Autor Tema: Combinatoria, simplificar factoriales

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25 Abril, 2018, 08:40 pm
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Miguel.Angel

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Buenas tardes chic@s,

Tengo el siguiente problema de combinatoria de oposición de profesor de matemáticas.

En el interior del cuello de un matraz invertido hay 2n bolas blancas y 2n bolas negras idénticas salvo en el color, situadas una encima de la otra. En la mitad inferior del cuello están las bolas negras. Se da la vuelta al matras, se agita y se vuelve a invertir.

a) Calcular la probabilidad de que en la parte inferior del cuello haya exactamente p bolas negras y 2n-p bolas blancas.


Definimos el suceso \( A_p \) = "extraer p bolas negras y 2n-p bolas blancas"

\( P (A_p) \) = \( \displaystyle\frac{Casos  favorables}{Casos  totales} \) = \( \displaystyle\frac{\binom{2n}{p} \binom{2n}{2n-p}}{\binom{4n}{2n}} \) = \( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(2n)!}{p!(2n-p)!} \displaystyle\frac{(2n)!}{(2n-p)!p!}}{\displaystyle\frac{(4n)!}{(2n)!(2n)!}} \) = \( \displaystyle\frac{[(2n)!]^4}{(p)!^2 (4n)![(2n-p)!]^2} \)

Mi pregunta es si sería correcto y si se podría simplificar más esta última expresión.

Gracias compañeros.

Un saludo a tod@s


26 Abril, 2018, 11:27 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas tardes chic@s,

Tengo el siguiente problema de combinatoria de oposición de profesor de matemáticas.

En el interior del cuello de un matraz invertido hay 2n bolas blancas y 2n bolas negras idénticas salvo en el color, situadas una encima de la otra. En la mitad inferior del cuello están las bolas negras. Se da la vuelta al matras, se agita y se vuelve a invertir.

a) Calcular la probabilidad de que en la parte inferior del cuello haya exactamente p bolas negras y 2n-p bolas blancas.


Definimos el suceso \( A_p \) = "extraer p bolas negras y 2n-p bolas blancas"

\( P (A_p) \) = \( \displaystyle\frac{Casos  favorables}{Casos  totales} \) = \( \displaystyle\frac{\binom{2n}{p} \binom{2n}{2n-p}}{\binom{4n}{2n}} \) = \( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(2n)!}{p!(2n-p)!} \displaystyle\frac{(2n)!}{(2n-p)!p!}}{\displaystyle\frac{(4n)!}{(2n)!(2n)!}} \) = \( \displaystyle\frac{[(2n)!]^4}{(p)!^2 (4n)![(2n-p)!]^2} \)

Mi pregunta es si sería correcto y si se podría simplificar más esta última expresión.

Está bien y no veo una forma relevante de simplifcarlo más.

Podrías incluso dejarlo como:

\( \dfrac{\left(\binom{2n}{p}\right)^2}{\binom{4n}{2n}} \)

Saludos.