hkk^-1\in{K} \), \( h\in{K} \) en contradicción con la hipótesis

Por tanto, \( H\cup{K} \) no sería subgrupo de un grupo \( G \)

\( HK \)es un subgrupo de \( G \) si y sólo si \( HK = KH \) afecta a que haya realizado \( hkk^{-1}\in{K} \) una vez por la derecha?

Gracias por su tiempo y ya me dirán...

Cordialmente

27 Septiembre, 2020, 08:36 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Allá voy....qué me coman los "leones" si no es correcta...que es lo más probable... ;D ;D ;D ;D

No me queda claro que vas a intentar demostrar. Como te dije que la unión de subgrupos no es en general subgrupos se demuestra con un EJEMPLO.

Por lo que escribes después entiendo que quieres probar que la unión de subgrupos es subgrupos si y sólo si uno está contenido en el otro. Fíjate que he escrito una prueba de eso en el SPOILER de mi mensaje anterior; pero es bueno que lo intentes por ti mismo.

Citar
\( H\cup{K} \) es subgrupo de un grupo \( G \) siendo \( H \) y \( K \) subgrupos de un grupo \( G \)

Sabemos que al ser \( H \) y \( K \) subgrupos, \( H\cap{K}\neq\emptyset \)

Esto implica que \( H\subseteq{K} \) (o viceversa)

Eso es confuso pareciera que afirmas que de lo anterior (que  \( H \) y \( K \) son subgrupos y \( H\cap{K}\neq\emptyset \)) es decir que o bien \( H\subset K \) o bien \( K\subset H \). Lo cual es falso; no tiene porque darse ninguna de las dos cosas. Por como desarrollas después tu argumento me parece que si estabas entendiendo eso, y simplemente lo has redactado de manera confusa.

Citar
a) Caso en que \( H \subset{K} \):

entonces \( H\cup{K}=K \) y como \( K \) es grupo, tenemos que \( H\cup{K}=K \) es grupo (análogo con \( H \))

Bien.

Citar
b) Caso en que \( H\not\subset K \):

Sea \( h \in{H} \) y \( k \in{K} \) tales que:

\( h\in{H} \) y \( h\not\in K \) y también

\( k\in{K} \) y \( k\not\in H \)

Aquí entiendo que te refieres al caso en que  \( H\not\subset K \) pero también  \( K\not\subset H \)

En lo que sigue sinceramente me resulta confuso como razonas. No sé porqué haces intervenir \( HK \).

como \( h\in{H} \) y \( k\in{K} \) tenemos el conjunto generado \( HK = \left\{{hk:} h\in{H},

k\in{K}\right\} \) que es subgrupo de  \( HK \) es subgrupo de \( G \) si y sólo si \(  HK = KH \) no sé

si realmente afecta pero bueno...ya me dirán...ahora he caído...

\( hk \in{HK} \)  esto implica que \( hk\in{H} \) o \( hk \in{K} \) (ésto es correcto?)

Sin mas explicación desde luego no es correcto. Por definición \( HK \) son los elementos de la forma \( hk \) con \( h\in H \) y \( k\in K \). Y ya está no implica que \( hk\in K \)  \( hk\in{H} \) o \( hk \in{K} \).

Intenta redactar tu idea de manera más clara y/o echa un vistazo a la demostración del SPOILER.

Saludos.