Hola
Traigo al debate un mensaje que quizás no recordabas que había publicado y puede ser de ayuda
:
Las 14 leyes lógicas
- Involución.
- Conmutatividad.
- Asociatividad.
- Distributividad.
- Idempotencia.
- De Morgan.
- Absorción.
- Identidad.
- Dominación.
- Bicondicional.
- Condicional.
- Tercero excluido.
- Simplificación.
- Adición
manooooh, ahora que has especificado las leyes lógicas que usas, eso ya es otra cosa. Pero podrías haberlo dicho desde el principio.
Ahí tienes básicamente los axiomas de un álgebra de Boole, de manera que probablemente puedas demostrar cualquier razonamiento verdadero usando eso.l
Quizás me quedó pendiente responder a estas citas:
Que \( p \to p \) es una proposición nadie lo discute. La pregunta es si \( \vdash p \to p \) es un razonamiento. Esto ya es una discusión lingüística sobre si un "razonamiento sin premisas" es un razonamiento o no. Pero en cualquier caso, todos los cálculos deductivos que se usan en lógica matemática son capaces de demostrar estos "razonamientos sin premisas".
Vuelvo a insistir, según la definición con la que trabajo, un razonamiento es un conjunto de proposiciones en el cual una de ellas, llamada CONCLUSIÓN, se afirma sobre la base de las demás llamadas PREMISAS. Por lo tanto si no hay premisas, no hay conclusión.
De hecho, las proposiciones que se pueden demostrar sin premisas son exactamente las tautologías.
Pero en ese caso se usan las 14 leyes lógicas que mencioné más arriba. Incluso, si no aparecen cuantificadores, se puede demostrar cualquier equivalencia mediante tablas de verdad. ¿O acaso niegas que las tablas de verdad sean útiles para demostrar cualquier tautología, por ejemplo \( \neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q \)?
Pongo un ejemplo que quizás sirva para comprender lo completo que puede resultar el cálculo cuando se trabajan con las 14 leyes lógicas y algunas reglas de inferencia demostradas previamente:
Demostrar \(\exists x\,p(x)\lor q(x)\equiv\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\)
Hay que demostrar dos condicionales:
1) \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\to\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \)
2) \( \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\to\exists x\,p(x)\lor q(x) \)
Como cada uno posee una disyunción, será más difícil poder demostrar. Pero podemos usar el contrarrecíproco. Entonces empecemos por 1):
1') \( \forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)\to\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x) \)
Demostremos que este razonamiento es VÁLIDO:
\(
\begin{array}{lll}
1)&\forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,\neg p(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
3)&\forall x\,\neg q(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
4)&\neg p(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg q(a)&\text{Particularización universal 3)}\\
6)&\neg p(a)\land\neg q(a)&\text{Introducción conjunción 4,5)}\\
7)&\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x)&\text{Generalización universal 6)}
\end{array}
\)
De forma similar se resuelve 2).
¿Ves qué sencillo fue sin recurrir a cosas como reducción al absurdo, agregado de hipótesis, introducción de tautologías etc? Que son todas excelentes recursos, pero que para este ejemplo puntual no hizo falta nada de eso.
Este es el problema de siempre: te diré que no pero seguro que me vas a cambiar las reglas. 
No sé cuándo cambié las reglas, salvo que a medida que avanza el tiempo me fui capacitando y por eso di marchas y contramarchas.
Ya te dije que eso no es un cálculo completo, pues no puedes deducir tautologías (sin premisas) ya que todas las reglas que usas tienen premisas.
No será completo pero creo que lo que tenemos es suficiente para un curso de primer año, en el sentido de que definimos una tautología como una proposición que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman y creo que es una definición bastante acertada para un curso de primer año.
Usando exclusivamente esas reglas que pones, no se puede deducir porque no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores. Estás obligado a tratar la fórmula \[ \exists x(p(x) \vee q(x)) \] como un bloque.
Hombre, pero tú mismo me contestaste lo siguiente:
Si tenemos un razonamiento con al menos una variable cuantificada existencialmente y la conclusión tiene a la misma variable cuantificada universalmente, ¿podemos decir que el razonamiento siempre será inválido?
No sé si entiendo correctamente la pregunta, pero yo diría que no, depende del razonamiento. Por ejemplo, podrías tener algo del estilo:
Premisa: \( \exists x (P(x) \wedge \forall y(y=x)) \)
Conclusión: \( \forall x P(x) \)
Este es un razonamiento válido.
(negrita agregada por mí).
Quisiera saber por qué no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores en el razonamiento en cuestión cuando tú mismo aseguras que "depende del razonamiento".
No hay ninguna regla de las que pones que te permita operar con cuantificadores, así que a efectos prácticos es como si fuera una variable proposicional.
Si permites usar eliminación/introducción de cuantificadores y la tautología \[ p\to p \], puedes proceder como sigue:
Es cierto que entre las reglas que puse no están la de poner y eliminar los cuantificadores, pero quizás pensé que se sobreentendía. Miles de veces las he usado.
Sobre lo de agregar tautologías, yo creo que está permitido... es decir es claro que se cumple \( p\equiv p\land V \).
\[
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,(p(x)\lor q(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,(q(x)\to r(x))&\text{Premisa}\\ 3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&p(a)\to p(a)&\text{Tautología}\\
6)&p(a)\vee r(a)&\text{Dilema constructivo 3,4,5)}\\
7)&\exists x \, (p(x) \vee r(x))&\text{Introducción existencial 6)}\\
\end{array}
\]
¡Me encantó! Jamás se me hubiera ocurrido aplicar dilema constructivo en este razonamiento. Muy bien pensado, como no podía ser de otra manera,
geómetracat.
Supongo que esa es la única forma en que puede resolverse con todas las condiciones impuestas, pero espero que puedas responderme por qué es así, es decir por qué no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores en el razonamiento en cuestión.
La demostración que haces por reducción al absurdo está bien, aunque te falta una línea final con la conclusión (descartando la hipótesis en \[ 5 \]).
Sobre de donde viene la contradicción, si introduces una hipótesis (aquí \[ 5 \]) tienes que descartarla para que sea una demostración válida. Por tanto estás obligado a descartar \[ 5 \].
No entiendo eso de descartar hipótesis. ¿Te refieres a que si agrego una hipótesis \( p \), "descartar \( p \)" significa en algún momento del razonamiento llegar a \( p\to q \)? En ese caso no entiendo cómo puede funcionar ese método deductivo (no es deducción natural lo que se ve en el curso).
Como comentario general, te digo lo mismo que te dije en otras ocasiones. Lo que hacéis es un tanto chapucero. Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no. Esto hace que cosas que deberían ser una chorrada se vuelvan difíciles. En particular, tampoco me queda aquí muy claro si está previsto lo de introducir hipótesis y descartarlas después (como en deducción natural). Si no fuera así y únicamente tienes que razonar en base a reglas de deducción (es decir, una demostración es una sucesión de fórmulas donde cada una es o una premisa o se deduce de las anteriores a partir de las reglas permitidas), tu demostración por reducción al absurdo está mal. Pero en ese caso es imposible hacer demostraciones por reducción al absurdo a no ser que las premisas sean contradictorias de entrada.
No es que no está permitido agregar y descartar hipótesis, sino que en el curso no se ve. ¿Me preguntas qué sucede si un alumno lo hace en un examen? Te contesto: no tengo idea, porque nunca ha pasado según me consta.
Sobre lo que se puede usar y lo que no, entiendo que lo dices porque estás convencido que el cálculo que usamos no es completo, y entiendo completamente que un cálculo incompleto no puede demostrar cualquier cosa, pero también debes considerar que este no es un curso de lógica, por lo que no se puede esperar que se estudie en profundidad cálculos deductivos súper útiles, pero que exceden los contenidos de la materia.
En general todos los ejercicios sobre razonamientos que he expuesto, los he podido resolver gracias a mi poco conocimiento y su gran ayuda, de modo que todos los razonamientos son solubles con el método que usamos (no requieren una gran cantidad de líneas). Pero éste en particular me ha costado porque sabía que era válido, pero no podía demostrarlo en base al método.
Saludos
