Autor Tema: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Agosto, 2018, 01:23 pm
Respuesta #20

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,666
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

feriva, ¡de tus errores también se aprende! :laugh:



Por eso no me han echado todavía del foro :D

Mira a ver si esto que se me ha ocurrido sería acorde con el problema:

Spoiler

Empiezo desde la última, P3, hacia arriba.

Supongamos que x son los naturales.

imagina que r(x) significa:

“r es un número tal que dividido entre 2 da un natural”

Entonces es verdad que existen algunos “x” tal que r(x) es falsa, los impares.

...

Subimos a la otra proposición.

\( q(x)\Rightarrow r(x)
  \) para todo x.

Si q(x) son los pares, la implicación es cierta para todo x, pues tomando “q(x)=2x” puedes dar cualquier valor a x.

...

Subimos a la primera proposición.

Si p(x) son los impares, es cierta la disyunción para todo x; luego existen valores de x tal que eso es verdad.

...

Miramos la conlcusión C2: p(x) ó r(x); es cierta, pues p(x) son los impares y r(x) los números divisibles entres 2, o sea los pares; y un número no puede ser par e impar a la vez.

C1 es entonces obviamente falsa, pues es falso que únicamente sea posible p(x).

¿Valdría o es una ferivada?

[cerrar]

Saludos.

14 Agosto, 2018, 06:20 pm
Respuesta #21

Buscón

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,708
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
La mejor manera de aprender es equivocándose. Suponiendo que el universo del discurso es todo lo razonable, tomando    \( p:\textrm{razonar sobre} \)    y    \( a:\textrm{razonamiento propuesto} \),    (valga la redundancia), aquí dejo    \( p(a) \),    para que por favor juzguen si se verifica    \( p(a) \):


\begin{align*}
&P_1:\quad\exists x.\big(p(x)\vee q(x)\big)\\
&P_2:\quad\forall x.\big(q(x)\rightarrow r(x)\big)\\
&P_3:\quad\exists x.\neg r(x)\\
\hline
&C_1:\quad\exists x.p(x)\\
&C_2:\quad\exists x.\big(p(x)\vee r(x)\big)
\end{align*}

Para    \( C_1 \):

   - Sean    \( a \)    y    \( b \)    dos elementos    \( x \)    del universo del discurso que verifican    \( P_1 \)    y    \( P_3 \)
     respectivamente.

   - Particularizando    \( P_2 \),     si se verifica    \( q(x)\rightarrow{p(x)} \)    para cualquier elemento     \( x \)    del universo del
     discurso, entonces es obvio que se verifica tambien para los elementos    \( a \)    y    \( b \)    del universo del discurso. 

   - De lo anterior, no es posible deducir    \( C_1 \)    para ningún elemento del universo del discurso distinto de    \( a \)     o
     \( b \)   así que solo tiene sentido tomar    \( C_1 \)    como    \( p(a)\vee p(b) \)     (con que exista un elemento es suficiente para
     validar el razonamiento).

     Con todo lo anterior es posible reescribir

\begin{align*}
&P_1:\quad p(a)\vee q(a)\\
&P_2:\quad q(a)\rightarrow r(a)\\
&P_3:\quad\neg r(b)\\
&P_4:\quad q(b)\rightarrow r(b)\\
\hline
&C_1:\quad p(a)\vee p(b)
\end{align*}

     Es posible argumentar, (ya lo hizo Carlos Ivorra), que para    \( a \)    y    \( b \)    el razonamiento no es correcto. De las
     premisas no se deduce, (ni siquiera con    \( a=b \)),    \( p(a)\vee p(b) \).   Esto es posible generalizarlo. Si no es correcto
     para dos elementos arbitrarios del universo del discurso, no lo es para ningún todo elemento    \( x \)    del universo
     del discurso. Esto es, el primer razonamiento no es valido.

Para    \( C_2 \)    el razonamiento es análogo. Tomando como conclusión    \( p(a)\vee r(a)\vee p(b)\vee r(b) \),    también es posible argumentar que no es deducible de las premisas, con lo que podría generalizarse a todo el universo del discurso haciendo inválido el razonamiento.

Saludos y perdón por la intromisión.

CORREGIDO.

14 Agosto, 2018, 10:58 pm
Respuesta #22

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,355
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

¿Valdría o es una ferivada?

¡Yo creo que valdría! Me gusta porque entiendo que usaste todas las premisas.



Entonces, para que me quede claro, la propuesta era elegir una de las cuatro posibles respuestas: la respuesta correcta es la 3) \( C_1  \) es inválida y \( C_2 \) válida, ¿correcto?

He leído todos sus comentarios y a través de deducciones se puede probar la validez o no de cada una de las conclusiones.

Saludos

14 Agosto, 2018, 11:25 pm
Respuesta #23

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,666
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

¿Valdría o es una ferivada?

¡Yo creo que valdría! Me gusta porque entiendo que usaste todas las premisas.



Entonces, para que me quede claro, la propuesta era elegir una de las cuatro posibles respuestas: la respuesta correcta es la 3) \( C_1  \) es inválida y \( C_2 \) válida, ¿correcto?



Me alegro de que te parezca bien.

Y lo otro, pues sí, parece que todos estamos de acuerdo.

Saludos.

15 Agosto, 2018, 12:32 pm
Respuesta #24

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,674
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Entonces, para que me quede claro, la propuesta era elegir una de las cuatro posibles respuestas: la respuesta correcta es la 3) \( C_1  \) es inválida y \( C_2 \) válida, ¿correcto?

Correcto.

He leído todos sus comentarios y a través de deducciones se puede probar la validez o no de cada una de las conclusiones.

Si te refieres a este ejemplo, sí. En general, no. El cálculo deductivo de primer orden no es decidible. No existe ningún algoritmo que nos permita decidir si una fórmula dada se deduce o no de unas premisas dadas. Ya les gustaría a los matemáticos saber si \( 0\neq 0 \) es una consecuencia o no de los axiomas de la teoría de conjuntos. Pero, si no lo es, no hay forma de probarlo.

15 Agosto, 2018, 02:13 pm
Respuesta #25

Buscón

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,708
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Lo que creo que invalida tu razonamiento es esto que te pongo en rojo:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \)[/tex].

Si no me equivoco esa y debería ser una o.

Saludos.

Si existe un    \( x \)    tal que    \( p(x)\vee q(x) \)    es posible perfectamente llamarle    \( x_0 \)    a ese     \( x \)    que existe.

Entonces será    \( p(x_0)\vee q(x_0) \)

¿No? Saludos.

15 Agosto, 2018, 02:26 pm
Respuesta #26

Buscón

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,708
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

También, me gustaría recibir ayuda en esto, por favor:

Según me dijeron, este ejercicio se resuelve considerando cada una de las funciones como proposiciones y usar particularización. ¿Es correcto hacerlo así?

Lo que ocurre es que tengo miedo de que algún usuario de este foro me rete por estar particularizando cosas que no pueden particularizarse :laugh:, así que ni intenté hacerlo por ese método, pero me gustaría saber si se puede hacer así y por qué (y si es el método más correcto y directo).

EDIT: el quote que hago es lo que hice en parte (particularizar), lo que no hice fue considerarlas como proposiciones (o sea unir a las premisas con conjunciones y a través de operaciones lógicas llegar o no a las conclusiones). Así que si me lo corrigen estarían resolviendo en parte esta otra duda.

Saludos y desde ya gracias

A mi también, no conozco otra manera más que usar particularización y generalización para probar el razonamiento. ¿Hay otras?

Saludos.

16 Agosto, 2018, 03:24 am
Respuesta #27

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,355
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

A mi también, no conozco otra manera más que usar particularización y generalización para probar el razonamiento. ¿Hay otras?

Si estás de acuerdo con esto:

Sabemos que si tenemos un conjunto de premisas \( \{p_1,p_2,\ldots,p_n\} \) y un conjunto de conclusiones \( \{q_1,q_2,\ldots,q_m\} \) y un conjunto universal \( \mathscr U \) de un razonamiento entonces estas notaciones son equivalentes:

\( \begin{matrix}
\begin{matrix}p_1\\p_2\\\vdots\\p_n\\\hline q_1\\q_2\\\vdots\\q_m\end{matrix}&&\Leftrightarrow&&\Bigl(\left(p_1\wedge p_2\wedge\cdots\wedge p_n\right)&\Rightarrow&\left(q_1\wedge q_2\wedge\cdots\wedge q_{m}\right)\Bigr).
\end{matrix} \)

se observa que el lado derecho es un condicional: aplicando las reglas de inferencia + leyes lógicas (una vez particularizado correctamente) se puede probar la validez o no del razonamiento (o su equivalente, implicación). ¿Me seguís?

Aquí transcribo un ejercicio que hizo mi profesor:



¿Es válido el siguiente razonamiento?:

\( \Big[(p\Rightarrow q)\;\wedge\;(q\Leftrightarrow\neg r)\Big]\quad\Rightarrow\quad\Big(p\;\Rightarrow\;\neg r\Big). \)

Su respuesta:

Es válido, pues

\( \begin{array}{llll}
1)&p\Rightarrow q&&\text{Premisa}\\
2)&q\Leftrightarrow\neg r&&\text{Premisa}\\
3)&q\Rightarrow\neg r&&\text{Equivalencia bicondicional 2)}\\
4)&\neg r\Rightarrow q&&\text{Equivalencia bicondicional 2)}\\
5)&p&&\text{Ley de exportación}\\
6)&q\Rightarrow\neg r&&\text{Silogismo hipotético 1) y 3)}\\
7)&\boxed{\neg r}&&\text{Modus Ponens 5) y 6)}\\\\&&\therefore&\text{El razonamiento es } \underline{\text{válido}}.
\end{array} \)

Hecho por mi profesor.

De todas maneras soy consciente de que no ha habido cuantificadores... pero creo que ese es un ejemplo de usar leyes lógicas + reglas de inferencia, Buscón.



Saludos y espero cualquier comentario

08 Marzo, 2021, 05:57 am
Respuesta #28

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,355
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Lamento decir esto, pero a día de hoy no me convencen las respuestas de martiniano y Carlos sobre la validez del razonamiento con \( C_2 \). Pero no es porque desconfíe de ellos, sino porque nunca he hecho ningún razonamiento así.

Entonces quería volver a consultar si el siguiente razonamiento:

\(
\begin{array}{l}
\exists x\,p(x)\lor q(x)\\
\forall x\,q(x)\to r(x)\\
\exists x\,\neg r(x)\\\hline
\exists x\,p(x)\lor r(x)
\end{array}
 \)

es válido y puede demostrarse formalmente utilizando las siguientes propiedades y sin usar hipótesis adicionales:

Reglas de inferencia permitidas
Modus Ponens, Modus Tollens, Adición, Simplificación, silogismo hipotético, y las siguientes llamadas dilemas constructivo y silogismo disyuntivo (en ese orden):

\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
r\to s\\
p\vee r\\\hline
\therefore q\vee s
\end{array}\qquad
\begin{array}{l}
p\vee q\\
\neg q\\\hline
\therefore p
\end{array}
 \)
[cerrar]

Yo no he podido. ¿Alguien?

Lo que se me ocurre ahora es usar reducción al absurdo, aunque nunca lo he hecho en estos tipos de razonamientos. He proseguido así:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,p(x)\lor q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,q(x)\to r(x)&\text{Premisa}\\
3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg\exists x\,p(x)\lor r(x)&\text{Suposición}\\
6)&\forall x\,\neg p(x)\land\neg r(x)&\text{Negación 5)}\\
7)&\neg p(a)\land\neg r(a)&\text{Particularización universal 6)}\\
8)&\neg r(a)&\text{Eliminación conjunción 7)}\\
9)&\neg q(a)&\text{Modus Tollens 4,8)}\\
10)&p(a)&\text{Silogismo disyuntivo 3,9)}\\
11)&\neg p(a)&\text{Eliminación conjunción 7)}\\
\end{array}
 \)

y aquí llegamos a una contradicción entre las líneas 10 y 11. Por lo tanto, lo que hemos supuesto en 5) es falso, y el razonamiento es válido. ¿Cómo sabemos que la contradicción provino de haber supuesto la línea 5) pero no provino de alguna de las otras premisas? Porque yo podría haber dicho "Por lo tanto, lo que hemos supuesto en 1) es falso, y el razonamiento es válido". ¿Por qué la contradicción sólo proviene de 5)?



¿Lo ven bien? No me convence mucho, porque necesito probarlo solamente usando las leyes lógicas reglas de inferencia mostradas en la cita de más arriba y no se me ocurre cómo.

Gracias y saludos

08 Marzo, 2021, 12:14 pm
Respuesta #29

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,374
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Este es el problema de siempre: te diré que no pero seguro que me vas a cambiar las reglas.  :D
Ya te dije que eso no es un cálculo completo, pues no puedes deducir tautologías (sin premisas) ya que todas las reglas que usas tienen premisas.

Usando exclusivamente esas reglas que pones, no se puede deducir porque no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores. Estás obligado a tratar la fórmula \[ \exists x(p(x) \vee q(x)) \] como un bloque. No hay ninguna regla de las que pones que te permita operar con cuantificadores, así que a efectos prácticos es como si fuera una variable proposicional.

Si permites usar eliminación/introducción de cuantificadores y la tautología \[ p\to p \], puedes proceder como sigue:

\[
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,(p(x)\lor q(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,(q(x)\to r(x))&\text{Premisa}\\ 3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&p(a)\to p(a)&\text{Tautología}\\
6)&p(a)\vee r(a)&\text{Dilema constructivo 3,4,5)}\\
7)&\exists x \, (p(x) \vee r(x))&\text{Introducción existencial 6)}\\
\end{array}
 \]

La demostración que haces por reducción al absurdo está bien, aunque te falta una línea final con la conclusión (descartando la hipótesis en \[ 5 \]).
Sobre de donde viene la contradicción, si introduces una hipótesis (aquí \[ 5 \]) tienes que descartarla para que sea una demostración válida. Por tanto estás obligado a descartar \[ 5 \].

Pero igualmente, da lo mismo que las premisas sean contradictorias o no. Si son contradictorias puedes demostrar lo que quieras a partir de ellas, así que puedes dar una prueba igualmente de la conclusión. Lo importante es que la demostración sea correcta, y no lo es hasta que no has descartado todas las hipótesis extra que has introducido.

En este caso concreto, las premisas no son contradictorias, pues puedes encontrar fácilmente un modelo en el que son verdaderas.

Como comentario general, te digo lo mismo que te dije en otras ocasiones. Lo que hacéis es un tanto chapucero. Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no. Esto hace que cosas que deberían ser una chorrada se vuelvan difíciles. En particular, tampoco me queda aquí muy claro si está previsto lo de introducir hipótesis y descartarlas después (como en deducción natural). Si no fuera así y únicamente tienes que razonar en base a reglas de deducción (es decir, una demostración es una sucesión de fórmulas donde cada una es o una premisa o se deduce de las anteriores a partir de las reglas permitidas), tu demostración por reducción al absurdo está mal. Pero en ese caso es imposible hacer demostraciones por reducción al absurdo a no ser que las premisas sean contradictorias de entrada.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)