Autor Tema: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no

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13 Agosto, 2018, 09:40 am
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manooooh

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Hola!

Dadas

\( \begin{matrix}
(P_1)&\exists x:&p(x)\vee q(x)\\\\
(P_2)&\forall x:&q(x)\Rightarrow r(x)\\\\
(P_3)&\exists x:&\neg r(x)\\\\\hline\\
(C_1)&\exists x:&p(x)\\\\
(C_2)&\exists x:&p(x)\vee r(x):
\end{matrix} \)

1) \( C_1 \) y \( C_2 \) son válidas;

2) \( C_1 \) es válida y \( C_2 \) inválida;

3) \( C_1 \) es inválida y \( C_2 \) válida;

4) \( C_1 \) y \( C_2 \) son inválidas.




Según me dijeron, este ejercicio se resuelve considerando cada una de las funciones como proposiciones y usar particularización. ¿Es correcto hacerlo así?

Lo que ocurre es que tengo miedo de que algún usuario de este foro me rete por estar particularizando cosas que no pueden particularizarse :laugh:, así que ni intenté hacerlo por ese método, pero me gustaría saber si se puede hacer así y por qué (y si es el método más correcto y directo).



Lo que yo pensé fue:

Supongamos que las premisas son verdaderas. Es claro que entre las premisas no hay ninguna contradicción, salvo quizás la función \( r(x) \) (*).

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \), y de acá se concluye \( (C_1) \).

Luego, como existe un \( x \) que hace \( p(x) \) verdadera, al agregar cualquier otra función proposicional con una disyunción (por ejemplo un \( x \) que cumpla \( r(x) \)) se concluye que \( C_2 \) también es válida.

Por tanto ambas conclusiones son válidas, o sea la opción correcta es la 1).



(*): me di cuenta de esto que quizás haga inválido todo mi razonamiento anterior. Así que otra opción que se me ocurre es que como las premisas son contradictorias, se puede concluir que el razonamiento es válido, en particular ambas conclusiones lo son. Por tanto la respuesta correcta es la 1).



Al menos uno de los dos razonamientos tiene que estar mal, ¿cuál es? ¿Son los dos? ¿Cómo se resuelve?

Gracias!
Saludos

13 Agosto, 2018, 02:37 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Lo que creo que invalida tu razonamiento es esto que te pongo en rojo:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \)[/tex].

Si no me equivoco esa y debería ser una o.

Saludos.

13 Agosto, 2018, 02:45 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola, perdón, se me había olvidado para resolverlo...

\( C_1 \) me sale falsa. Búscate un contraejemplo sencillo.

Para demostrar \( C_2 \) considera dos casos: \( \exists{x}:p(x) \) y no existe x tal que \( p(x) \)

Si quedas atascado en algo avisa. Saludos.

13 Agosto, 2018, 03:47 pm
Respuesta #3

feriva

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Hola, manooooh

A ojo sobre la pantalla me sale lo que a martiniano (antes de haber visto su respuesta).

Por si te sirve para refrendar algo (tratándose de mí seguro que ahora dudarás :D )

Saludos.

13 Agosto, 2018, 05:14 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

feriva, ¡de tus errores también se aprende! :laugh:

martiniano:

Hola.

Lo que creo que invalida tu razonamiento es esto que te pongo en rojo:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \)[/tex].

Si no me equivoco esa y debería ser una o.

Gracias por la observación. Tenía en mente que podía llegar a confusión, pero lo que utilicé fue el recurso de ya haber dicho que era una disyunción:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \), y de acá se concluye \( (C_1) \).

Al hacer una enumeración de funciones proposicionales unidas por \( \vee \) pensé que se entendería que la operación es la disyunción, no otra. Así que lo que quise decir fue \( \exists x:p(x)\vee\exists x:q(x) \).

¿Sigue invalidando mi razonamiento?



Por otra parte, no puedo buscar un contraejemplo :(.

Imponiendo valores de verdad, de la premisa tres \( (P_3) \) si \( \neg r(x) \) es verdadero, \( r(x) \) es falso.

Vamos a la \( (P_2) \): como tenemos \( \forall x:q(x)\Rightarrow\text F \) se cumple para uno en particular, es decir \( q(a)\Rightarrow\text F \). Como asumimos que las premisas deben ser verdaderas para que esa implicación lo sea debe ser \( V[q(a)]=\text F \).

Y por último vamos a la \( (P_1) \): si existe un \( x \) también existe un \( a \). Luego \( p(a)\vee\text F \). Como asumimos que son verdaderas, \( V[p(a)\vee\text F]=\text V\;\Leftrightarrow\;V[p(a)]=\text V \).

No hemos encontrado contradicciones. De hecho, creo que es el único camino usando valores de verdad, puesto que ya desde la tercera premisa "implica" a las otras.

Por tanto, con los valores de verdad hallados, vale decir \( V[p(x)]=\text V \), \( V[q(x)]=V[r(x)]=\text F \), y las conclusiones se satisfacen, puesto que la primera es verdadera y la segunda es \( \text V\vee\text F\equiv\text V \).

¿En qué me estoy equivocando? De seguro en no ver que entre las premisas 2 y 3 se asegura que "para todo \( x \) hay un \( r(x) \)", pero la 3 dice "existe un \( x \) tal que \( \neg r(x) \)", pero vean, ¡no llegué a ninguna contradicción! ???.

También, me gustaría recibir ayuda en esto, por favor:

Según me dijeron, este ejercicio se resuelve considerando cada una de las funciones como proposiciones y usar particularización. ¿Es correcto hacerlo así?

Lo que ocurre es que tengo miedo de que algún usuario de este foro me rete por estar particularizando cosas que no pueden particularizarse :laugh:, así que ni intenté hacerlo por ese método, pero me gustaría saber si se puede hacer así y por qué (y si es el método más correcto y directo).

EDIT: el quote que hago es lo que hice en parte (particularizar), lo que no hice fue considerarlas como proposiciones (o sea unir a las premisas con conjunciones y a través de operaciones lógicas llegar o no a las conclusiones). Así que si me lo corrigen estarían resolviendo en parte esta otra duda.

Saludos y desde ya gracias

13 Agosto, 2018, 07:40 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola manooooh.

Hola.

Lo que creo que invalida tu razonamiento es esto que te pongo en rojo:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \)[/tex].

Si no me equivoco esa y debería ser una o.

Gracias por la observación. Tenía en mente que podía llegar a confusión, pero lo que utilicé fue el recurso de ya haber dicho que era una disyunción:

Vale, vale, ahora te entiendo, yo sí que me he confundido entonces  :D.

Imponiendo valores de verdad, de la premisa tres \( (P_3) \) si \( \neg r(x) \) es verdadero, \( r(x) \) es falso.

Lo que dices es cierto, pero no creo que haga falta recurrir a la premisa 3 para deducirlo... Y la verdad es que lo de la siguiente cita no lo entiendo:

Vamos a la \( (P_2) \): como tenemos \( \forall x:q(x)\Rightarrow\text F \) se cumple para uno en particular, es decir \( q(a)\Rightarrow\text F \). Como asumimos que las premisas deben ser verdaderas para que esa implicación lo sea debe ser \( V[q(a)]=\text F \).

Y lo siguiente tampoco:

Y por último vamos a la \( (P_1) \): si existe un \( x \) también existe un \( a \). Luego \( p(a)\vee\text F \). Como asumimos que son verdaderas, \( V[p(a)\vee\text F]=\text V\;\Leftrightarrow\;V[p(a)]=\text V \).

Mira a ver si con este contraejemplo entiendes que   \( C_1 \)  no es válida:

Spoiler
\( p(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural menor que \( -1 \)

\( q(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 9 \)

\( r(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 3 \)
[cerrar]

Y ahora te cuento lo que haría yo para demostrar la segunda:

Spoiler
Diferenciemos dos casos, el primero:
\( \exists{}x:p(x)\;\Rightarrow{}\;\exists{x}:p(x)\vee r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida

CORREGIDO

El segundo:
No existe \( x \) tal que \( p(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}q(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}r(x)\;\exists{x:}p(x)\vee\,r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida
[cerrar]

No sé si es la respuesta que esperabas, pero es lo que yo veo. Saludos.

13 Agosto, 2018, 07:50 pm
Respuesta #6

manooooh

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Hola

Perdón por la notación. Con \( V[p(x)] \) me refiero al valor de verdad de la función proposicional (verdadero V, falso F). Lo que he hecho ha sido deducir qué valores de verdad tienen que tener cada una de las proposiciones y deducir si las conclusiones son válidas o no.

(...)
No sé si es la respuesta que esperabas, pero es lo que yo veo.

Veo que la primer premisa es falsa, pero ¿no es que debemos suponerla verdadera? ???.

Saludos

13 Agosto, 2018, 08:03 pm
Respuesta #7

martiniano

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Hola.

A ver, yo entiendo que nos están pidiendo que digamos si se pueden demostrar \( C_1 \) y \( C_2 \) a partir de \( P_1, P_2 \) y \( P_3 \). Mi respuesta es que \( C_1 \) no se puede demostrar, ya que no siempre es válida, como muestra el contraejemplo que he propuesto. \( C_2 \) sí me parece válida por las razones que he expuesto también. ¿Tú no interpretas así el enunciado?

Saludos.

13 Agosto, 2018, 08:12 pm
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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No tengo mucho tiempo últimamente y no me he leído con detalle los mensajes anteriores. Me limito a presentar una solución del problema.

Deducción de \( C_2 \):

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x(p(x)\lor q(x))&\mbox{Premisa}\\
2) &\forall x(q(x)\rightarrow r(x))&\mbox{Premisa}\\
3)& p(x)\lor q(x)&\mbox{Eliminación del particularizador 1)}\\
4)& \lnot p(x)&\mbox{Hipótesis}\\
5)& q(x)&\mbox{Modus tolendo ponens 3,4)}\\
6)&q(x)\rightarrow r(x)&\mbox{Eliminación del generalizador 2)}\\
7) &r(x)&\mbox{Modus ponens 5, 6)}\\
8)&\lnot p(x)\rightarrow r(x)&\mbox{Conclusión de 4, 7)}\\
9)& p(x)\lor r(x)&\mbox{Equivalencia disyunción-implicación 8)}\\
10)&\exists x(p(x)\lor r(x))&\mbox{Introducción del particularizador 9)}
\end{array}
 \)

Demostración de que \( C_1 \) no es deducible de las premisas:

Tomamos un universo formado por dos objetos \( U=\{a,b\} \), de modo que \( a \) cumple \( q \) y \( r \), pero no \( p \) y \( b \) no cumple ni \( p \), ni \( q \) ni \( r \).

Entonces, la primera premisa se cumple con \( x=a \), la segunda se cumple porque  \( q(a)\rightarrow r(a) \) (la hipótesis y la tesis son verdaderas) y también \( q(b)\rightarrow r(b) \) (la hipótesis y la tesis son falsas), la tercera premisa se cumple con \( x = b \).

Por lo tanto, las tres premisas son vedaderas, pero \( C_1 \) es falsa, ya que ni \( a \) ni \( b \) cumplen \( p \). Por lo tanto,  \( C_1 \)  no es consecuencia de las premisas.

14 Agosto, 2018, 02:58 am
Respuesta #9

manooooh

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Hola

Muchas gracias por sus comentarios. Sepan entender que hoy estoy un poco duro para aprender de sus respuestas.

martiniano:

Sí, te entiendo mejor ahora.

A ver, yo entiendo que nos están pidiendo que digamos si se pueden demostrar \( C_1 \) y \( C_2 \) a partir de \( P_1, P_2 \) y \( P_3 \). Mi respuesta es que \( C_1 \) no se puede demostrar, ya que no siempre es válida, como muestra el contraejemplo que he propuesto. \( C_2 \) sí me parece válida por las razones que he expuesto también. ¿Tú no interpretas así el enunciado?

Lo interpreto como vos mencionás.

Mira a ver si con este contraejemplo entiendes que \( {\color{red}\bf P_1} \) no es válida:

Spoiler
\( p(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural menor que \( -1 \)

\( q(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 9 \)

\( r(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 3 \)
[cerrar]

Y ahora te cuento lo que haría yo para demostrar la segunda:

Spoiler
Diferenciemos dos casos, el primero:
\( \exists{}x:p(x)\;\Rightarrow{}\;\exists{x}:p(x)\vee r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida

CORREGIDO

El segundo:
No existe \( x \) tal que \( p(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}q(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}r(x)\;\exists{x:}p(x)\vee\,r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida
[cerrar]

Lo que está en rojo no lo entiendo. ¿No debería decir \( C_1 \)?

Ahhhh, ahora entiendo lo otro. ¡Yo tomé a la \( P_1 \) como una proposición sola (la \( p(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural menor que \( -1 \))! Y la verdad es que: 1) \( (P_1) \) no es una proposición sino una premisa, y 2) \( p(x)\vee q(x) \) es verdadera, no como dije yo antes. Ha sido mi error.



Carlos:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x(p(x)\lor q(x))&\mbox{Premisa}\\
2) &\forall x(q(x)\rightarrow r(x))&\mbox{Premisa}\\
3)& p(x)\lor q(x)&\mbox{Eliminación del particularizador 1)}\\
4)& \lnot p(x)&\mbox{Hipótesis}\\
5)& q(x)&\mbox{Modus tolendo ponens 3,4)}\\
6)&q(x)\rightarrow r(x)&\mbox{Eliminación del generalizador 2)}\\
7) &r(x)&\mbox{Modus ponens 5, 6)}\\
8)&\lnot p(x)\rightarrow r(x)&\mbox{Conclusión de 4, 7)}\\
9)& p(x)\lor r(x)&\mbox{Equivalencia disyunción-implicación 8)}\\
10)&\exists x(p(x)\lor r(x))&\mbox{Introducción del particularizador 9)}
\end{array}
 \)

Dos preguntas:

¿Por qué no agregás la \( (P_3) \)?

Y, no entiendo cómo llegás al paso \( 4) \), porque se parece mucho a decir "\( 4)\quad\neg{\color{red}r}(x)\quad{\color{red}\text{Premisa}} \)" pero no es a lo que apuntabas.

Saludos