[MariaOrgaz]

Hola,
de nuevo vengo con un problema sobre derivadas débiles, para lo cual necesito ver primero que la función sea localmente integrable. Mi problema es el siguiente:

Debo hallar los valores de k para los que la siguiente función sea localmente integrable:
\( f(x)=|x|^ksen(y) \); \( x\neq{0} \)
\( f:\mathbb{R}^2\longrightarrow{\mathbb{R}} \), \( (x,y)\in{\mathbb{R}^2} \)

Para ello estoy realizando el siguiente cálculo:

\( \displaystyle\int_{-R}^{R}|f(x,y)|d(x,y)=\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\int_{-R}^{R}||x|^ksen(y)|dxdy\leq{}\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\int_{-R}^{R}x^ksen(y)dxdy=\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{sen(y)x^{k+1}}{k+1}|_{-R}^{R}dy\leq{}\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{2R^{k+1}}{k+1}dy = \displaystyle\frac{4R^{k+2}}{k+1} \)


De aquí saco que debe cumplirse que \( k\neq{1} \), pero el profesor afirma que el valor de k debe ser \( k>-1 \)
¿por qué no podría ser menor? ¿son correctos mis cálculos?

Gracias por la ayuda.

[Masacroso]

Pues fíjate que \( \int_0^1 |x|^k\, dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}\big|_0^1 \), que es finito siempre y cuando \( \lim_{x\to 0^+} x^{k+1}<\infty \), que ocurre siempre que \( k>-1 \). Entonces por el teorema de Fubini la función será localmente integrable si y solo si \( k>-1 \).

Me choca mucho que hagas estas preguntas si estás estudiando espacios de Sobolev o localmente integrables, como en la pregunta anterior que hicistes, que es un tema bastante más avanzado que lo que te expongo en mi párrafo anterior, que es algo bastante elemental dentro de la teoría de integración de Lebesgue.


EDICIÓN: bueno, me ha faltado dar un detalle en mi anterior argumentación: si una función es no-negativa (o no-positiva) en un intervalo abierto, entonces la integral de Lebesgue de la función en tal intervalo es igual a la integral impropia de Riemann, siempre que esta última esté bien definida, de ahí lo puesto anteriormente.