Autor Tema: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no

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20 Marzo, 2021, 11:52 pm
Respuesta #40

manooooh

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Hola

Sobre lo del debate "picado", es una expresión que significa que el debate está candente, pero que no quise darlo a entender de una mala manera, sino que de sus aportes puedo extraer mucha información útil.

geómetracat: entiendo todo lo que dices, incluso el ejejmplo de lo los lenguajes de programación. Pero ten en cuenta que todo el cálculo que podemos usar es el que expuse anteriormente, el de leyes lógicas y reglas de inferencia. Me interesa saber si ese conjunto de reglas es completo o no en el sentido que le doy a los "razonamientos matemáticos". Por supuesto que no todo no está debidamente justificado, ya que es un curso de iniciación y para nada pretende ser un cálculo complejo, sino que es sólo curiosidad mía.

No veo la relación entre la completitud de tu cálculo deductivo y el hecho de que tiendas a ocultar sus reglas de inferencia. ¿No sería más sencillo que los indicaras explícitamente? ¿Dominación? ¿Simplificación? ¿Adición? Podría apostar por un posible significado, pero, ¿no sería más fácil que formularas las reglas como reglas y no como adivinanzas?

Está bien (no lo copié por pereza), si los nombres no te son sugerentes aquí va el listado completo de leyes lógicas y reglas de inferencia conocidas que se usan de base para demostrar cosas más complejas, y en las que estoy particularmente interesado saber si con ellas se forma un cálculo deductivo completo y elegante:

\(
\begin{array}{c|l|c}
&&\text{Leyes lógicas}\\\hline
1&\text{Involución}&\neg(\neg p)=p\\\hline
2&\text{Conmutatividad}&p\land q\equiv q\land p\qquad p\lor q\equiv q\lor p \\\hline
3&\text{Asociatividad}&p\land(q\land r)\equiv(p\land q)\land r\qquad p\lor(q\lor r)\equiv(p\lor q)\lor r \\\hline
4&\text{Distributividad}&\begin{array}{c}p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)\\p\lor(q\land r)\equiv(p\lor q)\land(p\lor r)\end{array} \\\hline
5&\text{Idempotencia}&p\land p\equiv p\qquad p\lor p\equiv p \\\hline
6&\text{DeMorgan}&\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\qquad\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q \\\hline
7&\text{Absorción}&p\land(p\lor q)\equiv p\qquad p\lor(p\land q)\equiv p \\\hline
8&\text{Identidad}&p\land V\equiv p\qquad p\lor F\equiv p \\\hline
9&\text{Dominación}&p\lor V\equiv V\qquad p\land F\equiv F \\\hline
10&\text{Bicondicional}&p\iff q\equiv p\to q\land q\to p \\\hline
11&\text{Condicional}&p\to q\equiv\neg p\lor q \\\hline
12&\text{Tercero excluido}&p\lor\neg p\equiv V \\\hline
13&\text{Simplificación}&p\land q\to p\equiv V \\\hline
14&\text{Adición}&p\to p\lor q\equiv V \\\\
&&\text{Principales reglas de inferencia}\\\hline
1&\text{Modus Ponens}&A\to B,A\therefore B \\\hline
2&\text{Modus Tollens}&A\to B,\neg B\therefore\neg A \\\hline
3&\text{Silogismo hipotético}&A\to B,B\to C\therefore A\to C \\\hline
4&\text{Silogismo disyuntivo}&A\lor B,\neg A\therefore B \\\hline
5&\text{Ley de Combinación}&A,B\therefore A\land B \\\hline
6&\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
7&\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
8&\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
9&\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

Pues exactamente lo que te ha señalado geómetracat.

En la particularización existencial hay que pedir que \[ a \] sea una variable nueva (que no haya aparecido ya en la demostración). En la generalización universal, ¿cómo defines \[ a \] genérico?

Se aclara lo siguiente:

- Las particularizaciones hay que usarlas siempre antes de utilizar otras reglas de inferencia (Modus Ponens, Tollens, silogismos, etc.) ya que no se pueden usar estas otras si hay cuantificadores.

- Si tenemos proposiciones existenciales, al particularizar en un elemento \( a \), éste no es genérico. En cambio si particularizamos una proposición universal (con \( \forall \)), el elemento es genérico.

Y por supuesto se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera.

Saludos

EDIT. Agregadas reglas de introducción y eliminación de cuantificadores (son nuevas las reglas de inferencia a partir de la 6). Gracias a geómetracat

21 Marzo, 2021, 07:42 pm
Respuesta #41

geómetracat

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Sobre lo del debate "picado", es una expresión que significa que el debate está candente, pero que no quise darlo a entender de una mala manera, sino que de sus aportes puedo extraer mucha información útil.

geómetracat: entiendo todo lo que dices, incluso el ejejmplo de lo los lenguajes de programación. Pero ten en cuenta que todo el cálculo que podemos usar es el que expuse anteriormente, el de leyes lógicas y reglas de inferencia. Me interesa saber si ese conjunto de reglas es completo o no en el sentido que le doy a los "razonamientos matemáticos". Por supuesto que no todo no está debidamente justificado, ya que es un curso de iniciación y para nada pretende ser un cálculo complejo, sino que es sólo curiosidad mía.
De acuerdo.

Citar
Está bien (no lo copié por pereza), si los nombres no te son sugerentes aquí va el listado completo de leyes lógicas y reglas de inferencia conocidas que se usan de base para demostrar cosas más complejas, y en las que estoy particularmente interesado saber si con ellas se forma un cálculo deductivo completo y elegante:

\(
\begin{array}{c|l|c}
&&\text{Leyes lógicas}\\\hline
1&\text{Involución}&\neg(\neg p)=p\\\hline
2&\text{Conmutatividad}&p\land q\equiv q\land p\qquad p\lor q\equiv q\lor p \\\hline
3&\text{Asociatividad}&p\land(q\land r)\equiv(p\land q)\land r\qquad p\lor(q\lor r)\equiv(p\lor q)\lor r \\\hline
4&\text{Distributividad}&\begin{array}{c}p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)\\p\lor(q\land r)\equiv(p\lor q)\land(p\lor r)\end{array} \\\hline
5&\text{Idempotencia}&p\land p\equiv p\qquad p\lor p\equiv p \\\hline
6&\text{DeMorgan}&\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\qquad\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q \\\hline
7&\text{Absorción}&p\land(p\lor q)\equiv p\qquad p\lor(p\land q)\equiv p \\\hline
8&\text{Identidad}&p\land V\equiv p\qquad p\lor F\equiv p \\\hline
9&\text{Dominación}&p\lor V\equiv V\qquad p\land F\equiv F \\\hline
10&\text{Bicondicional}&p\iff q\equiv p\to q\land q\to p \\\hline
11&\text{Condicional}&p\to q\equiv\neg p\lor q \\\hline
12&\text{Tercero excluido}&p\lor\neg p\equiv V \\\hline
13&\text{Simplificación}&p\land q\to p\equiv V \\\hline
14&\text{Adición}&p\to p\lor q\equiv V \\\\
&&\text{Principales reglas de inferencia}\\\hline
1&\text{Modus Ponens}&A\to B,A\therefore B \\\hline
2&\text{Modus Tollens}&A\to B,\neg B\therefore\neg A \\\hline
3&\text{Silogismo hipotético}&A\to B,B\to C\therefore A\to C \\\hline
4&\text{Silogismo disyuntivo}&A\lor B,\neg A\therefore B \\\hline
5&\text{Ley de Combinación}&A,B\therefore A\land B \\\hline
\end{array}
 \)
Pero ahí te faltan las reglas de los cuantificadores, si quieres hacer lógica de primer orden.
Igualmente, me parece que sigue habiendo confusiones entre sintaxis y semántica. Por ejemplo, considera la ley lógica \[ p\wedge q \equiv q \wedge p \]. ¿Esto se debe interpretar como una regla de inferencia, de forma que si en una línea tengo \[ p \wedge q \], puedo deducir \[ q \wedge p \] y viceversa? En ese caso estamos en las mismas de antes, el cálculo no puede ser completo si no hay axiomas. Y si son axiomas, no sé que significa el símbolo \[ \equiv \] en una fórmula (igualmente no creo que el cálculo sea completo). Por otro lado el \[ V \] y \[ F \] que aparecen ahí, parceen el "verdadero" y "falso" semántico. Si fueran signos que forman parte del lenguaje formal, entonces faltan reglas para ellos.

Citar
Se aclara lo siguiente:

- Las particularizaciones hay que usarlas siempre antes de utilizar otras reglas de inferencia (Modus Ponens, Tollens, silogismos, etc.) ya que no se pueden usar estas otras si hay cuantificadores.
Esto me parece confuso, o directamente falso. Es decir, para poder aplicar una regla se tiene que adaptar a la forma que tenga la regla. Pero si tienes por ejemplo \[ (\forall x \phi(x)) \to \psi \] y \[ \forall x \phi(x) \], puedes aplicar modus ponens para obtener \[ \psi \], a pesar de que haya cuantificadores.

Citar
- Si tenemos proposiciones existenciales, al particularizar en un elemento \( a \), éste no es genérico. En cambio si particularizamos una proposición universal (con \( \forall \)), el elemento es genérico.
Vale, esto es una solución posible. Pero entonces tienes que ir anotando qué variables son genéricas y cuáles no.

Citar
Y por supuesto se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera.
Pero de nuevo esto es una precisión semántica (un tanto vaga, pues tendrías que aclarar que significa que "un elemento represente a cualquier elemento del conjunto"), no sintáctica. Si yo veo una fórmula concreta \[ \phi(x) \], ¿cómo sé que \[ x \] es genérico o no? Hay que seguirle la pista a lo largo de la demostración, y lo que marca que una variable sea genérica o no en una demostración formal es si ha aparecido usando una particularización existencial (en ese caso no sería genérica).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Marzo, 2021, 08:29 pm
Respuesta #42

manooooh

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Hola

Pero ahí te faltan las reglas de los cuantificadores, si quieres hacer lógica de primer orden.

Tienes razón, gracias. Ya está editado con las reglas faltantes.

Igualmente, me parece que sigue habiendo confusiones entre sintaxis y semántica. Por ejemplo, considera la ley lógica \[ p\wedge q \equiv q \wedge p \]. ¿Esto se debe interpretar como una regla de inferencia, de forma que si en una línea tengo \[ p \wedge q \], puedo deducir \[ q \wedge p \] y viceversa? En ese caso estamos en las mismas de antes, el cálculo no puede ser completo si no hay axiomas. Y si son axiomas, no sé que significa el símbolo \[ \equiv \] en una fórmula (igualmente no creo que el cálculo sea completo). Por otro lado el \[ V \] y \[ F \] que aparecen ahí, parceen el "verdadero" y "falso" semántico. Si fueran signos que forman parte del lenguaje formal, entonces faltan reglas para ellos.

Vamos por partes, porque creo entender la crítica.

El símbolo \( \equiv \) expresa, como su comando indica, "equivalente". Es análogo haber escrito \( \iff \). Así que ésto: \( p\land q\equiv q\land p \) es lo mismo que escribir \( p\land q\iff q\land p \).

Según entiendo yo, esta proposición se puede probar de dos formas distintas, una se basa en otra:

1º Forma (Tratándola como ley lógica): Mediante tablas de verdad. Se hace la tabla de verdad de \( p\land q \), se hace la de \( q\land p \) y se concluye que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad, por tanto son equivalentes.

2º Forma (Tratándola como "razonamiento"): Mediante el uso del método demostrativo de los razonamientos válidos.

Explicación del método demostrativo
Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.
[cerrar]

Esto sería pensado así. Sabemos que \( p\land q\equiv q\land p \) es equivalente a \( p\land q\to q\land p \) (1)   y   \( q\land p\to p\land q \) (2), así que tiene la estructura de razonamiento (con sus premisas y conclusión) NO categórico (es decir no intervienen cuantificadores) que podemos expresar así:

(1) \( \begin{array}{l}p\land q\\\hline\therefore q\land p\end{array} \)      (2) \( \begin{array}{l}q\land p\\\hline\therefore p\land q\end{array} \)

Demostraremos que los razonamientos (1) y (2) son válidos, empleando el método demostrativo:

Para (1):

\( \begin{array}{lll}1)&p\land q&\text{Premisa}\\2)&q\land p&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Para (2):

\( \begin{array}{lll}1)&q\land p&\text{Premisa}\\2)&p\land q&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Por tanto como hemos llegado a las conclusiones en (1) y (2), se concluye que son razonamientos válidos y por tanto \( p\land q\equiv q\land p \).

¿Algo para comentar?

Esto me parece confuso, o directamente falso. Es decir, para poder aplicar una regla se tiene que adaptar a la forma que tenga la regla. Pero si tienes por ejemplo \[ (\forall x \phi(x)) \to \psi \] y \[ \forall x \phi(x) \], puedes aplicar modus ponens para obtener \[ \psi \], a pesar de que haya cuantificadores.

Creo que tienes razón. Veré si puedo comentarlo a ver si debe corregirse. Gracias por poner un ejemplo sencillo :).

Vale, esto es una solución posible. Pero entonces tienes que ir anotando qué variables son genéricas y cuáles no.

Sí, ¿y cuál es el problema? Digo, computacionalmente se puede ir almacenando variables genéricas y variables particulares, quizás sea un coñazo pero al fin y al cabo sigue siendo posible. Y ya te digo, en los ejercicios de la universidad no son razonamientos con 142 premisas, a lo sumo serán 3 o 4, bien cortitos.

Pero de nuevo esto es una precisión semántica (un tanto vaga, pues tendrías que aclarar que significa que "un elemento represente a cualquier elemento del conjunto"), no sintáctica. Si yo veo una fórmula concreta \[ \phi(x) \], ¿cómo sé que \[ x \] es genérico o no? Hay que seguirle la pista a lo largo de la demostración, y lo que marca que una variable sea genérica o no en una demostración formal es si ha aparecido usando una particularización existencial (en ese caso no sería genérica).

Es que \( \phi(x) \) no es una proposición, sino es un predicado. Y por supuesto que hay que entender la demostración para saber si esa \( x \) está siendo cuantificada universal o particularmente, pero no tiene nada que ver con dar una definición como hice. Son dos cosas distintas según mi punto de vista.

Gracias por su paciencia.
Saludos

21 Marzo, 2021, 09:54 pm
Respuesta #43

geómetracat

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Vamos por partes, porque creo entender la crítica.

El símbolo \( \equiv \) expresa, como su comando indica, "equivalente". Es análogo haber escrito \( \iff \). Así que ésto: \( p\land q\equiv q\land p \) es lo mismo que escribir \( p\land q\iff q\land p \).
Pero entonces tendrás que poner algunos axiomas o reglas que te diga cómo trabajar con \[ \iff \]. Porque aquí dices que es como \[ \iff \], que es un símbolo del lenguaje formal, pero luego lo usas como si fuera una regla de inferencia: "de \[ p\wedge q \] puedo deducir \[ q\wedge p \]" y viceversa.

No sé si acabas de ver la diferencia. Si yo estoy haciendo una demostración formal, yo no sé lo que significa \[ \iff \]. Solamente sé como manipular las fórmulas siguiendo a las reglas de inferencia y los axiomas. Entonces no puedo hacer nada con él que no provenga de las reglas que estoy usando.

Yo creo que originalmente \[ \phi\equiv \psi \] en esta lista está pensado como equivalencia lógica, en su versión semántica además. Es decir, \[ \equiv \] es un símbolo metamatemático (no forma parte del lenguaje formal) que quiere decir "\[ \phi \] es verdadero si y solo si \[ \psi \] es verdadero".
Aquí, para adaptarlo a un cálculo deductivo, lo puedes tomar como la versión sintáctica: "de \[ \phi \] se deduce \[ \psi \], y de \[ \psi \] se deduce \[ \phi \]". Así cada ley lógica sería como dos reglas de inferencia (una de izquierda a derecha y otra de derecha a izquierda).

Citar
Según entiendo yo, esta proposición se puede probar de dos formas distintas, una se basa en otra:

1º Forma (Tratándola como ley lógica): Mediante tablas de verdad. Se hace la tabla de verdad de \( p\land q \), se hace la de \( q\land p \) y se concluye que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad, por tanto son equivalentes.
Ese es el razonamiento semántico, nada que objetat ahí.

Citar
2º Forma (Tratándola como "razonamiento"): Mediante el uso del método demostrativo de los razonamientos válidos.

Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.
Bien, eso es lo que entiendo por una demostración formal (en un cálculo tipo Hilbert) salvo por la b). Si no restringes las equivalencias lógicas que puedes usar no tienes un cálculo deductivo (al menos como se entiende habitualmente). Pero si las reduces a las de las leyes que pusiste en la lista puede valer.

Citar
Esto sería pensado así. Sabemos que \( p\land q\equiv q\land p \) es equivalente a \( p\land q\to q\land p \) (1)   y   \( q\land p\to p\land q \) (2), así que tiene la estructura de razonamiento (con sus premisas y conclusión) NO categórico (es decir no intervienen cuantificadores) que podemos expresar así:

(1) \( \begin{array}{l}p\land q\\\hline\therefore q\land p\end{array} \)      (2) \( \begin{array}{l}q\land p\\\hline\therefore p\land q\end{array} \)

Demostraremos que los razonamientos (1) y (2) son válidos, empleando el método demostrativo:

Para (1):

\( \begin{array}{lll}1)&p\land q&\text{Premisa}\\2)&q\land p&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Para (2):

\( \begin{array}{lll}1)&q\land p&\text{Premisa}\\2)&p\land q&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Por tanto como hemos llegado a las conclusiones en (1) y (2), se concluye que son razonamientos válidos y por tanto \( p\land q\equiv q\land p \).

¿Algo para comentar?
Hombre, al margen de lo que te decía antes sobre \[ \iff \] versus \[ \equiv \], esta el tema de que aquí pretendes demostrar una ley lógica usando la misma ley lógica. Es circular. Al margen de esto, no hay que pretender demostrar las leyes lógicas de tu lista. Es decir, si las pones en la lista es porque se supone que las vas a usar como axiolas o reglas primitivas. Si la puedes demostrar a partir de las demás, la puedes eliminar de la lista sin problemas.

Citar
Sí, ¿y cuál es el problema? Digo, computacionalmente se puede ir almacenando variables genéricas y variables particulares, quizás sea un coñazo pero al fin y al cabo sigue siendo posible. Y ya te digo, en los ejercicios de la universidad no son razonamientos con 142 premisas, a lo sumo serán 3 o 4, bien cortitos.
Ninguno. Es una solución perfectamente plausible.

Es que \( \phi(x) \) no es una proposición, sino es un predicado. Y por supuesto que hay que entender la demostración para saber si esa \( x \) está siendo cuantificada universal o particularmente, pero no tiene nada que ver con dar una definición como hice. Son dos cosas distintas según mi punto de vista.
\[ \phi(x) \] pretendía ser una fórmula. En cualquier caso, la crítica es que a la definición "se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera" no le veo mucho sentido, no soy capaz de dar una interpretación precisa a esa frase.
Pero al margen de esto ya te digo que lo de ir anotando qué variables son genéricas y cuales no es una solución factible.

Insisto en que todos los problemas creo que viene de confusiones o mezclas entre sintaxis/semántica y sobre qué es (y qué no) una demostración formal o un cálculo deductivo. En una demostración formal manipulas cadenas de símbolos de acuerdo a unas reglas, pero esos símbolos no tienen significado ninguno. No puedes decir que \[ p \iff q \] es lo mismo que \[ p \to q \] y \[ q \to p \] sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo. Por eso es importante que un cálculo deductivo esté totalmente especificado, porque no puedes usar absolutamente nada fuera de él (como que sabes qué significa en realidad cada conector).

Sobre si este nivel de comprensión es suficiente para una asignatura que no es de una carrera de matemáticas, ahí ya no me meto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Marzo, 2021, 10:23 pm
Respuesta #44

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Hola

Pero entonces tendrás que poner algunos axiomas o reglas que te diga cómo trabajar con \[ \iff \]. (...)

Es la ley lógica nº 10, llamada "Bicondicional". Así que ya sé cómo trabajar con \( \iff \).

(...) Porque aquí dices que es como \[ \iff \], que es un símbolo del lenguaje formal, pero luego lo usas como si fuera una regla de inferencia: "de \[ p\wedge q \] puedo deducir \[ q\wedge p \]" y viceversa.

Bueno, justamente usé la equivalencia del bicondicional (regla nº10) para transformar el bicondicional en dos condicionales, y estos dos condicionales a su vez "representan" razonamientos que probamos son válidos. Es el mismo caso que el de probar que \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\equiv\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \). Es exactamente lo mismo salvo lo que se pretende probar, claro.

No sé si acabas de ver la diferencia. Si yo estoy haciendo una demostración formal, yo no sé lo que significa \[ \iff \]. Solamente sé como manipular las fórmulas siguiendo a las reglas de inferencia y los axiomas. Entonces no puedo hacer nada con él que no provenga de las reglas que estoy usando.

Más arriba dije cómo se usa \( \iff \).

Yo creo que originalmente \[ \phi\equiv \psi \] en esta lista está pensado como equivalencia lógica, en su versión semántica además. Es decir, \[ \equiv \] es un símbolo metamatemático (no forma parte del lenguaje formal) que quiere decir "\[ \phi \] es verdadero si y solo si \[ \psi \] es verdadero".
Aquí, para adaptarlo a un cálculo deductivo, lo puedes tomar como la versión sintáctica: "de \[ \phi \] se deduce \[ \psi \], y de \[ \psi \] se deduce \[ \phi \]". Así cada ley lógica sería como dos reglas de inferencia (una de izquierda a derecha y otra de derecha a izquierda).

No sabría decirte, pero puede que tengas razón en el fondo. ¿Este es el punto conflictivo de todo? Házmelo saber así trato de comunicarlo al profesor.

Bien, eso es lo que entiendo por una demostración formal (en un cálculo tipo Hilbert) salvo por la b). Si no restringes las equivalencias lógicas que puedes usar no tienes un cálculo deductivo (al menos como se entiende habitualmente). Pero si las reduces a las de las leyes que pusiste en la lista puede valer.

Es que según entiendo, la lista que di es sólo la base (axiomas) con los que partimos. Para demostrar algo nos basamos en esa lista (y en los exámenes será suficiente), pero además en todo aquello que ya hayamos demostrado con anterioridad. Imagínate si para demostrar que \( \lim_{x\to3}x^2=9 \) sólo nos basamos en los axiomas de los números reales y tal, ¡¡la demostración ocuparía miles de páginas!!

Hombre, al margen de lo que te decía antes sobre \[ \iff \] versus \[ \equiv \], esta el tema de que aquí pretendes demostrar una ley lógica usando la misma ley lógica. Es circular. Al margen de esto, no hay que pretender demostrar las leyes lógicas de tu lista. Es decir, si las pones en la lista es porque se supone que las vas a usar como axiolas o reglas primitivas. Si la puedes demostrar a partir de las demás, la puedes eliminar de la lista sin problemas.

Tienes razón, creo que me había ido por la tangente, porque tú preguntabas si \( p\land q\iff q\land p \) debe interpretarse como una regla de inferencia, y yo te digo que sí, porque si nos basamos en la definición de razonamiento, es un conjunto de proposiciones donde una (llamada conclusión) se basa sobre las otras (llamadas premisas). Aquí si queremos demostrar \( p\land q\to q\land p \) podemos considerar \( p\land q \) como premisa, y \( q\land p \) como conclusión. Por supuesto que el ejemplo no vale porque es un argumento circular, pero aquí lo importante era entender qué es un razonamiento y lo acabé de aclarar así que sí puede tomarse como un razonamiento.

\[ \phi(x) \] pretendía ser una fórmula. En cualquier caso, la crítica es que a la definición "se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera" no le veo mucho sentido, no soy capaz de dar una interpretación precisa a esa frase.

Considera \( A=\{2,3,4\} \) y \( p(x)=\text{\(x\) es múltiplo de 2} \). Si consideramos la proposición \( \forall x\in A\,p(x) \) es falsa, porque aquí la variable \( x \) es genérica en el conjunto \( A \), o sea recorre los valores \( 2,3,4 \). Vemos que si \( x=2 \), luego \( p(2) \) es verdadera; si \( x=4 \) luego \( p(4) \) es verdadera, pero si \( x=3 \), \( p(3) \) es falsa. Por lo que la variable genérica aquí hace que la proposición sea falsa, no se cumple en todos los casos. En cambio si consideramos \( \exists x\,p(x) \), aquí vemos que la \( x \) debe elegirse convenientemente de modo que haga que \( p(x) \) sea verdadera; y es el caso pues con \( x=2 \), \( p(2) \) es verdadera.

No veo que haya que ser un matemático para entender el párrafo anterior, porque deja bastante claro para todo el mundo qué representa un elemento genérico de un conjunto.

Pero al margen de esto ya te digo que lo de ir anotando qué variables son genéricas y cuales no es una solución factible.

¿Por qué no es una solución factible? Ah, perdona, que querías decir que es una solución factible, no vi la coma mental que debería haber visto :laugh:

Insisto en que todos los problemas creo que viene de confusiones o mezclas entre sintaxis/semántica y sobre qué es (y qué no) una demostración formal o un cálculo deductivo. En una demostración formal manipulas cadenas de símbolos de acuerdo a unas reglas, pero esos símbolos no tienen significado ninguno. No puedes decir que \[ p \iff q \] es lo mismo que \[ p \to q \] y \[ q \to p \] sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo. Por eso es importante que un cálculo deductivo esté totalmente especificado, porque no puedes usar absolutamente nada fuera de él (como que sabes qué significa en realidad cada conector).

No entiendo por qué dices que \( p\iff q \) no significa que \( p\to q \) y \( q\to p \) sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo, si es la regla nº10 que presento con nombre y todo. ¿Acaso no es correcto dar un significado de por qué elegimos que \( p\iff q \) sea equivalente a \( p\to q \) y \( q\to p \)? Pero entonces tampoco tendríamos que justificar qué significa \( \neg \), \( \land \)...

Saludos

Agregado

22 Marzo, 2021, 12:18 am
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A ver si me explico. Hay dos posibles interpretaciones:

La primera es que \[ \equiv \] es lo mismo que el símbolo lógico \[ \iff \], y las leyes lógicas que das son axiomas, es decir, fórmulas del lenguaje formal que puedes usar en cualquier momento en una demostración formal.
En ese caso, la regla 10 es\[ (p\iff q)\iff ((p\to q)\wedge (q\to p)) \]. Ahora, en cualquier momento puedes usar esa fórmula. Pero bajo esta interpretación, es imposible a partir de la premisa \[ p\iff q \] deducir \[ (p\to q)\wedge(q\to p) \] (en el sentido de que hay una sucesión de fórmulas que son o la premisa o axiomas o fórmulas que se siguen de las anteriores usando reglas de inferencia) porque no hay ninguna regla de inferencia que te digá qué hacer con un bicondicional.

La segunda interpretación, que es la que creo que tiene más sentido, es que las leyes lógicas son reglas de inferencia. Entonces sí: siempre que tengas \[ p\iff q \] puedes poner en la siguiente línea de la demostración \[ (p \to q) \wedge (q\to p) \]. En este caso por eso no hay axiomas, solamente reglas de inferencia.

Lo que no puedes hacer es mezclar ambas interpretaciones.

No sabría decirte, pero puede que tengas razón en el fondo. ¿Este es el punto conflictivo de todo? Házmelo saber así trato de comunicarlo al profesor.
Pues no sé. Para mí el punto conflictivo es que no me acaban de quedar las cosas claras porque no hay definiciones precisas.

Citar
Es que según entiendo, la lista que di es sólo la base (axiomas) con los que partimos. Para demostrar algo nos basamos en esa lista (y en los exámenes será suficiente), pero además en todo aquello que ya hayamos demostrado con anterioridad. Imagínate si para demostrar que \( \lim_{x\to3}x^2=9 \) sólo nos basamos en los axiomas de los números reales y tal, ¡¡la demostración ocuparía miles de páginas!!
Claro, una demostración formal y completa de eso ocupa miles de páginas. Por eso las demostraciones formales en principio solo se usan para examinar cuestiones lógicas o metamatemáticas. Nadie en su sano juicio se va a poner a hacer una demostración formal de un teorema de análisis.

Por otro lado, puedes usar fórmulas y reglas que ya hayas probado con anterioridad, entendiendo que si usas esto en mitad de una demostración formal en realidad es una abreviatura de la demostración completa.

El problema es que yo no sé qué cosas has demostrado con anterioridad, de manera que si no das una lista completa de todo lo que puedes usar, no sé a qué atenerme. Por otro lado, todos los problemas que has puesto por aquí se pueden hacer perfectamente desde cero con un cálculo deductivo decente, como por ejemplo deducción natural.

Tienes razón, creo que me había ido por la tangente, porque tú preguntabas si \( p\land q\iff q\land p \) debe interpretarse como una regla de inferencia, y yo te digo que sí, porque si nos basamos en la definición de razonamiento, es un conjunto de proposiciones donde una (llamada conclusión) se basa sobre las otras (llamadas premisas). Aquí si queremos demostrar \( p\land q\to q\land p \) podemos considerar \( p\land q \) como premisa, y \( q\land p \) como conclusión. Por supuesto que el ejemplo no vale porque es un argumento circular, pero aquí lo importante era entender qué es un razonamiento y lo acabé de aclarar así que sí puede tomarse como un razonamiento.
A ver, demostrar la fórmula \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] no es lo mismo que demostrar que bajo la premisa \[ p \wedge q \] se deduce \[ q \wedge p \] (esto lo denoto \[ p\wedge q \vdash q\wedge p \], donde lo que hay a la izquierda del \[ \vdash \] son las premisas y lo que hay a la derecha la conclusión). Lo primero es una fórmula del lenguaje formal, lo segundo es un razonamiento. Hay una diferencia fundamental entre \[ \to \] y \[ \vdash \], que es análoga a la que hay entre \[ \iff \] y \[ \equiv \]. \[ \to \] y \[ \iff \] son símbolos lógicos, forman parte del lenguaje formal. En cambio, \[ \vdash \] y \[ \equiv \] son símbolos metamatemáticos, no forman parte del lenguaje. \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \] es una fórmula, que puede aparecer en medio de una demostración formal. En cambio, \[ p \wedge q \vdash q \wedge p \] no es ninguna fórmula, no es nada que pueda aparecer en una demostración.

En tu cálculo deductivo, con la segunda interpretación en que las leyes lógicas son reglas de inferencia, es imposible demostrar la fórmula \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \]. Esto es porque no hay axiomas, solo reglas de inferencia, de forma que es imposible demostrar una fórmula sin premisas. En cambio, es trivial demostrar \[ p\wedge q \vdash q \wedge p \]. Es simplemente una aplicación de la regla de inferencia dada por la ley lógica 2.

Dicho esto, sí es cierto que (en cualquier cálculo deductivo de los que encuentras en libros de lógica matemática) se tiene que \[ \vdash \phi \to \psi \] (puedes demostrar la fórmula \[ \phi \to \psi \]) si y solo si \[ \phi \vdash \psi \] (con algunos comentarios si hay cuantificadores, pero no vienen al caso). A esto se le llama teorema de deducción. Pero es un resultado importante, que no es obvio de entrada.

Citar
Considera \( A=\{2,3,4\} \) y \( p(x)=\text{\(x\) es múltiplo de 2} \). Si consideramos la proposición \( \forall x\in A\,p(x) \) es falsa, porque aquí la variable \( x \) es genérica en el conjunto \( A \), o sea recorre los valores \( 2,3,4 \). Vemos que si \( x=2 \), luego \( p(2) \) es verdadera; si \( x=4 \) luego \( p(4) \) es verdadera, pero si \( x=3 \), \( p(3) \) es falsa. Por lo que la variable genérica aquí hace que la proposición sea falsa, no se cumple en todos los casos. En cambio si consideramos \( \exists x\,p(x) \), aquí vemos que la \( x \) debe elegirse convenientemente de modo que haga que \( p(x) \) sea verdadera; y es el caso pues con \( x=2 \), \( p(2) \) es verdadera.

No veo que haya que ser un matemático para entender el párrafo anterior, porque deja bastante claro para todo el mundo qué representa un elemento genérico de un conjunto.
Ahí parece que me estés diciendo que una variable es genérica si está cuantificada universalmente y no genérica si está cuantificada existencialmente. Pero esa no es la cuestión: la cuestión es distinguir las variables después de haber eliminado el cuantificador. Si yo tengo la fórmula \[ \forall x \, p(x) \] y particularizo, obtengo \[ p(a) \], donde \[ a \] es una nueva variable. Si en cambio tengo \[ \exists x \, p(x) \] y particularizo, de nuevo obtengo \[ p(a) \]. Las dos fórmulas \[ p(a) \] son idénticas, pero en la primera la \[ a \] es genérica y en la segunda no. Por eso digo que tienes que ir anotando las que son genéricas o no.

Citar
No entiendo por qué dices que \( p\iff q \) no significa que \( p\to q \) y \( q\to p \) sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo, si es la regla nº10 que presento con nombre y todo.
Solamente si usas la segunda interpretación. Si usas la primera no, porque entonces la regla 10 es la fórmula \[ (p \iff q) \iff ((p\to q)\wedge (q \to p)) \] y no hay nada que permita trabajar con ella. Pero parece que has aceptado la interpretación 2, entonces no hay problema.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Marzo, 2021, 02:22 am
Respuesta #46

manooooh

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Hola

La primera es que \[ \equiv \] es lo mismo que el símbolo lógico \[ \iff \], y las leyes lógicas que das son axiomas, es decir, fórmulas del lenguaje formal que puedes usar en cualquier momento en una demostración formal.
En ese caso, la regla 10 es\[ (p\iff q)\iff ((p\to q)\wedge (q\to p)) \]. Ahora, en cualquier momento puedes usar esa fórmula. Pero bajo esta interpretación, es imposible a partir de la premisa \[ p\iff q \] deducir \[ (p\to q)\wedge(q\to p) \] (en el sentido de que hay una sucesión de fórmulas que son o la premisa o axiomas o fórmulas que se siguen de las anteriores usando reglas de inferencia) porque no hay ninguna regla de inferencia que te digá qué hacer con un bicondicional.

La segunda interpretación, que es la que creo que tiene más sentido, es que las leyes lógicas son reglas de inferencia. Entonces sí: siempre que tengas \[ p\iff q \] puedes poner en la siguiente línea de la demostración \[ (p \to q) \wedge (q\to p) \]. En este caso por eso no hay axiomas, solamente reglas de inferencia.

Lo que no puedes hacer es mezclar ambas interpretaciones.

Puedo decirte lo siguiente:

Nosotros podemos encontrar dos tipos de razonamientos: Categóricos y no categóricos. Se diferencian porque los primeros contienen cuantificadores, y los segundos no. Así pues, los razonamientos no categóricos serían "más fáciles" de manejar porque toda la cuestión de cuantificadores desaparece, y las demostraciones pueden ser más rápidas, porque la única manera de demostrar las leyes lógicas es a través de tablas de verdad. Las leyes lógicas que presento en la lista no son axiomas, porque pueden demostrarse por tablas de verdad, ni son reglas de inferencia, porque no todas las reglas de inferencia pueden demostrarse mediante tablas de verdad (los razonamientos categóricos).

Entonces, si quieres demostrar \( (p\iff q)\iff(p\to q\land q\to p) \) tienes que hacer la tabla de verdad de cada proposición y compararlas. Esto se PUEDE hacer en un razonamiento NO categórico, pero NO se puede hacer en uno categórico. Imagina que tienes que demostrar que \( ((\forall x\,p(x))\to p(a)\land\forall x\,p(x))\to p(a) \), ¿cómo usarías tablas de verdad con cuantificadores? Es imposible.

Luego no se puede afirmar que todas las reglas de inferencias sean leyes lógicas, pero tampoco afirmar que todas las leyes lógicas sean reglas de inferencia. Porque un razonamiento es VÁLIDO o INVÁLIDO (como Modus Ponens), pero las leyes lógicas son PROPOSICIONES por lo tanto se les puede asignar un VALOR de VERDAD y a los razonamientos no corresponde decirles "Es verdadero o falso", sino "Es válido o inválido".

Así que desde mi punto de vista podemos concluir que: Todos los razonamientos no categóricos válidos pueden transformarse en leyes lógicas, pero no todos los razonamientos categóricos válidos pueden hacerlo.

Pues no sé. Para mí el punto conflictivo es que no me acaban de quedar las cosas claras porque no hay definiciones precisas.

Nunca las habrá en un curso universitario.

Claro, una demostración formal y completa de eso ocupa miles de páginas. Por eso las demostraciones formales en principio solo se usan para examinar cuestiones lógicas o metamatemáticas. Nadie en su sano juicio se va a poner a hacer una demostración formal de un teorema de análisis.

Pero según entiendo la deducción formal es un tipo de demostración formal, y los matemáticos lo usan muy a menudo. Pues aquí lo mismo, el cálculo inventado por nosotros vendría a ser un tipo de demostración formal.

Por otro lado, puedes usar fórmulas y reglas que ya hayas probado con anterioridad, entendiendo que si usas esto en mitad de una demostración formal en realidad es una abreviatura de la demostración completa.

De acuerdo.

El problema es que yo no sé qué cosas has demostrado con anterioridad, de manera que si no das una lista completa de todo lo que puedes usar, no sé a qué atenerme. Por otro lado, todos los problemas que has puesto por aquí se pueden hacer perfectamente desde cero con un cálculo deductivo decente, como por ejemplo deducción natural.

La lista completa está en el mensaje #40 y hasta ahora sigo desconociendo si con esas reglas se forma un cálculo completo (en cuyo caso su prueba sería inentendible para mí) o no (en ese caso me gustaría que des un contraejemplo de que con esas reglas no se pueda demostrar un razonamiento o una proposición).

A ver, demostrar la fórmula \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] no es lo mismo que demostrar que bajo la premisa \[ p \wedge q \] se deduce \[ q \wedge p \] (esto lo denoto \[ p\wedge q \vdash q\wedge p \], donde lo que hay a la izquierda del \[ \vdash \] son las premisas y lo que hay a la derecha la conclusión). Lo primero es una fórmula del lenguaje formal, lo segundo es un razonamiento. Hay una diferencia fundamental entre \[ \to \] y \[ \vdash \], que es análoga a la que hay entre \[ \iff \] y \[ \equiv \]. \[ \to \] y \[ \iff \] son símbolos lógicos, forman parte del lenguaje formal. En cambio, \[ \vdash \] y \[ \equiv \] son símbolos metamatemáticos, no forman parte del lenguaje. \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \] es una fórmula, que puede aparecer en medio de una demostración formal. En cambio, \[ p \wedge q \vdash q \wedge p \] no es ninguna fórmula, no es nada que pueda aparecer en una demostración.

Desde luego pienso que en el cálculo inventado por nosotros estamos dando por hecho que \( \vdash \) y \( \to \) son exactamente la misma cosa.

Ésto: \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] puede ser visto como demostrar que el razonamiento \( p\land q\therefore q\land p \) es un razonamiento NO categórico válido, y se lo demuestra a través del método del condicional asociado (que consiste en armar un condicional cuyo antecedente es la conjunción de todas las premisas, y su consecuente es la conclusión. Luego debe demostrarse que dicho condicional es verdadero. Si lo es, el razonamiento será válido) o a través del método demostrativo. O también puede ser visto como una proposición sin más.

En tu cálculo deductivo, con la segunda interpretación en que las leyes lógicas son reglas de inferencia, es imposible demostrar la fórmula \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \]. Esto es porque no hay axiomas, solo reglas de inferencia, de forma que es imposible demostrar una fórmula sin premisas. En cambio, es trivial demostrar \[ p\wedge q \vdash q \wedge p \]. Es simplemente una aplicación de la regla de inferencia dada por la ley lógica 2.

Aquí se confirma mi sospecha, y es que para nosotros \( \vdash \) y \( \to \) son dos maneras de indicar lo mismo. ¿Por qué habría que diferenciarlas según tú? ¿Porque no se conoce el teorema de la deducción? Pero si justamente nosotros estaríamos dando por probado ese teorema, entonces no hay de qué preocuparse, salvo por el hecho de estudiar si es un cálculo completo sólo con esas reglas.

Ahí parece que me estés diciendo que una variable es genérica si está cuantificada universalmente y no genérica si está cuantificada existencialmente. Pero esa no es la cuestión: la cuestión es distinguir las variables después de haber eliminado el cuantificador. Si yo tengo la fórmula \[ \forall x \, p(x) \] y particularizo, obtengo \[ p(a) \], donde \[ a \] es una nueva variable. Si en cambio tengo \[ \exists x \, p(x) \] y particularizo, de nuevo obtengo \[ p(a) \]. Las dos fórmulas \[ p(a) \] son idénticas, pero en la primera la \[ a \] es genérica y en la segunda no. Por eso digo que tienes que ir anotando las que son genéricas o no.

Y no hay ningún problema con estudiar cuándo debe particularizarse una proposición universal y cuándo una existencial, ni tampoco anotarse cuáles eran las variables genéricas y cuáles no. Al principio yo particularizaba en cualquier orden y luego aprendí que estaba mal.

Saludos

22 Marzo, 2021, 03:34 pm
Respuesta #47

geómetracat

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Me da la sensación que no hago más que repetirme, pero vamos una vez más.

Nosotros podemos encontrar dos tipos de razonamientos: Categóricos y no categóricos. Se diferencian porque los primeros contienen cuantificadores, y los segundos no. Así pues, los razonamientos no categóricos serían "más fáciles" de manejar porque toda la cuestión de cuantificadores desaparece, y las demostraciones pueden ser más rápidas, porque la única manera de demostrar las leyes lógicas es a través de tablas de verdad. Las leyes lógicas que presento en la lista no son axiomas, porque pueden demostrarse por tablas de verdad, ni son reglas de inferencia, porque no todas las reglas de inferencia pueden demostrarse mediante tablas de verdad (los razonamientos categóricos).
El problema, tal como lo veo, es que está todo liado y así es imposible hacer nada. Lo de categórico/no categórico en referencia a cuantificadores ya es mala señal, pues esa nomenclatura hasta donde yo sé viene de los silogismos aristotélicos, que está más que superado. Nunca he visto a nadie (no filósofo) hablar de razonamientos categóricos en ese sentido.

Además aquí estás mezclando lógica proposicional con lógica de primer orden. Esto lleva a más confusiones, porque a veces usas variables proposicionales y argumentos proposicionales, y a veces de primer orden. Que es algo que no es muy problemático si las cosas están claras, pero aquí contribuye a la confusión.

Por otro lado, vuelves a confundir una vez más semántica y sintaxis. Que algo se pueda demostrar con tablas de verdad (semántica) no tiene nada que ver con que sea un axioma o no de un cierto cálculo deductivo (sintaxis).
Un axioma de un cálculo deductivo es simplemente una fórmula que puedes usar siempre que quieras en una demostración formal. Y por demostración formal me refiero aquí a una sucesión de fórmulas donde cada una es o un axioma o una premisa o se sigue de las anteriores usando reglas de inferencia, y la última fórmula de la lista es lo que quieres demostrar. No tiene nada que ver considerar una fórmula como un axioma de un cálculo deductivo con que se pueda demostrar usando tablas de verdad o no (salvo que si quieres que el cálculo sirva para algo, más vale que los axiomas sean verdaderos).

Citar
Entonces, si quieres demostrar \( (p\iff q)\iff(p\to q\land q\to p) \) tienes que hacer la tabla de verdad de cada proposición y compararlas. Esto se PUEDE hacer en un razonamiento NO categórico, pero NO se puede hacer en uno categórico. Imagina que tienes que demostrar que \( ((\forall x\,p(x))\to p(a)\land\forall x\,p(x))\to p(a) \), ¿cómo usarías tablas de verdad con cuantificadores? Es imposible.
Para empezar, otra vez la confusión entre fórmulas y razonamientos. ¿Quieres decir demostrar la fórmula \( ((\forall x\,p(x))\to p(a)\land\forall x\,p(x))\to p(a) \) sin premisas, o demostrar el razonamiento \( (\forall x\,p(x))\to p(a), \forall x\,p(x)\vdash p(a) \)? Porque no es lo mismo.
Por otro lado, en realidad en este argumento que aparezcan cuantificadores es un accidente, porque se ajusta al esquema \[ (\phi \to \psi) \wedge \phi \to \psi \], que es una tautología sean cuales sean \[ \phi, \psi \].

Pero es que aún obviando esto, si estás en lógica de primer orden, hay una semántica que se define en términos de modelos y valuaciones, y puedes demostrar esa fórmula (pero no dar una demostración formam en un cálculo deductivo, que es otra cosa) pefectamenre razonando semánticamente en términos de modelos.

Citar
Luego no se puede afirmar que todas las reglas de inferencias sean leyes lógicas, pero tampoco afirmar que todas las leyes lógicas sean reglas de inferencia. Porque un razonamiento es VÁLIDO o INVÁLIDO (como Modus Ponens), pero las leyes lógicas son PROPOSICIONES por lo tanto se les puede asignar un VALOR de VERDAD y a los razonamientos no corresponde decirles "Es verdadero o falso", sino "Es válido o inválido".
Pues ya la hemos liado otra vez. Algunas preguntas: ¿Es \[ p \equiv \neg \neg p \] una fórmula proposicional? ¿Es \[ \equiv \] un símbolo lógico que puede aparecer en una fórmula? ¿Es \[ \equiv \] lo mismo que \[ \iff \]? ¿Si es lo mismo, por qué usamos dos símbolos distintos para denotar exactamente lo mismo?

Citar
Así que desde mi punto de vista podemos concluir que: Todos los razonamientos no categóricos válidos pueden transformarse en leyes lógicas, pero no todos los razonamientos categóricos válidos pueden hacerlo.
Entonces, ¿por qué no consideras a modus ponens como una ley lógica, si es un razonamiento no categórico?

Citar
Nunca las habrá en un curso universitario.
No estoy de acuerdo.

Citar
Pero según entiendo la deducción formal es un tipo de demostración formal, y los matemáticos lo usan muy a menudo. Pues aquí lo mismo, el cálculo inventado por nosotros vendría a ser un tipo de demostración formal.
Ningún matemático "normal" hace demostraciones formales. Recuerda que una demostración formal es una sucesión de fórmulas donde cada una es un axioma, o una premisa o se sigue de las anteriores usando reglas de inferencia. Si abres cualquier libro de matemáticas encontrarás cosas explicadas con palabras, pero en ninguno vas a encontrar listas de fórmulas numeradas donde te pongan al lado que tal se sigue de la fórmula número 5 y 16 por modus ponens.

Citar
La lista completa está en el mensaje #40 y hasta ahora sigo desconociendo si con esas reglas se forma un cálculo completo (en cuyo caso su prueba sería inentendible para mí) o no (en ese caso me gustaría que des un contraejemplo de que con esas reglas no se pueda demostrar un razonamiento o una proposición).
Yo creo que no es completo. ¿Cómo demuestras algo de la forma \[ \vdash p \to p \] (sin premisas)? Si insistes en que un razonamiento debe tener premisas, ¿cómo demuestras algo del estilo \[ q \vdash p \to p \]? Insisto, demostración formal atendiendo a lo que tú mismo pusiste:
Explicación del método demostrativo

Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.

Citar
Desde luego pienso que en el cálculo inventado por nosotros estamos dando por hecho que \( \vdash \) y \( \to \) son exactamente la misma cosa.
Pero cómo van a ser lo mismo si \[ \vdash \] no es un símbolo del lenguaje formal y \[ \to \] sí. \[ p \to p \] es una fórmula proposicional, \[ p \vdash p \] no lo es. No tiene ningún sentido decir que has dado una demostración formal de \[ p \vdash p \], pero tiene todo el sentido del mundo dar una demostración formal de \[ p \to p \]. \[ p \vdash p \] es solo una manera corta de decir "existe una demostración formal de \[ p \] a partir de la premisa \[ p \]".

Citar
Ésto: \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] puede ser visto como demostrar que el razonamiento \( p\land q\therefore q\land p \) es un razonamiento NO categórico válido, y se lo demuestra a través del método del condicional asociado (que consiste en armar un condicional cuyo antecedente es la conjunción de todas las premisas, y su consecuente es la conclusión. Luego debe demostrarse que dicho condicional es verdadero. Si lo es, el razonamiento será válido) o a través del método demostrativo. O también puede ser visto como una proposición sin más.
Mezclas demostrar algo (en la metateoría) con dar una demostración formal de una fórmula. No puedes dar una demostración formal de un razonamiento, es algo que no tiene sentido. Solamente puedes dar demostraciones formales de fórmulas. Y de nuevo, una demostración formal en un cálculo deductivo nada tiene que ver en principio con que la fórmula sea verdadera o falsa, solamente si existe una sucesión de fórmulas tal que blablabla.

Citar
Aquí se confirma mi sospecha, y es que para nosotros \( \vdash \) y \( \to \) son dos maneras de indicar lo mismo. ¿Por qué habría que diferenciarlas según tú? ¿Porque no se conoce el teorema de la deducción? Pero si justamente nosotros estaríamos dando por probado ese teorema, entonces no hay de qué preocuparse, salvo por el hecho de estudiar si es un cálculo completo sólo con esas reglas.
Como ya he dicho antes, no son lo mismo, porque \[ \to \] es un símbolo del lenguaje formal y \[ \vdash \] no lo es. En cualquier caso el teorema de deducción es un teorema, y no creo que lo hayas probado porque en el cálculo que das parece que es falso. De nuevo, es claro que \[ p,q \vdash p \], pero a ver cómo das una demostración formal de \[ q \vdash p \to p \].

Citar
Y no hay ningún problema con estudiar cuándo debe particularizarse una proposición universal y cuándo una existencial, ni tampoco anotarse cuáles eran las variables genéricas y cuáles no. Al principio yo particularizaba en cualquier orden y luego aprendí que estaba mal.
De acuerdo. La pregunta es si en la práctica lo haces o no.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Abril, 2021, 02:32 am
Respuesta #48

manooooh

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Hola

Antes que nada, informo que aun no me puse en contacto con el profesor para determinar si, en base a la definición de razonamiento que usamos que es ésta:

(...) la definición de razonamiento, es un conjunto de proposiciones donde una (llamada conclusión) se basa sobre las otras (llamadas premisas). (...)

se puede demostrar la validez de un razonamiento partiendo del conjunto vacío de premisas (es decir no hay premisas).

Pero intuyo que una respuesta del profesor, ahora pensándolo con más calma, puede ser la siguiente:

Dado que estamos definiendo al razonamiento donde la conclusión se basa sobre las premisas, al NO haber premisas NO existe razonamiento (dentro de lo que consideramos "razonamiento"). Analogía: Tú sabes que la base de una casa son los ladrillos; si no hay ladrillos, ¿cómo piensas construir y que se mantenga firme una casa? Por lo tanto, no tiene sentido hablar de que algo es un razonamiento si no existen premisas (i.e. conjunto vacío de premisas), puesto que la conclusión no tendría sobre qué basarse. Luego no tiene sentido la pregunta.

Una respuesta similar se me viene ante la pregunta:

(...) Si insistes en que un razonamiento debe tener premisas, ¿cómo demuestras algo del estilo \[ q \vdash p \to p \]? (...)

Dado que \( p\to p \) es equivalente a \( \neg p\lor p \) es decir una tautología, luego la conclusión siempre es verdadera (porque podemos reemplazar a \( p\to p \) por \( V \)) por lo tanto no se apoyó sobre las premisas. Por lo tanto NO es un razonamiento luego no tiene sentido la pregunta.

Pues ya la hemos liado otra vez. Algunas preguntas: ¿Es \[ p \equiv \neg \neg p \] una fórmula proposicional? ¿Es \[ \equiv \] un símbolo lógico que puede aparecer en una fórmula? ¿Es \[ \equiv \] lo mismo que \[ \iff \]? ¿Si es lo mismo, por qué usamos dos símbolos distintos para denotar exactamente lo mismo?

Dado que hay situaciones en las cuales poner \( \iff \) varias veces contiguas puede resultar confuso, se ha preferido hacer uso de un símbolo que permita establecer una especie de "orden de precedencia". Por ejemplo, al establecer la equivalencia del condicional (ley lógica número 10):

\( p\iff q\equiv(p\to q)\land(q\to p). \)

Si no usáramos el símbolo \( \equiv \) se vería más "engorroso":

\( p\iff q\iff(p\to q)\land(q\to p) \)

porque habría que agregar paréntesis a \( p\iff q \). Por estas cosas se optó por convenir en que \( \equiv \) es exactamente lo mismo que \( \iff \) bajo el contexto de la lógica. (En congruencias significa otra cosa por ejemplo.)

Por tanto, respondiendo a tu pregunta, \( p\equiv\neg(\neg p) \) es decir \( p\iff\neg(\neg p) \) es obvio que es una fórmula proposicional y es equivalente a una tautología, se comprueba mediante tablas de verdad.

Entonces, ¿por qué no consideras a modus ponens como una ley lógica, si es un razonamiento no categórico?

Pensando un poco llegué a la conclusión de que, en primer lugar, las leyes lógicas que he puesto en la Tabla son todas equivalencias lógicas, puedes ir a comprobar. Razonamientos como Modus Ponens no pueden ir "en los dos sentidos". Es decir este razonamiento es válido:

\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
p\\\hline
q
\end{array}
 \)

pero a partir de \( q \), yo no puedo obtener las dos conclusiones en simultáneo \( p \) y \( p\to q \). Es decir, sólo a partir de \( q \) se puede obtener \( p\to q \) (razonamiento válido) pero no \( p \) (razonamiento inválido).

Sí existen razonamientos los cuales, creo yo, pueden "convertirse" en leyes lógicas, como lo es el razonamiento:

\(
\begin{array}{l}
p\\\hline
\neg(\neg p)\\
\end{array}
 \)

Este es un razonamiento válido y también lo es

\(
\begin{array}{l}
\neg(\neg p)\\\hline
p\\
\end{array}
 \)

luego como en los dos sentidos el razonamiento resultó válido, es una ley lógica. Aunque considero que hay muy pocos razonamientos con esta cualidad, ni se consideran en la asignatura ni yo los he usado para nada.

En segundo lugar, modus ponens no es una ley lógica porque, de vuelta, existen los razonamientos categóricos, aquellos que contienen cuantificadores. Si te fijas bien, en las reglas de inferencia de la Tabla no puse \( p,q,\dots \) sino que utilicé letras mayúsculas. Esto es porque las minúsculas por sí solas las solemos utilizar para denotar a proposiciones que no contienen cuantificadores, mientras que proposiciones en mayúscula o con paréntesis que encierran variables (ejemplos: \( A\land\neg B \) y \( p(x)\lor q(x,y,z) \), respectivamente), pueden formar parte de razonamientos categóricos. Por eso que las reglas de inferencia "básicas" (de la Tabla) se usen mayúsculas; para abarcar tanto a razonamientos categóricos como no categóricos.

Creo que contesté a las preguntas más importantes que me hiciste. Si no es así por favor escríbelas de nuevo así las reviso.

Perdona si he usado la palabra "categórico" con frecuencia, considero que te molesta que la use, pero no pude encontrar un término similar.

Saludos

23 Abril, 2021, 09:30 pm
Respuesta #49

geómetracat

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Yo creo que me voy a rendir ya. Porque no hago más que repetirme y creo que ya no lleva a ninguna parte. Si estás contento con como haces las cosas pues ya está.

Pero intuyo que una respuesta del profesor, ahora pensándolo con más calma, puede ser la siguiente:

Dado que estamos definiendo al razonamiento donde la conclusión se basa sobre las premisas, al NO haber premisas NO existe razonamiento (dentro de lo que consideramos "razonamiento"). Analogía: Tú sabes que la base de una casa son los ladrillos; si no hay ladrillos, ¿cómo piensas construir y que se mantenga firme una casa? Por lo tanto, no tiene sentido hablar de que algo es un razonamiento si no existen premisas (i.e. conjunto vacío de premisas), puesto que la conclusión no tendría sobre qué basarse. Luego no tiene sentido la pregunta.

Una respuesta similar se me viene ante la pregunta:

(...) Si insistes en que un razonamiento debe tener premisas, ¿cómo demuestras algo del estilo \[ q \vdash p \to p \]? (...)

Dado que \( p\to p \) es equivalente a \( \neg p\lor p \) es decir una tautología, luego la conclusión siempre es verdadera (porque podemos reemplazar a \( p\to p \) por \( V \)) por lo tanto no se apoyó sobre las premisas. Por lo tanto NO es un razonamiento luego no tiene sentido la pregunta.
Pues creo recordar que pusiste alguna vez un "razonamiento" donde había una premisa que no se usaba. Por lo mismo no debería contar como razonamiento pues no se apoya sobre todas las premisas. Al margen de esto, esa restricción es algo problemática a nivel técnico, más que nada porque tienes herramientas como el teorema de deducción que dejan de estar disponibles.

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Pues ya la hemos liado otra vez. Algunas preguntas: ¿Es \[ p \equiv \neg \neg p \] una fórmula proposicional? ¿Es \[ \equiv \] un símbolo lógico que puede aparecer en una fórmula? ¿Es \[ \equiv \] lo mismo que \[ \iff \]? ¿Si es lo mismo, por qué usamos dos símbolos distintos para denotar exactamente lo mismo?

Dado que hay situaciones en las cuales poner \( \iff \) varias veces contiguas puede resultar confuso, se ha preferido hacer uso de un símbolo que permita establecer una especie de "orden de precedencia". Por ejemplo, al establecer la equivalencia del condicional (ley lógica número 10):

\( p\iff q\equiv(p\to q)\land(q\to p). \)

Si no usáramos el símbolo \( \equiv \) se vería más "engorroso":

\( p\iff q\iff(p\to q)\land(q\to p) \)

porque habría que agregar paréntesis a \( p\iff q \). Por estas cosas se optó por convenir en que \( \equiv \) es exactamente lo mismo que \( \iff \) bajo el contexto de la lógica. (En congruencias significa otra cosa por ejemplo.)

Por tanto, respondiendo a tu pregunta, \( p\equiv\neg(\neg p) \) es decir \( p\iff\neg(\neg p) \) es obvio que es una fórmula proposicional y es equivalente a una tautología, se comprueba mediante tablas de verdad.
Yo te puedo decir que la respuesta ortodoxa es que \[ \iff \] y \[ \equiv \] no significan lo mismo (y si no te lo crees, te reto a encontrar un libro o alguna fuente donde diga explícitamente que son lo mismo, o que uno es una abreviatura del otro). Lo primero es un símbolo lógico del sistema formal, y lo segundo es un símbolo del metalenguaje (es decir, no puede aparecer en una fórmula). Cuando escribimos \[ A \equiv B \] quiere decir que \[ A \vdash B \] y \[ B \vdash A \], es decir, \[ A \] y \[ B \] son interderivables (como lo que pones al final del mensaje sobre \[ \neg \neg p \] y \[ p \], lo puedes escribir \[ \neg \neg p \equiv p \]). El problema de considerar \[ \iff \] y \[ \equiv \] lo mismo, es que necesitas alguna regla que te permita pasar de \[ A \iff B \] a \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \], y en tu lista no hay ninguna. La tautología \[ (A \iff B) \iff (A \to B) \wedge (B \to A) \] no te sirve aquí porque no es una regla. Es decir, puedes poner eso en cualquier momento en una demostración, pero si tienes \[ A \iff B \] en una demostración, con tus reglas no hay manera posible de deducir \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \].

Por otra parte no me convence lo de engorroso. ¿No te parece igual de engorroso \[ (A \to B) \to (C \to D) \] o cosas así? Sin embargo no se introduce otro símbolo "sinónimo" de \[ \to \], a pesar de que normalmente \[ \to \] se usa bastante más que \[ \iff \].

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Entonces, ¿por qué no consideras a modus ponens como una ley lógica, si es un razonamiento no categórico?

Pensando un poco llegué a la conclusión de que, en primer lugar, las leyes lógicas que he puesto en la Tabla son todas equivalencias lógicas, puedes ir a comprobar. Razonamientos como Modus Ponens no pueden ir "en los dos sentidos". Es decir este razonamiento es válido:

\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
p\\\hline
q
\end{array}
 \)

pero a partir de \( q \), yo no puedo obtener las dos conclusiones en simultáneo \( p \) y \( p\to q \). Es decir, sólo a partir de \( q \) se puede obtener \( p\to q \) (razonamiento válido) pero no \( p \) (razonamiento inválido).

Sí existen razonamientos los cuales, creo yo, pueden "convertirse" en leyes lógicas, como lo es el razonamiento:

\(
\begin{array}{l}
p\\\hline
\neg(\neg p)\\
\end{array}
 \)

Este es un razonamiento válido y también lo es

\(
\begin{array}{l}
\neg(\neg p)\\\hline
p\\
\end{array}
 \)

luego como en los dos sentidos el razonamiento resultó válido, es una ley lógica. Aunque considero que hay muy pocos razonamientos con esta cualidad, ni se consideran en la asignatura ni yo los he usado para nada.
Es verdad que modus ponens no va en los dos sentidos, pero igualmente se puede convertir en una tautología: \[ (p \wedge (p \to q))\to q \] es una tautología. Por otro lado lo que significa el símbolo \[ \equiv \] (en la versión ortodoxa de la lógica matemática) es precisamente lo que apuntas al final, que el razonamiento va en ambos sentidos. Y no hay tan pocos, de hecho son infinitos (para empezar, todas las "leyes lógica" de tu lista).

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En segundo lugar, modus ponens no es una ley lógica porque, de vuelta, existen los razonamientos categóricos, aquellos que contienen cuantificadores. Si te fijas bien, en las reglas de inferencia de la Tabla no puse \( p,q,\dots \) sino que utilicé letras mayúsculas. Esto es porque las minúsculas por sí solas las solemos utilizar para denotar a proposiciones que no contienen cuantificadores, mientras que proposiciones en mayúscula o con paréntesis que encierran variables (ejemplos: \( A\land\neg B \) y \( p(x)\lor q(x,y,z) \), respectivamente), pueden formar parte de razonamientos categóricos. Por eso que las reglas de inferencia "básicas" (de la Tabla) se usen mayúsculas; para abarcar tanto a razonamientos categóricos como no categóricos.
Pero es que las leyes lógicas también sirven si pones cuantificadores. Es decir, por ejemplo, es verdad que \[ \neg \neg (\forall x p(x)) \] es lógicamente equivalente a \[ \forall x p(x) \] (o si lo prefieres, \[ (\neg \neg (\forall x p(x)) \iff \forall x p(x) \] es una tautología). Y esto debe poder demostrarse en el cálculo deductivo.

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Creo que contesté a las preguntas más importantes que me hiciste. Si no es así por favor escríbelas de nuevo así las reviso.

Perdona si he usado la palabra "categórico" con frecuencia, considero que te molesta que la use, pero no pude encontrar un término similar.

Tampoco es que me moleste lo de "categórico", es que es terminología un tanto obsoleta desde mi punto de vista. En cualquier caso, como dije al principio yo me rindo ya. Si estás satisfecho con tu manera de proceder pues ya está bien.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)