Pruebe que \( f(x)=x(1-x) \) es continua si \( f:(\mathbb{R},d_{*})\longrightarrow
(\mathbb{R},d_{usu}) \) donde  \( d_{*}(x,y)=\min \{|x-y|,1-|x-y|\} \).

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Ok gracias Masacroso, intentaré probar el teorema, de acuerdo a lo que he investigado.



Supongamos que se cumple ii)

Sea \( \epsilon>0 \) un número dado. Consideremos los valores \( (x,y) \) de tal forma que satisfacen \( 0<\sqrt[ ]{(x-0)^2+(y-0)^2}<\delta \). Y consideremos las variables \( r>0 \) y \( \theta\in{[0,2\pi)} \) tal que, \( x=rcos(\theta) \) e \( y=rsen(\theta) \). Esto implica que \( r\in{(0,\delta)} \) y como se cumple ii), tenemos:

\( \left |{f(x,y)-L}\right |=\left |{f(rcos(\theta),rsen(\theta))-L}\right |<\epsilon \).  Por lo tanto \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{f(x,y)}=L \).


Ahora supongamos que \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{f(x,y)}=L \).

Por definición de límite,  para todo \( \epsilon>0 \)  existe un  \( \delta>0 \), tal que \( \left |{f(x,y)-L}\right |<\epsilon \) para todo \( (x,y) \) tal que \( 0<\sqrt[ ]{(x-0)^2+(y-0)^2}<\delta \). Debido a que \( (rcos(\theta),rsen(\theta)) \) satisface la desigualdad \( 0<\sqrt[ ]{(x-0)^2+(y-0)^2}<\delta \) para todos los \( r\in{(0,\delta)} \) y \( \theta\in{[0,2\pi)} \), tenemos que  \( \left |{f(rcos(\theta),rsen(\theta))-L}\right |<\epsilon \), por lo tanto se cumple ii).



Cualquier ayuda es bienvenida,



Muchas Gracias.