Autor Tema: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no

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08 Marzo, 2021, 10:24 pm
Respuesta #30

manooooh

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Hola

Traigo al debate un mensaje que quizás no recordabas que había publicado y puede ser de ayuda ;):

Las 14 leyes lógicas
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manooooh, ahora que has especificado las leyes lógicas que usas, eso ya es otra cosa. Pero podrías haberlo dicho desde el principio.  ;)
Ahí tienes básicamente los axiomas de un álgebra de Boole, de manera que probablemente puedas demostrar cualquier razonamiento verdadero usando eso.l

Quizás me quedó pendiente responder a estas citas:

Que \( p \to p \) es una proposición nadie lo discute. La pregunta es si \( \vdash p \to p \) es un razonamiento. Esto ya es una discusión lingüística sobre si un "razonamiento sin premisas" es un razonamiento o no. Pero en cualquier caso, todos los cálculos deductivos que se usan en lógica matemática son capaces de demostrar estos "razonamientos sin premisas".

Vuelvo a insistir, según la definición con la que trabajo, un razonamiento es un conjunto de proposiciones en el cual una de ellas, llamada CONCLUSIÓN, se afirma sobre la base de las demás llamadas PREMISAS. Por lo tanto si no hay premisas, no hay conclusión.

De hecho, las proposiciones que se pueden demostrar sin premisas son exactamente las tautologías.

Pero en ese caso se usan las 14 leyes lógicas que mencioné más arriba. Incluso, si no aparecen cuantificadores, se puede demostrar cualquier equivalencia mediante tablas de verdad. ¿O acaso niegas que las tablas de verdad sean útiles para demostrar cualquier tautología, por ejemplo \( \neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q \)?

Pongo un ejemplo que quizás sirva para comprender lo completo que puede resultar el cálculo cuando se trabajan con las 14 leyes lógicas y algunas reglas de inferencia demostradas previamente:

Demostrar \(\exists x\,p(x)\lor q(x)\equiv\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\)

Hay que demostrar dos condicionales:

1) \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\to\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \)

2) \( \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\to\exists x\,p(x)\lor q(x) \)

Como cada uno posee una disyunción, será más difícil poder demostrar. Pero podemos usar el contrarrecíproco. Entonces empecemos por 1):

1') \( \forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)\to\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x) \)

Demostremos que este razonamiento es VÁLIDO:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,\neg p(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
3)&\forall x\,\neg q(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
4)&\neg p(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg q(a)&\text{Particularización universal 3)}\\
6)&\neg p(a)\land\neg q(a)&\text{Introducción conjunción 4,5)}\\
7)&\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x)&\text{Generalización universal 6)}
\end{array}
 \)

De forma similar se resuelve 2).

¿Ves qué sencillo fue sin recurrir a cosas como reducción al absurdo, agregado de hipótesis, introducción de tautologías etc? Que son todas excelentes recursos, pero que para este ejemplo puntual no hizo falta nada de eso.

[cerrar]

Este es el problema de siempre: te diré que no pero seguro que me vas a cambiar las reglas.  :D

No sé cuándo cambié las reglas, salvo que a medida que avanza el tiempo me fui capacitando y por eso di marchas y contramarchas. :P

Ya te dije que eso no es un cálculo completo, pues no puedes deducir tautologías (sin premisas) ya que todas las reglas que usas tienen premisas.

No será completo pero creo que lo que tenemos es suficiente para un curso de primer año, en el sentido de que definimos una tautología como una proposición que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman y creo que es una definición bastante acertada para un curso de primer año.

Usando exclusivamente esas reglas que pones, no se puede deducir porque no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores. Estás obligado a tratar la fórmula \[ \exists x(p(x) \vee q(x)) \] como un bloque.

Hombre, pero tú mismo me contestaste lo siguiente:

Si tenemos un razonamiento con al menos una variable cuantificada existencialmente y la conclusión tiene a la misma variable cuantificada universalmente, ¿podemos decir que el razonamiento siempre será inválido?

No sé si entiendo correctamente la pregunta, pero yo diría que no, depende del razonamiento. Por ejemplo, podrías tener algo del estilo:
Premisa: \( \exists x (P(x) \wedge \forall y(y=x)) \)
Conclusión: \( \forall x P(x) \)
Este es un razonamiento válido.

(negrita agregada por mí).

Quisiera saber por qué no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores en el razonamiento en cuestión cuando tú mismo aseguras que "depende del razonamiento".

No hay ninguna regla de las que pones que te permita operar con cuantificadores, así que a efectos prácticos es como si fuera una variable proposicional.

Si permites usar eliminación/introducción de cuantificadores y la tautología \[ p\to p \], puedes proceder como sigue:

Es cierto que entre las reglas que puse no están la de poner y eliminar los cuantificadores, pero quizás pensé que se sobreentendía. Miles de veces las he usado.

Sobre lo de agregar tautologías, yo creo que está permitido... es decir es claro que se cumple \( p\equiv p\land V \).

\[
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,(p(x)\lor q(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,(q(x)\to r(x))&\text{Premisa}\\ 3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&p(a)\to p(a)&\text{Tautología}\\
6)&p(a)\vee r(a)&\text{Dilema constructivo 3,4,5)}\\
7)&\exists x \, (p(x) \vee r(x))&\text{Introducción existencial 6)}\\
\end{array}
 \]

¡Me encantó! Jamás se me hubiera ocurrido aplicar dilema constructivo en este razonamiento. Muy bien pensado, como no podía ser de otra manera, geómetracat.

Supongo que esa es la única forma en que puede resolverse con todas las condiciones impuestas, pero espero que puedas responderme por qué es así, es decir por qué no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores en el razonamiento en cuestión.

La demostración que haces por reducción al absurdo está bien, aunque te falta una línea final con la conclusión (descartando la hipótesis en \[ 5 \]).
Sobre de donde viene la contradicción, si introduces una hipótesis (aquí \[ 5 \]) tienes que descartarla para que sea una demostración válida. Por tanto estás obligado a descartar \[ 5 \].

No entiendo eso de descartar hipótesis. ¿Te refieres a que si agrego una hipótesis \( p \), "descartar \( p \)" significa en algún momento del razonamiento llegar a \( p\to q \)? En ese caso no entiendo cómo puede funcionar ese método deductivo (no es deducción natural lo que se ve en el curso).

Como comentario general, te digo lo mismo que te dije en otras ocasiones. Lo que hacéis es un tanto chapucero. Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no. Esto hace que cosas que deberían ser una chorrada se vuelvan difíciles. En particular, tampoco me queda aquí muy claro si está previsto lo de introducir hipótesis y descartarlas después (como en deducción natural). Si no fuera así y únicamente tienes que razonar en base a reglas de deducción (es decir, una demostración es una sucesión de fórmulas donde cada una es o una premisa o se deduce de las anteriores a partir de las reglas permitidas), tu demostración por reducción al absurdo está mal. Pero en ese caso es imposible hacer demostraciones por reducción al absurdo a no ser que las premisas sean contradictorias de entrada.

No es que no está permitido agregar y descartar hipótesis, sino que en el curso no se ve. ¿Me preguntas qué sucede si un alumno lo hace en un examen? Te contesto: no tengo idea, porque nunca ha pasado según me consta.

Sobre lo que se puede usar y lo que no, entiendo que lo dices porque estás convencido que el cálculo que usamos no es completo, y entiendo completamente que un cálculo incompleto no puede demostrar cualquier cosa, pero también debes considerar que este no es un curso de lógica, por lo que no se puede esperar que se estudie en profundidad cálculos deductivos súper útiles, pero que exceden los contenidos de la materia.

En general todos los ejercicios sobre razonamientos que he expuesto, los he podido resolver gracias a mi poco conocimiento y su gran ayuda, de modo que todos los razonamientos son solubles con el método que usamos (no requieren una gran cantidad de líneas). Pero éste en particular me ha costado porque sabía que era válido, pero no podía demostrarlo en base al método.

Saludos

08 Marzo, 2021, 10:46 pm
Respuesta #31

manooooh

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Hola

Además agrego una cuestión sobre la última cita que adjunto en la respuesta anterior (#30):

Afirmas "Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no" pero según entiendo, por ejemplo en algunas teorías aritméticas donde hay proposiciones indecidibles, ¿acaso no te parece muy difícil entender la demostración de por ejemplo el último teorema de Fermat teniendo los axiomas perfectamente definidos? ¿Y no crees que hay proposiciones que aun no están demostradas pero no porque el cálculo sea incompleto, sino porque requiere herramientas muy avanzadas? Es decir sea el cálculo que sea, siempre hay proposiciones difíciles de demostrar, sea completo o no.

Eso es lo que he entendido de tu cita. Disculpa si entendí otra cosa.

Saludos

08 Marzo, 2021, 11:42 pm
Respuesta #32

geómetracat

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Ahora no puedo extenderme mucho, mañana contestaré con un mensaje más completo. Pero básicamente, de lo que me quejo, y por lo que se me hace difícil responder a estos mensajes, es de este tipo de cosas:

Traigo al debate un mensaje que quizás no recordabas que había publicado y puede ser de ayuda ;):

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(...)

Es cierto que entre las reglas que puse no están la de poner y eliminar los cuantificadores, pero quizás pensé que se sobreentendía. Miles de veces las he usado.
Me gustaría tener, de una vez y para todas, una especificación completa del cálculo deductivo que puedes usar, sin omitir nada porque "se sobreentiende". Sin eso es difícil decir si se puede demostrar algo con unas reglas dadas o no, porque como te dije antes (ya me explayaré más mañana, en todo caso), lo que preguntas no se puede demostrar sin reglas sobre cuantificadores, que no estaban en la lista que pusiste pero que al final sí que se pueden usar.

Afirmas "Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no" pero según entiendo, por ejemplo en algunas teorías aritméticas donde hay proposiciones indecidibles, ¿acaso no te parece muy difícil entender la demostración de por ejemplo el último teorema de Fermat teniendo los axiomas perfectamente definidos? ¿Y no crees que hay proposiciones que aun no están demostradas pero no porque el cálculo sea incompleto, sino porque requiere herramientas muy avanzadas? Es decir sea el cálculo que sea, siempre hay proposiciones difíciles de demostrar, sea completo o no.

No me refería a que haya proposiciones difíciles o fáciles de demostrar. Me refería a que es difícil razonar sobre demostraciones formales (de proposiciones totalmente elementales, si quieres) si no sabemos exactamente cuáles son las reglas del juego, es decir, qué está permitido usar y qué no.

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Marzo, 2021, 11:51 pm
Respuesta #33

manooooh

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Hola

Ahora no puedo extenderme mucho, mañana contestaré con un mensaje más completo. (...)

Gracias!!

Me gustaría tener, de una vez y para todas, una especificación completa del cálculo deductivo que puedes usar, sin omitir nada porque "se sobreentiende". Sin eso es difícil decir si se puede demostrar algo con unas reglas dadas o no, porque como te dije antes (ya me explayaré más mañana, en todo caso), lo que preguntas no se puede demostrar sin reglas sobre cuantificadores, que no estaban en la lista que pusiste pero que al final sí que se pueden usar.

La lista completa sería la siguiente (si no me he olvidado de alguna):

Leyes lógicas:

  • Involución.
  • Conmutatividad.
  • Asociatividad.
  • Distributividad.
  • Idempotencia.
  • De Morgan.
  • Absorción.
  • Identidad.
  • Dominación.
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Reglas de inferencia:

  • Modus Ponens
  • Modus Tollens
  • Silogismo hipotético
  • Silogismo disyuntivo
  • Eliminación conjunción
  • Introducción disyunción
  • Introducción/Eliminación cuantificador existencial/universal

Seguramente el cálculo sea no completo como has mencionado tú, pero considero que todas estas son suficientes para demostrar los razonamientos que se dan en el curso que en general no son difíciles, salvo por éste que hubo que hacer uso de la propiedad Identidad \( p\to p\land V \).

No me refería a que haya proposiciones difíciles o fáciles de demostrar. Me refería a que es difícil razonar sobre demostraciones formales (de proposiciones totalmente elementales, si quieres) si no sabemos exactamente cuáles son las reglas del juego, es decir, qué está permitido usar y qué no.

Pensé que cuando afirmabas "Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no" estabas diciendo que "Es difícil demostrar cosas formalmente sin un cálculo completo donde se defina todo con precisión", pero ahora veo que quisiste decir que ya nos dan las demostraciones, y hay que razonar sobre ellas. En ese caso estoy de acuerdo contigo; es como tratar de leer un texto en árabe solamente sabiendo español.

Buenas noches y perdón las molestias

09 Marzo, 2021, 05:44 am
Respuesta #34

manooooh

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Hola

Madre mía... qué ciegos hemos sido! Se puede demostrar de una manera increíblemente más rápida mediante el método propuesto:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,p(x)\lor q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,q(x)\to r(x)&\text{Premisa}\\
3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg p(a)\to q(a)&\text{Equivalencia del condicional 3)}\\
6)&\neg p(a)\to r(a)&\text{Silogismo hipotético 4,5)}\\
7)&p(a)\lor r(a)&\text{Equivalencia del condicional 6)}\\
8)&\exists x\,p(x)\lor r(x)&\text{Introducción existencial 7)}
\end{array}
 \)

¿Está bien?

Igualmente me gustaría leer tu opinión sobre las preguntas de los mensajes anteriores, pero creo que esa prueba deja en evidencia que lo complicado se puede convertir en sencillo.

Saludos

09 Marzo, 2021, 04:30 pm
Respuesta #35

geómetracat

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Hola

Madre mía... qué ciegos hemos sido! Se puede demostrar de una manera increíblemente más rápida mediante el método propuesto:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,p(x)\lor q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,q(x)\to r(x)&\text{Premisa}\\
3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg p(a)\to q(a)&\text{Equivalencia del condicional 3)}\\
6)&\neg p(a)\to r(a)&\text{Silogismo hipotético 4,5)}\\
7)&p(a)\lor r(a)&\text{Equivalencia del condicional 6)}\\
8)&\exists x\,p(x)\lor r(x)&\text{Introducción existencial 7)}
\end{array}
 \)

¿Está bien?

Igualmente me gustaría leer tu opinión sobre las preguntas de los mensajes anteriores, pero creo que esa prueba deja en evidencia que lo complicado se puede convertir en sencillo.

Saludos

Sí, está bien y es muy sencilla. Suponiendo claro que puedas usar la equivalencia de \[ p \to q \] con \( \neg p \vee q \), que no estaba entre las reglas que pusiste en el primer mensaje.


Vuelvo a insistir, según la definición con la que trabajo, un razonamiento es un conjunto de proposiciones en el cual una de ellas, llamada CONCLUSIÓN, se afirma sobre la base de las demás llamadas PREMISAS. Por lo tanto si no hay premisas, no hay conclusión.
¿Por qué? Puedes considerar las premisas como un conjunto vacío en el caso en que no haya premisas.

Citar
De hecho, las proposiciones que se pueden demostrar sin premisas son exactamente las tautologías.

Pero en ese caso se usan las 14 leyes lógicas que mencioné más arriba. Incluso, si no aparecen cuantificadores, se puede demostrar cualquier equivalencia mediante tablas de verdad. ¿O acaso niegas que las tablas de verdad sean útiles para demostrar cualquier tautología, por ejemplo \( \neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q \)?
Vale, pero si puedes usar las leyes lógicas como axiomas, entonces si puedes hacer demostraciones sin premisas. Las tablas de verdad claro que son útiles, pero en principio son un recurso semántico. Si defines una demostración formal como una sucesión de fórmulas donde cada una se obtiene aplicando reglas de inferencia a las anteriores, etc., debes deducir la fórmula a partir de las reglas. Si usas tablas de verdad has demostrado que la fórmula es una tautología, pero no has dado una demostración formal en un cálculo dedcutivo.

Citar
Pongo un ejemplo que quizás sirva para comprender lo completo que puede resultar el cálculo cuando se trabajan con las 14 leyes lógicas y algunas reglas de inferencia demostradas previamente:

Demostrar \(\exists x\,p(x)\lor q(x)\equiv\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\)

Hay que demostrar dos condicionales:

1) \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\to\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \)

2) \( \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\to\exists x\,p(x)\lor q(x) \)

Como cada uno posee una disyunción, será más difícil poder demostrar. Pero podemos usar el contrarrecíproco. Entonces empecemos por 1):

1') \( \forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)\to\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x) \)

Demostremos que este razonamiento es VÁLIDO:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,\neg p(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
3)&\forall x\,\neg q(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
4)&\neg p(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg q(a)&\text{Particularización universal 3)}\\
6)&\neg p(a)\land\neg q(a)&\text{Introducción conjunción 4,5)}\\
7)&\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x)&\text{Generalización universal 6)}
\end{array}
 \)

De forma similar se resuelve 2).

¿Ves qué sencillo fue sin recurrir a cosas como reducción al absurdo, agregado de hipótesis, introducción de tautologías etc? Que son todas excelentes recursos, pero que para este ejemplo puntual no hizo falta nada de eso.
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Este es un ejemplo de las imprecisiones de las que hablo. Pretendes demostrar una equivalencia lógica, que separas en dos partes (hasta ahí todo bien). Pero luego dices que hay que demostrar la fórmula \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\to\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \). Pero no es eso lo que hay que demostrar, sino que bajo la premisa \( \exists x\,p(x)\lor q(x) \) se tiene la conclusión \( \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \), es decir, \( \exists x\,p(x)\lor q(x) \vdash \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \). Pero luego dices que vas a demostrar \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\to\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \) y en cambio acabas probando  \( \exists x\,p(x)\lor q(x) \vdash \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \). ¿Que ambas cosas son equivalentes? Sí, por el teorema de la deducción (con un cálculo deductivo bien especificado y todo eso). Pero no son lo mismo, y las tratas como si lo fueran. Igual que antes de empezar la demostración dices que vas a probar el contrarrecíproco, pero ahí estás usando el metateorema que dice que si \[ \neg \varphi \vdash \neg \psi \] entonces \[ \psi \vdash \varphi \].

En definitiva, lo que pasa no es tanto que no hayas demostrado esa equivalencia, sino que no has dado una demostración formal en un cálculo deductivo.

Lo mismo con lo de las tablas de verdad.

Citar
No será completo pero creo que lo que tenemos es suficiente para un curso de primer año, en el sentido de que definimos una tautología como una proposición que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman y creo que es una definición bastante acertada para un curso de primer año.
Es una definición acertada tanto para primer curso como para último. Esa es la definición de tautología. La cuestióon es si las tautologías son demostrables o no.

Citar
Usando exclusivamente esas reglas que pones, no se puede deducir porque no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores. Estás obligado a tratar la fórmula \[ \exists x(p(x) \vee q(x)) \] como un bloque.

Hombre, pero tú mismo me contestaste lo siguiente:

Si tenemos un razonamiento con al menos una variable cuantificada existencialmente y la conclusión tiene a la misma variable cuantificada universalmente, ¿podemos decir que el razonamiento siempre será inválido?

No sé si entiendo correctamente la pregunta, pero yo diría que no, depende del razonamiento. Por ejemplo, podrías tener algo del estilo:
Premisa: \( \exists x (P(x) \wedge \forall y(y=x)) \)
Conclusión: \( \forall x P(x) \)
Este es un razonamiento válido.

(negrita agregada por mí).

Quisiera saber por qué no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores en el razonamiento en cuestión cuando tú mismo aseguras que "depende del razonamiento".
Son cosas distintas. Una cosa es que el razonamiento sea logicamente válido o no (que es semántico). Otra cosa es si algo se puede demostrar con unas reglas dadas. Lo que yo afirmaba ahora es que con las reglas que pusiste al principio (sin introducción/eliminación de cuantificadores) no se puede dar una demostración formal de lo que pedías. Y esto es así porque no hay nada que puedas hacer con una fórmula del estilo \[ \exists x\, \phi \], en el sentido de que no puedes quitarte de encima el cuantificador existencial para operar con \[ \phi \]. Ahora bien, ya ha quedado claro que sí puedes usar reglas con cuantificadores, así que no hay problemas.

Citar
La demostración que haces por reducción al absurdo está bien, aunque te falta una línea final con la conclusión (descartando la hipótesis en \[ 5 \]).
Sobre de donde viene la contradicción, si introduces una hipótesis (aquí \[ 5 \]) tienes que descartarla para que sea una demostración válida. Por tanto estás obligado a descartar \[ 5 \].

No entiendo eso de descartar hipótesis. ¿Te refieres a que si agrego una hipótesis \( p \), "descartar \( p \)" significa en algún momento del razonamiento llegar a \( p\to q \)? En ese caso no entiendo cómo puede funcionar ese método deductivo (no es deducción natural lo que se ve en el curso).
Lo de introduciir y descartar hipótesis es algo previsto en algunos cálculos deductivos (en deducción natural, en particular). Si no permites eso, lo que no puedes hacer es introducir una fórmula de la nada enmedio de una demostración, como hacías en tu demostración por reducción al absurdo al introducir como "suposición" la negación.

Citar
No es que no está permitido agregar y descartar hipótesis, sino que en el curso no se ve. ¿Me preguntas qué sucede si un alumno lo hace en un examen? Te contesto: no tengo idea, porque nunca ha pasado según me consta.

Sobre lo que se puede usar y lo que no, entiendo que lo dices porque estás convencido que el cálculo que usamos no es completo, y entiendo completamente que un cálculo incompleto no puede demostrar cualquier cosa, pero también debes considerar que este no es un curso de lógica, por lo que no se puede esperar que se estudie en profundidad cálculos deductivos súper útiles, pero que exceden los contenidos de la materia.

En general todos los ejercicios sobre razonamientos que he expuesto, los he podido resolver gracias a mi poco conocimiento y su gran ayuda, de modo que todos los razonamientos son solubles con el método que usamos (no requieren una gran cantidad de líneas). Pero éste en particular me ha costado porque sabía que era válido, pero no podía demostrarlo en base al método.

Más que que no sea completo (si admites las leyes lógicas que pusiste como axiomas, creo que sí lo es), parece que el problema está más bien en que no hay una especificación clara de qué se entiende por una demostración formal, con lo que nunca tengo claro qué tipo de cosas puedes usar o no.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

09 Marzo, 2021, 09:13 pm
Respuesta #36

Carlos Ivorra

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Lo que pasa con todo esto es que si tienes un destornillador en forma de X te parecerán fáciles los tornillos con ranura en forma de X y te parecerán difíciles los que tengan ranura en forma de I, y viceversa, y si tienes los dos destornilladores te parecerán fáciles los dos tipos de tornillos.

Digo que una demostración te parecerá fácil si se hace con las reglas que tienes en tu caja de herramientas y difícil si se evitan algunas reglas porque no sabemos si las tienes o no en tu caja.

Esta respuesta:

La lista completa sería la siguiente (si no me he olvidado de alguna):

Leyes lógicas:

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Reglas de inferencia:

  • Modus Ponens
  • Modus Tollens
  • Silogismo hipotético
  • Silogismo disyuntivo
  • Eliminación conjunción
  • Introducción disyunción
  • Introducción/Eliminación cuantificador existencial/universal

No me parece muy informativa, porque no siempre es fácil conjeturar a qué corresponde cada nombre. Por ejemplo, "condicional" podrían ser muchas reglas distintas. Y tengo especial curiosidad por saber cómo tienes enunciadas las reglas de introducción y eliminación de los cuantificadores, porque tengo la impresión de que requerirían algunas sutilezas por las que no te veo preocuparte mucho cuando las usas (aunque hasta ahora las has usado correctamente).

15 Marzo, 2021, 03:36 pm
Respuesta #37

manooooh

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Hola

Me gusta que se "pique" el debate, me gusta. :P Desde ya agradecerles.

Antes que nada aclararles que la ley del Condicional es la típica equivalencia \( p\to q\equiv\neg p\lor q \), y la del bicondicional es \( p\leftrightarrow q\equiv p\to q\land q\to p \). Nuevamente, intuí que el uso era bastante frecuente como para aclararlo pero veo que no fue así.

Sí, está bien y es muy sencilla. Suponiendo claro que puedas usar la equivalencia de \[ p \to q \] con \( \neg p \vee q \), que no estaba entre las reglas que pusiste en el primer mensaje.

Sí que estaba y es la regla 11 (arriba puse la equivalencia).

¿Por qué? Puedes considerar las premisas como un conjunto vacío en el caso en que no haya premisas.

No sabría decirte en ese caso. Aunque personalmente me parece lógico que si no hay restricciones sobre el conjunto de premisas, éste pueda ser el vacío. Perfectamente.

Vale, pero si puedes usar las leyes lógicas como axiomas, entonces si puedes hacer demostraciones sin premisas. Las tablas de verdad claro que son útiles, pero en principio son un recurso semántico. Si defines una demostración formal como una sucesión de fórmulas donde cada una se obtiene aplicando reglas de inferencia a las anteriores, etc., debes deducir la fórmula a partir de las reglas. Si usas tablas de verdad has demostrado que la fórmula es una tautología, pero no has dado una demostración formal en un cálculo dedcutivo.

Claro que las leyes que mencioné se consideran como axiomas, así como se da por hecho que la suma y producto de funciones continuas son continuas.

En definitiva, lo que pasa no es tanto que no hayas demostrado esa equivalencia, sino que no has dado una demostración formal en un cálculo deductivo.

Si bien capto la esencia de lo que dices (que estoy siendo contradictorio con lo que afirmo pero lo demuestro bien), a nivel de asignatura de una carrera no matemática, ¿tú te pondrías puntilloso con estas correcciones? Ya sé que yo fui quien lo preguntó y agradezco que me lo hagas notar, pero también me parece importante ese otro punto.

Es una definición acertada tanto para primer curso como para último. Esa es la definición de tautología. La cuestióon es si las tautologías son demostrables o no.

Ese es un punto importante pero que escaparía atender en un curso no dirigido a futuros matemáticos.

Lo de introduciir y descartar hipótesis es algo previsto en algunos cálculos deductivos (en deducción natural, en particular). Si no permites eso, lo que no puedes hacer es introducir una fórmula de la nada enmedio de una demostración, como hacías en tu demostración por reducción al absurdo al introducir como "suposición" la negación.

Pero muchas veces he usado reducción al absurdo (no en este tipo de ejercicios donde se listan propiedades una debajo de otra) sin temor a meter fórmulas de la nada en medio de la demostración.

Sin ir más lejos, un ejemplo sería demostrar que la solución de la ecuación \( 2x=2 \) es única, y para eso se supone otra solución más distinta a la original, es decir sean \( x_1,x_2 \) dos soluciones con \( x_1\neq x_2 \) (hipótesis agregada de la nada). Luego \( 2x_1=2 \) y \( 2x_2=2 \) es decir \( 2x_1=2x_2 \) de donde \( x_1=x_2 \). Contradicción. ¿O sea que como trabajé hasta ahora está mal porque el cálculo que uso no es completo/preciso?

Más que que no sea completo (si admites las leyes lógicas que pusiste como axiomas, creo que sí lo es), parece que el problema está más bien en que no hay una especificación clara de qué se entiende por una demostración formal, con lo que nunca tengo claro qué tipo de cosas puedes usar o no.

Puede ser eso y estemos dando vueltas como unos campeones. En realidad en el curso no se define qué es una prueba formal, porque básicamente depende del tópico a estudiar. Si estamos en la Unidad de Lógica es necesario dar una prueba del estilo que esbocé como correcta. Pero por ejemplo si estamos en la Unidad de Grafos, digrafos y árboles, con sólo justificar en pocas líneas en castellano por qué se cumple tal o cual propiedad (y a veces acompañado de un pequeño bosquejo), es suficiente como para dar por aprobado el ejercicio.



Digo que una demostración te parecerá fácil si se hace con las reglas que tienes en tu caja de herramientas y difícil si se evitan algunas reglas porque no sabemos si las tienes o no en tu caja.

Así como he sido preciso con la numeración de todos los axiomas que estamos considerando, me gustaría que ustedes también sean precisos con qué regla o axioma no está claro qué significa. Más que nada para determinar si una vez por todas, estoy trabajando con un cálculo confiable, completo, seguro.

No me parece muy informativa, porque no siempre es fácil conjeturar a qué corresponde cada nombre. Por ejemplo, "condicional" podrían ser muchas reglas distintas. (...)

Claro, porque si consideras una proposición cualquiera, siempre encontrarás infinitas equivalentes. Pero quédate tranquilo que de entre el universo posible, estoy considerando la más habitual y es la que puse al inicio de este mensaje. ::)

(...) Y tengo especial curiosidad por saber cómo tienes enunciadas las reglas de introducción y eliminación de los cuantificadores, porque tengo la impresión de que requerirían algunas sutilezas por las que no te veo preocuparte mucho cuando las usas (aunque hasta ahora las has usado correctamente).

Usted lo pide, usted lo tiene:

Reglas de inferencia para razonamientos categóricos (con cuantificadores)
Estas reglas son las que nos permiten "poner" o "sacar" los cuantificadores:

\(
\begin{array}{l|l}
\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

¿Algo para señalar?

Saludos

15 Marzo, 2021, 08:01 pm
Respuesta #38

geómetracat

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Me gusta que se "pique" el debate, me gusta. :P Desde ya agradecerles.
Espero que no suene muy borde, no es mi intención.

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Sí, está bien y es muy sencilla. Suponiendo claro que puedas usar la equivalencia de \[ p \to q \] con \( \neg p \vee q \), que no estaba entre las reglas que pusiste en el primer mensaje.

Sí que estaba y es la regla 11 (arriba puse la equivalencia).
Sí. Ahí me refería al primer mensaje, fobde ponías solo las reglas de inferencia, y no los axiomas.

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Claro que las leyes que mencioné se consideran como axiomas, así como se da por hecho que la suma y producto de funciones continuas son continuas.
De ese tipo de cosas me quejo cuando digo que no especificas totalmente el cálculo deductivo. Al final parece que ha quedado más claro.

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Si bien capto la esencia de lo que dices (que estoy siendo contradictorio con lo que afirmo pero lo demuestro bien), a nivel de asignatura de una carrera no matemática, ¿tú te pondrías puntilloso con estas correcciones? Ya sé que yo fui quien lo preguntó y agradezco que me lo hagas notar, pero también me parece importante ese otro punto.

(...)

Ese es un punto importante pero que escaparía atender en un curso no dirigido a futuros matemáticos.
Pues no sé, depende de lo que se pretenda. A mí personalmente me pone muy nervioso lo de hacer demostraciones formales sin que me hayan dado una descripción total del cálculo, y sepa a la perfección que vale y que no. Veo más difícil hacer ejercicios así que si te dan todas las reglas, de forma que no te puedes salir de ahí.

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Pero muchas veces he usado reducción al absurdo (no en este tipo de ejercicios donde se listan propiedades una debajo de otra) sin temor a meter fórmulas de la nada en medio de la demostración.

Sin ir más lejos, un ejemplo sería demostrar que la solución de la ecuación \( 2x=2 \) es única, y para eso se supone otra solución más distinta a la original, es decir sean \( x_1,x_2 \) dos soluciones con \( x_1\neq x_2 \) (hipótesis agregada de la nada). Luego \( 2x_1=2 \) y \( 2x_2=2 \) es decir \( 2x_1=2x_2 \) de donde \( x_1=x_2 \). Contradicción. ¿O sea que como trabajé hasta ahora está mal porque el cálculo que uso no es completo/preciso?

Pero es que una demostración formal no es lo mismo que una informal. El argumento que escribes (en español) está muy bien, y nadie te va a decir que eso no es una demostración. El problema viene cuando quieres formalizar ese argumento en un cálculo deductivo. Entonces, dependiendo del cálculo habrá que hacerlo de una manera u otra. Si estás usando deducción natural puedes meter hipótesis de la nada y luego descartarlas. Si estás usando cálculos tipo Hilbert (como el que parece que usas tú) no puedes hacerlo. Lo único que puede aparecer ahí son premisas, axiomas, o fórmulas que se deduzcan de las anteriores usando reglas de inferencia.

Esto de los cálculos deductivos es como los lenguajes de programación. Tú puedes describir un algoritmo en castellano o en inglés y que otra persona lo entienda perfectamente. Pero si quieres programarlo (pongamos en C) y escribes la descripción en inglés te dará error. Tienes que "traducir" el algoritmo a la sintaxis de C. Y no es lo mismo escribirlo en C que en Python que en ensamblador. Cada uno tiene su sintaxis y su capacidad expresiva. Cosas que puedes hacer fácilmente en uno cuesta más de hacer en otro. Pues con los cálculos deductivos y las demostraciones formales pasa lo mismo. La demostración que has escrito en castellano está clara, pero a la hora de dar una demostración formal tienes que traducirla al cálculo deductivo que uses, y depende del cálculo que uses tendrás que traducirla de una forma o de otra. Si usas un cálculo tipo Hilbert y metes en medio una fórmula que te sacas de la manga (una suposición) te da un "error de sintaxis".

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Puede ser eso y estemos dando vueltas como unos campeones. En realidad en el curso no se define qué es una prueba formal, porque básicamente depende del tópico a estudiar. Si estamos en la Unidad de Lógica es necesario dar una prueba del estilo que esbocé como correcta. Pero por ejemplo si estamos en la Unidad de Grafos, digrafos y árboles, con sólo justificar en pocas líneas en castellano por qué se cumple tal o cual propiedad (y a veces acompañado de un pequeño bosquejo), es suficiente como para dar por aprobado el ejercicio.
Sí, ese es el problema. Ya he dicho antes que a mí trabajar de esta manera, hacer demostraciones formales sin que me hayan definido qué es una demostración formal, me pone nervioso. Pero igual es cosa mía.

Citar
\(
\begin{array}{l|l}
\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

¿Algo para señalar?

En la particularización existencial hay que pedir que \[ a \] sea una variable nueva (que no haya aparecido ya en la demostración). En la generalización universal, ¿cómo defines \[ a \] genérico?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Marzo, 2021, 09:52 pm
Respuesta #39

Carlos Ivorra

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Me gusta que se "pique" el debate, me gusta. :P Desde ya agradecerles.

No sé si usas "picar" en algún sentido que no sea usual aquí en España, porque no sabría darle un sentido a esa frase.

Así como he sido preciso con la numeración de todos los axiomas que estamos considerando, me gustaría que ustedes también sean precisos con qué regla o axioma no está claro qué significa. Más que nada para determinar si una vez por todas, estoy trabajando con un cálculo confiable, completo, seguro.

No veo la relación entre la completitud de tu cálculo deductivo y el hecho de que tiendas a ocultar sus reglas de inferencia. ¿No sería más sencillo que los indicaras explícitamente? ¿Dominación? ¿Simplificación? ¿Adición? Podría apostar por un posible significado, pero, ¿no sería más fácil que formularas las reglas como reglas y no como adivinanzas?

Por ejemplo, "condicional" podría haber sido perfectamente \( p\rightarrow q \equiv \lnot(p\land \lnot q) \). ¿Por qué tendría que haber supuesto que es la que indicas y no ésta?

Claro, porque si consideras una proposición cualquiera, siempre encontrarás infinitas equivalentes. Pero quédate tranquilo que de entre el universo posible, estoy considerando la más habitual y es la que puse al inicio de este mensaje. ::)

No sabría yo si \( p\rightarrow q \equiv \lnot(p\land \lnot q) \) es más o menos habitual que la que has indicado. Tal vez la que has dicho sea más habitual, pero, si te lee alguien que sólo haya leído un libro de lógica que esté siguiendo y para él la regla del condicional es la que te puesto yo ¿te parece razonable que tenga que hacer un estudio bibliográfico-estadístico para entenderte?

Usted lo pide, usted lo tiene:

Reglas de inferencia para razonamientos categóricos (con cuantificadores)
Estas reglas son las que nos permiten "poner" o "sacar" los cuantificadores:

\(
\begin{array}{l|l}
\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

¿Algo para señalar?

Pues exactamente lo que te ha señalado geómetracat.