Autor Tema: Negando una definición matemática

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06 Agosto, 2020, 10:17 am
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manooooh

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Hola!!

En este hilo se hace mención a una definición matemática, y se la quiere negar.

Sabemos que toda definición matemática es un si y sólo si. O sea uno puede decir algo que está en palabras y traducirlo al lenguaje formal mediante el bicondicional: \( p\iff q \). Lo anterior se lee: "Definimos \( p \) como \( q \)".

Hasta aquí no tengo dudas.



El problema que me surge empieza cuando quiero buscar la negación de dicha definición. Es decir saber cómo se interpreta \( \neg(p\iff q) \).

Pero lo anterior NO equivale a \( \neg p\iff\neg q \) como muchos (incluso yo) podríamos pensar, pues con \( p \) verdadera y \( q \) falsa (o al revés) ya ambas proposiciones son distintas.

Obviamente se pueden usar distintas reglas para afirmar que \( \neg(p\iff q) \) equivale a \( (p\land\neg q)\lor(q\land\neg p) \), pero esto dista mucho de ser una expresión fácil y sencilla de entender.

Mis preguntas son: ¿se puede tomar como válido en las definiciones matemáticas, representadas por \( p\iff q \), que su negación sea \( \neg p\iff\neg q \)? Si no fuera posible, ¿cómo es que se niega una definición matemática?

Gracias!!
Saludos

06 Agosto, 2020, 10:40 am
Respuesta #1

feriva

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Hola!!

Mis preguntas son: ¿se puede tomar como válido en las definiciones matemáticas, representadas por \( p\iff q \), que su negación sea \( \neg p\iff\neg q \)? Si no fuera posible, ¿cómo es que se niega una definición matemática?

Gracias!!
Saludos

Hola, manooooh, buenos días, cuánto tiempo sin saludarte.

Qué profundo te pones meditando sobre estas cosas :)

Esta expresión \( \neg p\iff\neg q
  \) es para mí (ahora mismo y sin pensar nada) difícil de interpretar o conciliar con la coherencia lógica; debido a que el principio de explosión explota (valga la redundancia) en dos sentidos a la vez.

Saludos.

06 Agosto, 2020, 10:47 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola feriva!! Tienes razón ha pasado mucho tiempo sin hablarnos (más que una pandemia global, imagínate :laugh:). Espero que te encuentres bien, de corazón.

Sí, hay varias cosas que me chirrían en lo que expuse. Empezando por decir que una definición es una proposición. Lo cual es ¿mentira? porque sabemos que las definiciones no se demuestran ni se ponen contraejemplos.

Quizás al bicondicional habría que agregarle algunas hipótesis extra para que realmente se considere "una definición matemática", aunque ahora mismo no se me ocurre nada.

Pero esto lo pongo en duda al ver definiciones como las que plantea Masacroso o como muchísimas veces vimos que se define al límite puntual con un si y sólo si. Algo como:

\( \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l\iff\ldots \)

¿Cuál sería entonces la negación de dicha definición de límite? ???

Saludos

06 Agosto, 2020, 11:01 am
Respuesta #3

Masacroso

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Hola feriva!! Tienes razón ha pasado mucho tiempo sin hablarnos (más que una pandemia global, imagínate :laugh:). Espero que te encuentres bien, de corazón.

Sí, hay varias cosas que me chirrían en lo que expuse. Empezando por decir que una definición es una proposición. Lo cual es ¿mentira? porque sabemos que las definiciones no se demuestran ni se ponen contraejemplos.

Quizás al bicondicional habría que agregarle algunas hipótesis extra para que realmente se considere "una definición matemática", aunque ahora mismo no se me ocurre nada.

Pero esto lo pongo en duda al ver definiciones como las que plantea Masacroso o como muchísimas veces vimos que se define al límite puntual con un si y sólo si. Algo como:

\( \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l\iff\ldots \)

¿Cuál sería entonces la negación de dicha definición de límite? ???

Saludos


Cierto, me equivoqué en ese tema, ahora lo corrijo, no es una negación es una equivalencia, es decir \( A \iff B \) es equivalente a \( \lnot A\iff \lnot B \). Añado: y tenemos que \( \lnot(A\iff B)\equiv (A\iff \lnot B)\equiv (\lnot A \iff B) \).

06 Agosto, 2020, 01:49 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Sobre la negación del bicondicional ya ha contestado Masacroso, pero este es un comentario muy interesante:

Sí, hay varias cosas que me chirrían en lo que expuse. Empezando por decir que una definición es una proposición. Lo cual es ¿mentira? porque sabemos que las definiciones no se demuestran ni se ponen contraejemplos.

Quizás al bicondicional habría que agregarle algunas hipótesis extra para que realmente se considere "una definición matemática", aunque ahora mismo no se me ocurre nada.

Pero esto lo pongo en duda al ver definiciones como las que plantea Masacroso o como muchísimas veces vimos que se define al límite puntual con un si y sólo si. Algo como:

\( \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l\iff\ldots \)

¿Cuál sería entonces la negación de dicha definición de límite? ???

Es que hay que entender bien el papel que juegan las definiciones en lógica formal. En principio, a un nivel totalmente formal, las únicas fórmulas válidas en matemáticas son las escritas en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Es decir, las fórmulas únicamente pueden contener variables, conectores lógicos (esto incluye el signo de igualdad, \( = \)) y el símbolo \( \in \).
Cuando se introduce un nuevo símbolo en una definición, en realidad lo que se está haciendo es consensuar una abreviatura para una fórmula (o un término).

Por ejemplo, cuando introducimos el símbolo para la inclusión de conjuntos, \( \subset \), definimos \( A \subset B \) como que todo elemento de \( A \) es también un elemento de \( B \). Podríamos dar una definición de inclusión de conjuntos \( \subset \) en el estilo de la de límite así:
\( A \subset B \iff \forall x (x\in A \to x \in B) \)
Pero cuidado, porque esto no es una fórmula válida. No puede serlo porque hemos dicho antes que las fórmulas o pueden contener símbolos que no sean conectores lógicos ni \( \in \), y esta contiene a \( \subset \).
Por eso, aunque a veces se escriban como "bicondicionales" hay que tener muy claro que las definiciones de ese tipo no son fórmulas lógicas, y que por tanto la flechita doble de ahí no es ningún conector lógico, es decir, no es ningún bicondicional.

Entonces, ¿qué significa exactamente hacer una definición y para qué sirve (a nivel lógico)?
Pues se hace simplemente para poder usar abreviaturas en las fórmulas lógicas, para hacerlas más legibles e inteligibles. Por ejemplo, para expresar que dos conjuntos \( A,B \) son iguales si cada uno es subconjunto del otro, escribiríamos:
\( \forall A \forall B (A \subset B \wedge B \subset A \to A=B) \).
Pero esto no es una fórmula válida en lógica de primer orden, estrictamente hablando, porque el símbolo \( \subset \) no pertenece al lenguaje.
La gracia de las definiciones es que como hemos definido \( A \subset B \) en términos de una fórmula que sí es válida, podemos interpretar la fórmula precedente como la fórmula en lógica de primer orden que resulta de sustituir cada aparición de \( A \subset B \) por su definición (el lado derecho), quedando así:
\( \forall A \forall B ((\forall x (x\in A \to x \in B) \wedge (\forall x (x \in B \to x \in A))\to A=B) \).
Esta sí que es una fórmula válida en el lenguaje de la teoría de conjuntos, pero para un humano es menos legible que la misma expresada con subconjuntos. Ahora imagina cómo sería una fórmula que involucrara conceptos como "función derivable" en términos únicamente de \( \in \). Sería una fórmula larguísima e incomprensible.

En resumen, las definiciones no forman parte de la lógica de primer orden y solamente representan abreviaturas de otras fórmulas. Por tanto el "bicondicional" en la definición que indicas no es ningún bicondicional porque esa fórmula no es una fórmula lógica. De la misma manera podríamos haber escrito algo como
\( A \subset B := \forall x (x\in A \to x \in B)  \).

Espero que esto haya contribuido a aclarar las cosas y no a liarlas más.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Agosto, 2020, 11:57 pm
Respuesta #5

manooooh

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Hola a todos

Muchas gracias geómetracat por tu exposición. En pocas palabras podemos decir que por ejemplo "Dos conjuntos son iguales si y sólo si uno está incluido en el otro", "pensamos" que dice \( A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A \) aunque formalmente esto no signifique nada. Lo hacemos por practicidad. ¿Está bien?

Por otro lado, de acuerdo a lo que menciona Masacroso, guiándonos por esta idea práctica, diremos:

Definición Dos conjuntos NO son iguales si y sólo si uno NO está incluido en el otro, o bien, el otro NO está incluido en el primero.

Mi duda viene cuando planteamos lo de recién: si pensamos que \( p\iff q \) es una definición y \( \neg p\iff\neg q \) es la negación de dicha definición, ¿cómo cabe en la cabeza que dichos resultados son equivalentes? Es como decir que la definición que habla en afirmativo ("son iguales") es equivalente al que habla en negativo ("NO son iguales"), algo como \( V\equiv F \) lo cual es falso.

Saludos

07 Agosto, 2020, 07:37 am
Respuesta #6

feriva

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Mi duda viene cuando planteamos lo de recién: si pensamos que \( p\iff q \) es una definición y \( \neg p\iff\neg q \) es la negación de dicha definición, ¿cómo cabe en la cabeza que dichos resultados son equivalentes?

Hola, manooooh, buenos días (estoy bien, gracias).

Pienso que la negación es \( \neg(p\iff q)
  \) y ésta no es equivalente a \(  (\neg q\Leftrightarrow\neg p)
  \). La primera dice que es falso que p implique q y viceversa. Dentro de un problema lógico, para que se cumpla esto, puede pasar que p implique q sin que q implique p o que q implique p sin que p implique... Y la sentencia así sería cierta (vamos, sería cierto que es falso \( (p\iff q)
  \). Ahora bien, si p implica q y q implica p, entonces esto \( \neg(p\iff q)
  \) no es cierto, sería cierto \( \neg(\neg(p\iff q))
  \).

Saludos.

07 Agosto, 2020, 10:17 am
Respuesta #7

geómetracat

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Muchas gracias geómetracat por tu exposición. En pocas palabras podemos decir que por ejemplo "Dos conjuntos son iguales si y sólo si uno está incluido en el otro", "pensamos" que dice \( A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A \) aunque formalmente esto no signifique nada. Lo hacemos por practicidad. ¿Está bien?
Creo que en el fondo sí, pero ese es un muy mal ejemplo. Creo entender que pretendes definir la igualdad de conjuntos a partir de las inclusiones. Pero resulta que la igualdad sí que es un símbolo lógico. La fórmula \( A=B \) es una fórmula perfectamente válida eb el lenguaje de la teoría de conjuntos. Así que no puedes definir la igualdad de conjuntos. Por eso lo que se hace en teoría de conjuntos es introducir un axioma, el axioma de extensionalidad, que dice:
\( \forall A \forall B (A \subseteq B \wedge B \subseteq A \to A=B) \)
(la otra implicación es una fórmula lógicamente válida, no hace falta introducirlo como axioma).

Citar
Por otro lado, de acuerdo a lo que menciona Masacroso, guiándonos por esta idea práctica, diremos:

Definición Dos conjuntos NO son iguales si y sólo si uno NO está incluido en el otro, o bien, el otro NO está incluido en el primero.

Mi duda viene cuando planteamos lo de recién: si pensamos que \( p\iff q \) es una definición y \( \neg p\iff\neg q \) es la negación de dicha definición, ¿cómo cabe en la cabeza que dichos resultados son equivalentes? Es como decir que la definición que habla en afirmativo ("son iguales") es equivalente al que habla en negativo ("NO son iguales"), algo como \( V\equiv F \) lo cual es falso.

No es que una definición sea equivalente a su negación, obviamente eso no tendría sentido. Ahí lo único que dice es que decir que \( A \subseteq B \) es lo mismo que \( \forall x (x \in A \to x \in B) \) es equivalente a decir que \( \neg(A \subseteq B) \) es lo mismo que decir \( \neg \forall x (x \in A \to x \in B) \), lo cual es una obviedad.
Es como lo que dice feriva,
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Agosto, 2020, 11:16 am
Respuesta #8

manooooh

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Hola

El primer párrafo lo entendí. De hecho siempre leía "el axioma de extensionalidad" y no entendía qué quería decir. Ahora sí. ¡Es por esto que se necesitan más preguntas cuasi filosóficas como la que planteo en el primer mensaje!

Con respecto al segundo párrafo:

No es que una definición sea equivalente a su negación, obviamente eso no tendría sentido. Ahí lo único que dice es que decir que \( A \subseteq B \) es lo mismo que \( \forall x (x \in A \to x \in B) \) es equivalente a decir que \( \neg(A \subseteq B) \) es lo mismo que decir \( \neg \forall x (x \in A \to x \in B) \), lo cual es una obviedad.
Es como lo que dice feriva,

¿Cómo es posible que lo marcado en rojo sean dos cosas equivalentes? Una está negada y la otra no.

Saludos

07 Agosto, 2020, 11:36 am
Respuesta #9

geómetracat

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El primer párrafo lo entendí. De hecho siempre leía "el axioma de extensionalidad" y no entendía qué quería decir. Ahora sí. ¡Es por esto que se necesitan más preguntas cuasi filosóficas como la que planteo en el primer mensaje!
Sí, no están mal las preguntas "filosóficas". Pero a mí me parece que el problema principal por la que tienes estas confusiones (tú y mucha otra gente, incluídos matemáticos) es que no has seguido nunca un curso serio de lógica matemática. Todas estas cosas deberían quedar claras y bien explicadas si se aprende bien y en orden los rudimentos de la lógica matemática. Y no, ni los cursos de lógica de carreras como informática o filosofía, ni las asignaturas de "lógica y razonamiento matemático" de primero de mates son cursos serios de lógica matemática.
Por eso al final se tiene una idea vaga de las cosas y tienes que ir adivinando qué significan y por qué esto se hace así y no asá, etc.

Citar
No es que una definición sea equivalente a su negación, obviamente eso no tendría sentido. Ahí lo único que dice es que decir que \( A \subseteq B \) es lo mismo que \( \forall x (x \in A \to x \in B) \) es equivalente a decir que \( \neg(A \subseteq B) \) es lo mismo que decir \( \neg \forall x (x \in A \to x \in B) \), lo cual es una obviedad.
Es como lo que dice feriva,

¿Cómo es posible que lo marcado en rojo sean dos cosas equivalentes? Una está negada y la otra no.
Es que las cosas marcadas en rojo no son equivalentes.
"\( A \subseteq B \) es lo mismo que \( \forall x (x \in A \to x \in B) \)"
 es equivalente a
"\( \neg(A \subseteq B) \) es lo mismo que \( \neg \forall x (x \in A \to x \in B) \)"
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)