Autor Tema: Dado un razonamiento escribirlo simbólicamente y analizar su validez

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08 Julio, 2019, 09:10 am
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manooooh

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Hola!

Tantos meses sin aparecer... Los he extrañado mucho. Ahora vuelvo con dudas que espero puedan ayudarme a resolver :).

El enunciado dice:



Dado el siguiente razonamiento, definir un conjunto universal, escribir simbólicamente el razonamiento y analizar su validez:

Todos los empleados de la empresa LJCM son de La Pampa o Córdoba. Los empleados cordobeses han sido capacitados y tienen título de posgrado. Pablo, uno de los empleados de LJCM tiene título de posgrado pero no fue capacitado. Por lo tanto al menos un empleado de LJCM es de La Pampa.




Defino \( \mathcal{U}=\{x\mid\text{\(x\) es una persona}\} \) y el siguiente diccionario de datos:

\( p(x)=\text{\(x\) es empleado de la empresa LJCM} \)

\( q(x)=\text{\(x\) es de La Pampa} \)

\( r(x)=\text{\(x\) es de Córdoba} \)

\( s(x)=\text{\(x\) está capacitado} \)

\( t(x)=\text{\(x\) tiene título de posgrado} \)

Por tanto el razonamiento a analizar se convierte en:

\(
\begin{array}{l}
\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))\\
\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))\\
\exists x(t(x)\wedge\neg s(x))\\\hline
\therefore\exists x(p(x)\wedge q(x))
\end{array}
 \)

¿Hasta aquí todo bien?

De ser así, no me pondría a buscar un contraejemplo para probar que es inválido sino utilizar reglas de inferencia + leyes lógicas para probar la validez del mismo:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))&\text{Premisa}\\
3)&\exists x(t(x)\wedge\neg s(x))&\text{Premisa}\\
4)&t(a)\wedge\neg s(a)&\text{Eliminación particularizador 3)}\\
5)&p(a)\to q(a)\vee r(a)&\text{Eliminación generalizador 1)}\\
6)&r(a)\to s(a)\wedge t(a)&\text{Eliminación generalizador 2)}\\
\end{array}
 \)

Hasta acá llego porque después no sé qué más aplicar (se hace un choclo de líneas de razonamiento). Sólo tengo permitidos las siguientes reglas de inferencia:

Reglas de inferencia permitidas
Modus Ponens, Modus Tollens, Adición, Simplificación, silogismo hipotético, y las siguientes llamadas dilemas constructivo y silogismo disyuntivo (en ese orden):

\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
r\to s\\
p\vee r\\\hline
\therefore q\vee s
\end{array}\qquad
\begin{array}{l}
p\vee q\\
\neg q\\\hline
\therefore p
\end{array}
 \)
[cerrar]

¿Qué harían ustedes (de estar todo bien)?

Gracias!!
Saludos

P.D. Tengo temor a que esté mal particularizado, porque he visto casos en donde se escribe sin el "existe" y directamente se escribe \( t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo}) \). ¿Cómo lo escribirían ustedes?

08 Julio, 2019, 09:44 am
Respuesta #1

geómetracat

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Hola manoooh, ¡cuánto tiempo!



El enunciado dice:



Dado el siguiente razonamiento, definir un conjunto universal, escribir simbólicamente el razonamiento y analizar su validez:

Todos los empleados de la empresa LJCM son de La Pampa o Córdoba. Los empleados cordobeses han sido capacitados y tienen título de posgrado. Pablo, uno de los empleados de LJCM tiene título de posgrado pero no fue capacitado. Por lo tanto al menos un empleado de LJCM es de La Pampa.




Defino \( \mathcal{U}=\{x\mid\text{\(x\) es una persona}\} \) y el siguiente diccionario de datos:

\( p(x)=\text{\(x\) es empleado de la empresa LJCM} \)

\( q(x)=\text{\(x\) es de La Pampa} \)

\( r(x)=\text{\(x\) es de Córdoba} \)

\( s(x)=\text{\(x\) está capacitado} \)

\( t(x)=\text{\(x\) tiene título de posgrado} \)

Por tanto el razonamiento a analizar se convierte en:

\(
\begin{array}{l}
\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))\\
\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))\\
\exists x(t(x)\wedge\neg s(x))\\\hline
\therefore\exists x(p(x)\wedge q(x))
\end{array}
 \)

¿Hasta aquí todo bien?

La última premisa está mal formalizada, te falta decir que es un trabajador de LJCM. Es decir, sería:
\( \exists x(p(x) \wedge t(x)\wedge\neg s(x)) \)

Tal como lo tenías formalizado no era un razonamiento válido (solo podrías demostrar que hay algún empleado de la Pampa, pero no que haya algún empleado de LJCM que además sea de la Pampa).

Con la formalización correcta sí que es un razonamiento válido, prueba a ver si te sale la demostración.


Citar
P.D. Tengo temor a que esté mal particularizado, porque he visto casos en donde se escribe sin el "existe" y directamente se escribe \( t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo}) \). ¿Cómo lo escribirían ustedes?

Sí, la formalización estricamente sería así, añadiendo una constante al lenguaje (Pablo). Esto es así porque en el enunciado no te dice "hay algún trabajador que..." sino "Pablo es un trabajador de...". Es decir, no te da un enunciado existencial sino uno referente a una persona concreta. Por eso es mejor formalizarlo con una constante.

De todos modos, es irrelevante para el razonamiento, pues de \( \phi(Pablo) \) puedes deducir \( \exists x \phi(x) \). Sí que sería relevante si en la conclusión del razonamiento se mencionara explícitamente a Pablo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2019, 09:49 am
Respuesta #2

manooooh

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Olvidarse de esto, geómetracat ha encontrado un error

Hola

Intentando pensar si puede ser inválido, he tomado el siguiente ejemplo:

Sea \( \mathcal{U}=\{\text{Pablo},\text{Juan},\text{Pedro}\} \) (no me digan machista por favor :laugh:).

Definamos los siguientes subconjuntos:

\( \{\text{Pablo},\text{Juan}\} \) son empleados de la empresa.

\( \{\text{Pedro}\} \) es de La Pampa.

\( \{\text{Pablo},\text{Juan}\} \) son de Córdoba.

\( \{\text{Pablo},\text{Juan}\} \) están capacitados.

\( \{\text{Pablo},\text{Juan},\text{Pedro}\} \) tienen título de posgrado.



Veamos si las premisas se cumplen:

Todo empleado de la empresa es de La Pampa o de Córdoba.

Todo aquel que viva en Córdoba está capacitado y tiene título de posgrado (tenemos falso implica X, así que esta premisa es verdadera).

Por último, existe una persona con título de posgrado (Pedro) que NO está capacitado (Pedro no está capacitado).

SIN EMBARGO, la tesis es FALSA, pues no hay nadie que sea empleado de la empresa y además sea de La Pampa (pues los empleados son Pablo y Juan, y ninguno de ellos son de La Pampa, son de Córdoba).



¿Está bien pensado?

¿Cómo lo corregirían ustedes?

Gracias nuevamente.
Saludos

08 Julio, 2019, 09:57 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola geómetracat! Gracias por la ayuda

Con la formalización correcta sí que es un razonamiento válido, prueba a ver si te sale la demostración.

Ok, lo intentaré. Parece tedioso :-\.

Sí, la formalización estricamente sería así, añadiendo una constante al lenguaje (Pablo). Esto es así porque en el enunciado no te dice "hay algún trabajador que..." sino "Pablo es un trabajador de...". Es decir, no te da un enunciado existencial sino uno referente a una persona concreta. Por eso es mejor formalizarlo con una constante.

De todos modos, es irrelevante para el razonamiento, pues de \( \phi(Pablo) \) puedes deducir \( \exists x \phi(x) \). Sí que sería relevante si en la conclusión del razonamiento se mencionara explícitamente a Pablo.

No importa que sea irrelevante. Si lo estrictamente formalizable es como decís, pues así será. No quiero llevarme una sorpresa cuando me olvide que es importante lo que decís en la conclusión.

Saludos

08 Julio, 2019, 10:05 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Tenemos:

\( \mathcal{U}=\{x\mid\text{\(x\) es una persona}\} \) y el siguiente diccionario de datos:

\( p(x)=\text{\(x\) es empleado de la empresa LJCM} \)

\( q(x)=\text{\(x\) es de La Pampa} \)

\( r(x)=\text{\(x\) es de Córdoba} \)

\( s(x)=\text{\(x\) está capacitado} \)

\( t(x)=\text{\(x\) tiene título de posgrado} \)

El razonamiento corregido es:

\(
\begin{array}{l}
\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))\\
\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))\\
p(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo})\\\hline
\therefore\exists x(p(x)\wedge q(x))
\end{array}
 \)

Prueba de la validez del razonamiento:


\(
\begin{array}{lll}
1)&\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))&\text{Premisa}\\
3)&p(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo})&\text{Premisa}\\
4)&p(\text{Pablo})\to q(\text{Pablo})\vee r(\text{Pablo})&\text{Eliminación generalizador 1)}\\
5)&r(\text{Pablo})\to s(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})&\text{Eliminación generalizador 2)}\\
6)&p(\text{Pablo})&\text{Eliminación conjunción 3)}\\
7)&q(\text{Pablo})\vee r(\text{Pablo})&\text{Modus Ponens 4), 6)}\\
\end{array}
 \)

y hasta aquí llego. Siempre doy vueltas y no consigo llegar a buen puerto.

Saludos

08 Julio, 2019, 10:12 am
Respuesta #5

manooooh

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Hola

Pregunta al margen que no tiene que ver con el hilo en sí pero que se me vino a la cabeza cuando estaba creando la respuesta #2:

Si debemos dar un contraejemplo para probar que el razonamiento es inválido, y además tenemos como premisa un "Para todo" que opera sobre una IMPLICACIÓN, ¿existen varias formas de probar que la premisa es verdadera, además de la típica \( \mathrm{V}\to\mathrm{V}\equiv\mathrm{V} \)?

Es decir, si tenemos como premisa \( \forall x(p(x)\to q(x)) \), una forma de probar que es verdadero sería que para todo \( x \), \( p(x)\to q(x) \) es verdadera cuando \( p(x) \) y \( q(x) \) se cumplen, ¿qué hay de?:

- para un \( p(x_1) \) NO se cumple (para el resto de las \( x \) puede cumplirse o no), y \( q(x) \) se cumple (sería \( \mathrm{F}\to\mathrm{V} \) que equivale a \( \mathrm{V} \)).
- para un \( p(x_1) \) NO se cumple (para el resto de las \( x \) puede cumplirse o no), y \( q(x) \) NO se cumple (sería \( \mathrm{F}\to\mathrm{F} \) que equivale a \( \mathrm{V} \)).

¿En ambos casos la premisa seguiría siendo verdadera?

Saludos

08 Julio, 2019, 11:06 am
Respuesta #6

feriva

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Olvidarse de esto, geómetracat ha encontrado un error



¡Buenos días, manooooh!, cuánto tiempo sin verte :)

Ni pensaba decir nada del problema (que donde hay patrón no manda marinero...)

Saludos.

08 Julio, 2019, 11:13 am
Respuesta #7

geómetracat

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Prueba de la validez del razonamiento:


\(
\begin{array}{lll}
1)&\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))&\text{Premisa}\\
3)&p(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo})&\text{Premisa}\\
4)&p(\text{Pablo})\to q(\text{Pablo})\vee r(\text{Pablo})&\text{Eliminación generalizador 1)}\\
5)&r(\text{Pablo})\to s(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})&\text{Eliminación generalizador 2)}\\
6)&p(\text{Pablo})&\text{Eliminación conjunción 3)}\\
7)&q(\text{Pablo})\vee r(\text{Pablo})&\text{Modus Ponens 4), 6)}\\
\end{array}
 \)

y hasta aquí llego. Siempre doy vueltas y no consigo llegar a buen puerto.

Vas bien. Te doy unas ideas para acabar la demostración. Ya tienes demostrado \( p(\text{Pablo}) \). Te basta con demostrar \( q(\text{Pablo}) \), pues entonces podrás deducir \( p(\text{Pablo}) \wedge q(\text{Pablo}) \) y de ahí \( \exists x (p(x) \wedge q(x)) \).

Para probar \( q(\text{Pablo}) \) deberás usar lo que llamas silogismo disyuntivo aplicado a \( 7) \). Es decir, te basta con probar que \( \neg r(\text{Pablo}) \).

Para ello fíjate que de \( 5) \) obtienes (vía modus tollens y de Morgan) \( \neg s(\text{Pablo}) \vee \neg t(\text{Pablo}) \rightarrow \neg r(\text{Pablo}) \). Y de \( 3) \) puedes obtener \( \neg s(\text{Pablo}) \), luego de estos dos hechos obtienes \( \neg r(\text{Pablo}) \) y ya estás.

En general, debes ser capaz de ver el argumento "semiformalmente" antes de ponerte con las reglas. Es decir, tienes que tener un esbozo de la estructura que seguirá la demostración antes de ponerte a aplicar reglas sin ton ni son, sino nunca te saldrá bien. Una buena idea suele ser trabajar para atrás. Empiezas por la conclusión y piensas "¿qué necesito para demostrar esto?" y así vas siguiendo.

Si debemos dar un contraejemplo para probar que el razonamiento es inválido, y además tenemos como premisa un "Para todo" que opera sobre una IMPLICACIÓN, ¿existen varias formas de probar que la premisa es verdadera, además de la típica \( \mathrm{V}\to\mathrm{V}\equiv\mathrm{V} \)?

Es decir, si tenemos como premisa \( \forall x(p(x)\to q(x)) \), una forma de probar que es verdadero sería que para todo \( x \), \( p(x)\to q(x) \) es verdadera cuando \( p(x) \) y \( q(x) \) se cumplen, ¿qué hay de?:

- para un \( p(x_1) \) NO se cumple (para el resto de las \( x \) puede cumplirse o no), y \( q(x) \) se cumple (sería \( \mathrm{F}\to\mathrm{V} \) que equivale a \( \mathrm{V} \)).
- para un \( p(x_1) \) NO se cumple (para el resto de las \( x \) puede cumplirse o no), y \( q(x) \) NO se cumple (sería \( \mathrm{F}\to\mathrm{F} \) que equivale a \( \mathrm{V} \)).

¿En ambos casos la premisa seguiría siendo verdadera?

Sí, por supuesto. Que \( \forall x(p(x) \rightarrow q(x)) \) sea verdadera quiere decir que para cada objeto \( a \) del universo, tienes que \( p(a) \rightarrow q(a) \) es verdadera. Esto puede pasar porque \( p(a) \) y \( q(a) \) son ambas verdaderas, pero también en los otros casos que pones.

La fórmula que es verdadera exactamente cuando \( p(a) \) y \( q(a) \) son ambas verdaderas para todo \( a \) es \( \forall x(p(x) \wedge q(x)) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2019, 07:44 pm
Respuesta #8

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Hola geómetracat

Te doy unas ideas para acabar la demostración. Ya tienes demostrado \( p(\text{Pablo}) \). Te basta con demostrar \( q(\text{Pablo}) \), pues entonces podrás deducir \( p(\text{Pablo}) \wedge q(\text{Pablo}) \) y de ahí \( \exists x (p(x) \wedge q(x)) \).

De acuerdo.

Para ello fíjate que de \( 5) \) obtienes (vía modus tollens y de Morgan) \( \neg s(\text{Pablo}) \vee \neg t(\text{Pablo}) \rightarrow \neg r(\text{Pablo}) \). Y de \( 3) \) puedes obtener \( \neg s(\text{Pablo}) \), luego de estos dos hechos obtienes \( \neg r(\text{Pablo}) \) y ya estás.

No entendí. Lo que podemos deducir de \( 5) \) es que, aplicando la equivalencia del condicional, \( \neg r\vee(s\wedge t) \) (simplificaremos la escritura para ahorrar tiempo y espacio).

Luego podemos asociar: \( (s\wedge t)\vee\neg r \) y la primera proposición equivale a (por DeMorgan) \( \neg(\neg s\vee\neg t) \), así que tenemos \( \neg(\neg s\vee\neg t)\vee\neg r \) y otra vez usando la equivalencia del condicional, llegamos a \( \neg s\vee\neg t\to\neg r \), que es lo mismo a lo que llegaste vos pero sin utilizar Modus Tollens (no sé cómo aplicarlo si para usar Modus Tollens necesitamos de 2 proposiciones unidas por \( \wedge \) ???).

Además, no sé cómo de \( \neg s\vee\neg t\to\neg r \) y \( p\wedge t\wedge\neg s \) se obtiene \( \neg s \). Además creo que ya \( 3) \) no se puede utilizar porque hemos deducido la línea \( 6) \). ¿Se pueden reutilizar líneas?

Gracias y saludos

08 Julio, 2019, 08:41 pm
Respuesta #9

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Hola feriva!!! Cuánto tiempo!!

¡Buenos días, manooooh!, cuánto tiempo sin verte :)

Ni pensaba decir nada del problema (que donde hay patrón no manda marinero...)

He empezado a trabajar (auxiliar de profesor en Sala de Informática de una escuela secundaria) y a conectarme un poco más con la universidad y eso me ha hecho la vida imposible, casi todos los días termino exhausto y sin ganas de conectarme al foro. Pero ¡oye! he vuelto, y me alegra que todos los que seguía regularmente en el foro sigan participando (bueno, excepto Carlos pero él debe estar mucho más ocupado que todos nosotros).

Saludos