Yo diría que el motivo por el que da la sensación de que se usa más EC que ID es porque normalmente en matemáticas se prueban cosas de la forma \( \varphi_1 \wedge \varphi_2 \wedge \dots \wedge \varphi_n \to \psi \), y es más raro tener que probar teoremas donde la conclusión es una disyunción. Es decir, la situación más habitual es cuando tienes varias hipótesis pero una única tesis. Para ir usando las hipótesis de forma individual tienes que ir usando EC para sacarlas de la conjunción de las hipótesis.
En cambio, es menos frecuente tener demostrado algo de la forma \( \phi \) y tener que probar \( \phi \vee \psi \). La situación más normal en que tengas que hacer algo así (que se me ocurra a mí), es cuando quieres usar una hipótesis intermedia de la forma \( \phi \vee \psi \to \xi \). Esto es necesario a veces, pero es más infrecuente que lo primero.

Yo creo que es más común usar EC, pero ¿por qué? ¿Acaso la IC no es también útil en ciertos contextos?

Esto me ha hecho gracia, parece que se esté discriminando a la ID o algo así. Por supuesto que es útil en ciertos contextos, como ya he explicado, y en ocasiones es imprescindible. A fin de cuentas, sin ID el cálculo deductivo no sería completo. Lo único que sucede es que las situaciones en que ID es necesaria se dan con menos frecuencia que las situaciones en que EC es necesaria.

Hola!

Me preguntaba si en las demostraciones matemáticas es más frecuente encontrarse con una eliminación de la conjunción (EC) o con una introducción de la disyunción (IC), ya que ambas son tautologías y para mí tienen algo en común que las hace especiales: son "operaciones opuestas" (una deshace y la otra agrega).

Yo creo que es más común usar EC, pero ¿por qué? ¿Acaso la IC no es también útil en ciertos contextos?

Disculpen si es una pregunta filosófica, a veces creo que estas cosas se estudian y creo que vale para algo preguntarse .

Gracias!
Saludos

Hola si es cierto estoy investigando no logro dar con esta demostracion pero ese fue el enunciado que me dieron alguna otra idea colega.

Hola

2. Si la tormenta continúa o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir. Si nos quedamos a cenaro a dormir, no iremos mañana al concierto. Pero si iremos mañana al concicrto. Asi pues, la tormenta no contincin.
Forma lógica: Premisas:
I.Si la tormenta continúa o anochece, entonces nos quediaremos a cenar o a dormir.
2. Si nos quedamos a cenar o a dormir, cntonces no iremos mañana al concicrto.
2. Pero si iremos mañana al concicrto.
Conclusión: Así pues, la tormenta no eontinüa.
Fórmula: p: La tormenta contimua.
q: Anochece.
r. Nos quedamos a cenar.
s: Nos quedamos a domir
t: Iremos mañana al concierto.
$$
{(p \vee q) \Rightarrow(r \vee s)]\wedge[(r \vee s) \Rightarrow \sim t] \wedge t} \Rightarrow \sim p
$$

Bien. El "2." está repetido, quedaría: "3. Pero sí iremos mañana al concierto".

3.Si el ejército marcha contra el enemigo, tiene posibilidades de éxito; y arrasará la capital enemiga,si tiene posibilidades de exito. O el ejército marcha contra el enemigo, o se repliega rápidamente. Si se repliega, rapidamente, el enemigo atacará su retaguardia; y perderá la guerra, si el enemigo ataca su retaguardia. Por lo tanto, si no arrasa la capital enemiga, perderá la guerra.
rma lógica: Premisas:
1.Si el ejército marcha contra el enemigo entonces tiene posibilidades de éxito; y arrasará la capital enemigoe entonces si tiene posibilidades de éxito.
2.O el ejército marcha contra el enemigo, o se repliega rápidamente, o Si se repliega rápidamente, entonces emigo atacará su retaguardia;
3.y perderá la guerra, entonces, si el enemigo ataca su retaguardia.

Hasta aquí podría objetar que separaste mal las premisas porque cortaste en un lugar donde no había punto. Sería:

1.Si el ejército marcha contra el enemigo entonces tiene posibilidades de éxito; y arrasará la capital enemigoe entonces si tiene posibilidades de éxito.
2.O el ejército marcha contra el enemigo, o se repliega rápidamente.
3.Si se repliega rápidamente, entonces emigo atacará su retaguardia; y perderá la guerra, entonces, si el enemigo ataca su retaguardia.

Conclusión: si no arrasa la capital enemiga, perderá la guerra.
Formula:
p: el ejército marcha contra el enemigo.
q: tiene posibilidades de éxito.
r: arrasará la capital enemiga.
s: se repliega rápidamente
t: el enemigo atacará su retaguardia.
u: perderá la guerra.
$$
\{[(p \Rightarrow q) \wedge(r \Rightarrow q)] \wedge(p \vee s) \wedge[(s \Rightarrow t) \wedge(u \Rightarrow t)]\} \Rightarrow(\sim r \Rightarrow u)
$$

Luego pones \( (r \Rightarrow q) \), pero es al revés; ahí estás diciendo "Si el ejército arrasa la capital enemiga, entonces tiene posibilidades de éxito" pero fíjate que en el texto original el "si..." viene luego. No se cambian de lugar porque venga después, es un simple juego de palabras. Por ejemplo: "Si hoy llueve, el piso se moja" es lo mismo que "El piso se moja, si hoy llueve".

Lo mismo sucede con \( (u \Rightarrow t) \). Entonces arreglando todo quedaría:

\( \left\{\ \left[\ \left(p\Longrightarrow q\right)\land\left(q\Longrightarrow r\right)\ \right]\land\left(\ p\vee s\ \right)\land\left[\ \left(s\Longrightarrow t\right)\land\left(t\Longrightarrow u\right)\ \right]\ \right\}\Longrightarrow\left(\ \lnot r\Longrightarrow u\ \right) \)

4. Todo número entero o es primo o es compuesto. Si es compuesto, es un producto de factores primos, y si es un producto de factores primos, entonces es divisible por ellos. Pero si un nủmero entero es primo, no es compuesto, aunque es divisible por sí mismo y por la unidad, y consiguientemente, también divisible por números primos. Por tanto, todo número entero es divisible por nủmeros primos.
Forma lógica: Premisas:
1. Todo número entero o es primo o es compuesto.
2. Si es compuesto, entonces es un producto de factores primos,
3.y si es un producto de factores primos, entonces es divisible por ellos.
4. Pero si un número entero es primo, entonces no es compuesto, aunque es divisible por si mismo y por la unidad, y consiguientemente, también divisible por nủmeros primos.
Conclusiỏn: todo número entero es divisible por números primos.
Fórmula: p: Todo número entero es primo:
q: Todo nủmero entero es compuesto.
$r$ : todo número entero compuesto es un producto de factores primos
s: ser divisible por factores primos
t: ser divisible por si mismo.
u: ser divisible por la unidad.
$$
\{[(p \vee q) \wedge(q \Rightarrow r) \wedge(r \Rightarrow s) \wedge[(p \Rightarrow \sim q) \wedge(t \wedge u)] \Rightarrow s)\} \color{red}\Rightarrow(p \vee q)\color{black} \Rightarrow s
$$

Casi está bien. Lo más importante: No sé de dónde sale el \( \color{red}\Rightarrow(p \vee q)\color{black} \).

Lo menos importante: La forma en que defines las proposiciones simples no está bien técnicamente. Dices que \( q \) es "Todo número entero es compuesto" con lo que \( p\vee q \) en realidad representa "O todo número entero es primo o todo número entero es compuesto" que no es lo mismo que "Todo número entero o es primo o es compuesto". Para decir esto último habría que hacer uso de cuantificadores aplicados a predicados, ya que te está hablando de una cantidad incierta de números enteros, no sabes cuántos, por eso habría que hacer algo como: \( p(x)\colon``\text{\(x\) es un número entero primo}" \), \( q(x)\colon``\text{\(x\) es un número entero compuesto}" \), con lo cual la primera oración pasaría a ser: \( \forall x\colon p(x)\vee q(x) \). Pero dado que no sé si aun te definieron estas cosas, lo mejor sería salvar esto y "hacer de cuenta" que puedes definir proposiciones de esa manera.

Saludos

probar que si una funcion $$f$$ es de clase $$C^1$$,  en un punto $$a$$ de un abierto $$A$$ de $$R^n$$, entonces ella es diferenciable en ese mismo punto a.

¿Seguro que has copiado bien el ejercicio? Porque así descrito no tiene mucho sentido, la definición de ser de clase \( C^1 \) implica que es una función diferenciable al menos en el interior de su dominio, o sea, no habría nada que probar.