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Mensajes - yotas

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Análisis Matemático / Limites relacionados de una función.
« en: 24 Abril, 2014, 05:21 am »
¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente problema:

Sea \( f:[0. +\infty]\rightarrow\ \mathbb{R} \) una función acotada en cada intervalo acotado. \( Si \lim_{x\rightarrow \infty} [f(x+1)-f(x)]=L] \) entonces

\( \lim_{x\rightarrow \infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x}=L \)

No he encontrado un camino para lograr demostrarlo. Me serviría un consejo.

¡Gracias por las sugerencias y comentarios!  ;D

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Docencia / ¿Cómo calificar?
« en: 23 Abril, 2014, 06:57 am »
¡Buenas, buenas!

Suelo pasar mucho tiempo pensando en cuál debería ser la manera de calificar de un profesor. Suelo asumir que un examen no es la mejor idea, pero también considero que no sé responder por una alternativa ¿conocen ustedes maneras distintas de calificar o evaluar un estudiante? Hay varias razones a considerar, por poner algunas

1. En un examen se llega a valorar poco la actividad extra clase que realiza el estudiante. Como los libros que consulta, la forma en la que toma los apuntes, las dudas que se le pudieron generar.

2. Aunque hay maneras de disminuir este factor, la "suerte" suele jugar su papel. Es muy posible que los problemas que colocan no se les encuentre el truco al momento y no se logre resolver. Me refiero a disminuir el factor en los casos en que se sabe que un examen sale de un taller, por ejemplo.

3. Aunque yo considero este factor menos frecuente (de existir datos cuantitativos estaría feliz) deben contarse la cantidad de personas con conocimiento en lo que se evalúa que suelen llenarse de nervios en las evaluaciones.

Asunto que considero suceden pero que son más difíciles de discutir:

4. El interés de un estudiante se ve muy por menorisado, quiero decir, se valora poco o para el estudiante es importante guardárselo. Cuando se preparara una persona para un parcial, suele tener una cantidad fija de temas que debe estudiar, y puede que incluso un libro fijo. En caso que el estudiante sienta curiosidad por algún otro tema que se encuentre mientras aprende aquellos que se dictan en la clase, deberá dejarlos para después -limitando su entusiasmo- puesto que en el momento no le será posible.

5. Considero que cuando el conjunto de temas es muy fijo, la creatividad se ve poco motivada. Como sucede en un examen hay un conjunto de temas y un conjunto de posibles problemas, un estudiante preferirá prepararse para resolver los problemas antes que adentrarse en la materia para comprenderla, y con resolver, me refiero únicamente a saber resolver los problemas para los que se prepara, no la habilidad para responder problemas que la materia permite resolver.

No sé qué puntos se puedan añadir y/o analizar de mi lista, para discutir y criticar.

La amenaza motivacional que se vive para intentar obtener buenas notas en un examen no es la alegría de aprender, sino un numerito en tu promedio, que tiene mucha influencia en las entradas que se puedan tener dentro y fuera de la universidad.

Incapaz como soy de pensar aún en otras maneras de evaluación creo que un examen (duración: 2 horas) debe contar en lo posible con las siguientes propiedades:

i. Procurar que evalúe los temas dictados que lo definen a nivel de comprensión, es decir, que los numerales busquen que al responderse obtengan del estudiante una confirmación de que entiende cierto concepto a evaluar. Con esto quiero que se omitan los ejercicios que requieren larga reflexión o haberlos buscando antes o un truquillo.

ii. Si es posible, que recoja a un nivel mayor temas que le son anteriores. Por ejemplo, en caso de numerabilidad en análisis, un buen manejo elemental de la numerabilidad en un primer curso de conjuntos.

iii. Sin entrar en conflicto con lo dicho en i.  un examen debe ser correspondiente a lo dictado en clase o aspectos que podamos considerar anexos (artículos, páginas web...,etc).

Sé que hay maneras de evaluar más amplias y que acogen más maneras de aprender, no he querido gastar demasiado tiempo en ellas (ahora tengo un poco para hacerlo) porque me dan la impresión que requieren algo que se tiene pocas veces: o un número pequeño de estudiantes o estudiantes entusiasmados. Si alguien conoce alguna, sería bien escuchada.

En general, tengo algo claras mis perspectivas en cuento a la pedagogía en la cabeza, pero cuando intento escribirlas me vuelvo una bola. Entonces, este espacio, puede ayudar a aclarar ideas (no sólo mías) en cuanto a modos de evaluación.

Quisiera preguntar ¿por qué usar el examen como método usual para la evalución y no otro? En algunas ocasiones me da la impresión que es facilidad algorítmica.

Otro aspecto importante a decir, es que estas son las ideas que está dando un estudiante, un estudiante que acaba está saliendo de finales (y por tanto tiene mucho odio en su interior  :P ) y entonces las ideas que bien podrían complementar alguien con experiencia enseñando se me escapan.

¡Agradezco cualquier aporte a la discusión!  ::)

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Análisis Matemático / Resta de compactos es compacto.
« en: 20 Abril, 2014, 08:38 pm »
¡Buenas buenas!

Tengo el siguiente problema:

Dado que \( K_1, K_2 \) subconjunto de los números reales son compactos entonces \( K_1-K_2=\{x_1-x_2 : x_1\in K_1, x_2\in K_2\} \) es compacto.

Y la siguiente demostración:

Sea \( \Lambda \) un recubrimiento abierto de \( K_1-K_2 \). Para cada \( x_2\in K_2 \) tenemos que el conjunto \( K_1-x_2 \) es compacto puesto que \( K_1 \) lo es, por tanto para cada \( x_2\in K_2 \) existe un subrecubrimiento finito de \( \Lambda \) que recubre a \( K_1-x_2 \), llamémoslo \( \mathcal{O}_{x_1} \). Tenemos que \( \cup{\mathcal{O}_{x_1} \) recubre a \( K_1-K_2 \). Luego, como \( K_2 \) es compacto podemos obtener una cantidad finita \( y_1, y_2,..., y_n\in K_2 \) tal que para cada \( x_1\in K_1 \) el recubrimiento \( \mathcal{O}=\cup{\mathcal{O}_{y_i}}_{i=1}^m \)  recubra a  \( x_1- K_1 \). Por tanto \( \mathcal{O} \) es un subrecubrimiento finito de \( \Lambda \) que recubre a \( K_1-K_2 \), luego \( K_1-K_2 \) es compacto.

Digamos que me creo la demostración. Pero la parte en rojo me causa dudas, no me parece claro. ¿Podría alguien ayudarme a aclarármelo?

¡Gracias por las ayudas y comentarios!

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Matemáticas Generales / Función generatriz
« en: 18 Abril, 2014, 10:22 pm »
¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente problema

Sea \( p(n) \) el número de particiones no restringidas de \( n \). Sea \( f(x) \) la función generatriz de \( p(n) \) explique por qué:

\( f(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{1-x^n}} \)


... Bueno, el asunto es que me doy cuenta que la función \( f_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots \) cuenta el número de formas que se puede escribir un número como suma de un sólo término (sí mismo) luego cada coeficiente es \( 1 \). En caso de \( f_2(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x}\displaystyle\frac{1}{1-x^2}=(1+x+x^2+x^3+\cdots)(1+x^2+x^4+x^6\cdots) \) noto que el coeficiente cuenta las distintas maneras en que puede escribirse un número como suma de un sólo término y de dos términos y así... pero no creo que esto constituya una explicación.

Había visto en internet algo como: El uno puede contribuir en la suma 0,1,2,3... veces entonces el primer término es (1+x+x^2+\cdots), el dos puede contribuir en la suma 0,1,2,3... veces entonces el segundo término es (1+x^2+x^4+x^5\cdots). Siguiendo con este razonamiento encontramos que el la función generatriz es

\( \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{1-x^n}} \)

Pero también suena muy "tirada" -o ya de conocedores...

¿cómo estaría bien una explicación de que \( f(x) \) sí tiene la forma mencionada?

¡Gracias por las ayudas y comentarios!

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- Otros - / Ranas saltándose entre sí.
« en: 18 Abril, 2014, 08:51 pm »
¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente problema:

Tres ranas son colocadas en tres vértices de un cuadrado. Cada minuto, una rana salta sobre otra de tal modo que la "saltada" es el punto medio del segmento que define el punto inicial y el punto final de la rana "saltadora". ¿En algún momento alguna rana ocupará el vértice del cuadrado que en principio estaba sin ocupar?

Adjunto mi solución, con ánimos de preguntar si es correcta y a sabiendas que no tengo buena habilidad para dar con las respuestas sencillas a estos problemas sencillos, entonces pregunto ¿alguien conoce -o le resulta- una prueba más sencilla?

¡Gracias por las ayudas y sugerencias!

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Observa que ese conjunto que propones es la imagen de la aplicación \( f:K_{1}\times K_{2}\longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \) dada por \( f(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}| \)

Esto no lo puedo usar. Pero es fabuloso :D

Por lo tanto la subsucesión de \( K \) dada por \( |x_{n_{k_{j}}}-y_{n_{k_{j}}}| \) converge a \( |x-y|\in K \). Por lo tanto \( z=|x-y|\in K \)

Pero no es una subsucesión (o no necesariamente) de \( (|x_{n}-y_{n}|) \) ¿no hay problema con eso? ¿cómo llegas a que \( z=|x-y| \)?

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¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente ejercicio:

Si \( K_1, K_2 \) son conjunto compactos en \( R \) disjuntos no vacíos muestre que existe \( k_1, k_2\in K_1, K_2 \) respectivamente tales que \( 0<|k_1-k_2|= inf \{|x_|-x_2| : x_1\in K_1 , x_2\in K_2 \} \).

Intento
Bueno, la idea era demostrar que \( K= \{ |x_|-x_2| : x_1\in K_1 , x_2\in K_2 \} \) es compacto, sin embargo cada intento no ha resultado. Tratar de demostrar que es cerrado y acotado fue el primer intento y mostrar que es acotado es sencillo, no así demostrar que es cerrado.

Es que en caso que \( K \) sea compacto el resto de resultados son directos.
[cerrar]

¿Algún consejo?  ;D

¡Gracias por las ayudas y comentarios!

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Cálculo 1 variable / Re: Derivada n-ésima de una función
« en: 17 Abril, 2014, 04:21 pm »
Mira que:
el exponente aumenta su numerador en números impares de dos en dos.
el numerador del coeficiente alterna de signos mientras se multiplica por números impares \( 1, 1 (-1) , 1\cdot(-1)\cdot (-3),1\cdot(-1)\cdot (-3)\cdot (-5)  \) tal vez así lo veas más claro.
El denominador del coeficiente lo tienes claro  :P

Saludos.

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Estructuras algebraicas / Teoría de campos.
« en: 07 Abril, 2014, 10:21 pm »
¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente teorema

Sea \( E/F \) una extensión finita, y sea \( F' \) una extensión cualquiera de F. Suponga que \( E, F' \) están contenida en algún campo y sea \( EF' \) su composición. Entonces
\( [EF' : F']\leq [E: F] \)

Me dice que la demostración se hace por inducción escribiendo \( E= F(\alpha_1, ..., \alpha_r) \) pero en el libro (el Lang) define \( F(\alpha)  \) como el campo generado por \( 1, \alpha,..., \alpha^{n-1} \) donde \( n \) es el grado del polinomio irreducible de \( \alpha \) donde \( \alpha \) es algebraico. Entonces ¿toda extensión finita puede escribirse así? ¿o \( E= F(\alpha_1,..., \alpha_r) \) significa el espacio vectorial por \( \alpha_1, ...,\alpha_r \) sobre F? Y de ser así, ¿cómo demuestro este resultado? Para
\( F(\alpha) \)
tenemos \( [E: F]=1 \) (lo estoy interpretando como en la segunda pregunta) y de ¿aqui qué? ¿Cómo lo relaciono con \( [EF' : F'] \)? Debe ser este también de dimensión uno. Pero no sé operar muy bien con el símbolo \( EF' \), ¿cómo son los elementos de la composición de dos cuerpos?

¡Gracias por las ayudas y comentarios!

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Matemáticas Generales / Inversos de enteros.
« en: 28 Marzo, 2014, 07:11 am »
¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente problema:

Demostrar que la suma:

\( \displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n+1}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{n+k} \)

si su suma es la fracción \( \displaystyle\frac{p}{q} \) (reducida) entonces \( p \) es impar.

Intenté por inducción y casi resulta, pero me dan al menos dos casos. Me preguntaba si había una manera sencilla (elegante) de resolverla.

Iba a subir mi intento por inducción, pero tenía un error que no había notado.  ???

¿Alguna sugerencia?  ;D

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Para entender por qué es imposible si n es impar, imagina que las sillas están pintadas de blanco y de negro como en un tablero de ajedrez. Entonces, cada estudiante sentado en una silla blanca tiene que moverse a una negra, y viceversa.

Esas soluciones bonitas y sencillas que a veces se me pierden...  ???

¡Gracias!

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Matemáticas Generales / Mover los estudiantes de sus asientos.
« en: 27 Marzo, 2014, 11:59 pm »
¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente problema:

Todas las sillas de un salón de clase están organizados en un cuadrado de \( n\times n \) y cada sillas está ocupado por un estudiante. El estudiante decide reorganizar los estudiantes de acuerdo a las siguientes reglas:

1. Cada estudiante debe moverse a un nuevo asiento.

2. Cada estudiante sólo puede moverse horizontal o verticalmente.

Demuestre que esto se puede hacer si el \( n \) es par e imposible si \( n \) es impar.

Pues, bueno. La idea que no sé cómo decir es que cada vez que escogemos un estudiante y este se mueve según las reglas, uno puede seguir el camino que "provoca" por su movimiento de modo que el último estudiante de este camino termina exactamento donde donde comenzó el que escogimos. Además como cada estudiante al moverse implica el movimiento de alguno más y si no se intercambian provoca el movimiento de al menos dos más, el camino definido en este caso es por lo menos cuatro. Lo que quiero probar (o lo que es la idea que se me ocurrió) es que cada camino que se cierra tuvo una cantidad par de movimientos. Por tanto de poderse organizar los estudiantes bajo las reglas pedidas, entonces, el número [tex]n/tex] debe ser par.

Pero no sé cómo organizar o decir bien esta idea.

También alguna otra sería de ayuda.

¿Algún consejo?

¡Gracias!

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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: ¡Series, series!
« en: 27 Marzo, 2014, 08:00 pm »
Había escrito una tontería al confundir contraejemplo con contrarreciproco y lo he borrado inmediatamente espero no haberte causado ninguna perdida de tiempo

Casi enloquezco intentando demostrar que no iba hacia cero  :P , pero no, no fue una pérdida de tiempo: conocí el teorema de Stolz en general y vi un uso muy práctico de la sumación parcial.


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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: ¡Series, series!
« en: 27 Marzo, 2014, 05:50 pm »
Alguna duda al final.

Esto es desconcertante.  :o

Pero en:

Con las sumas de Abel.
Definamos \(  S_n = \sum_{i=1}^n a_i  \).
Tenemos que :
\( \begin{align*}
\sum_{i=1}^{n} a_i \cdot i &= \sum_{i=1}^{n-1} S_i\cdot (i-(i+1)) +S_n \cdot n\\
&= -\sum_{i=1}^{n-1} S_i  + S_n \cdot n
\end{align*} \)
Tenemos:
\( \begin{align*}
\lim_{n \to +\infty} \left[\dfrac{ -\sum_{i=1}^{n-1} S_i  + S_n \cdot n}{n}\right] &= \lim_{n \to +\infty} \left[\dfrac{ -\sum_{i=1}^{n-1} S_i }{n} + S_n\right]\\
&=-S+S=0
\end{align*}
 \)

Donde he usado Stolz en \( \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{-\sum_{i=1}^{n-1} S_i }{n}  \).


Sí has mostrado el caso general, esto implica que:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^k{(-1)^{k+1}\sqrt k}} = 0 \)

y el "contraejemplo" no es tal porque no existe.

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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: ¡Series, series!
« en: 27 Marzo, 2014, 02:54 pm »
Pero si no puedo decir nada entonces estoy encartado para probar que

\( \displaystyle\lim \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n{k\sqrt k} \)

no existe. Precisamente porque el criterio de Stolz no me dice nada...

Es que ese límite que planteas ahora es claramente \( +\infty \), pues

\( \displaystyle \sqrt{n}\leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n{k\sqrt k} \)

De todas maneras, no entiendo por qué estás considerando ese límite; fíjate que el resultado del que habla el ejercicio no es aplicable a \( a_n=\sqrt{n} \) porque

\( \displaystyle\sum \sqrt{n} \)

no es convergente.

Saludos.

Ya corregí. Ese límite no está ahí...

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Parece que está bien. Pero la existencia del inverso aditivo, a menos que te den una construcción de los números reales, suele tomarse como un axioma, entonces, no debes demostrarlo. Es que en la demostración que haces asumes la existencia del inverso haciendo \( y=-x \), es decir demuestras con lo demostrado, lo que no está bien. Es incluso posible, que solamente debas señalar si son ciertos o no dichas proposiciones en los reales, más que demostrarlas. Que como ya te he mencionado, es posible sólo con una construcción de los mismos o con un conjunto de axiomas equivalentes, pero parece que tienes los mismo axiomas de siempre para los reales y por tanto no tienes que incomodarte buscando demostraciones que no son necesarias.

En resumidas cuentas, creo que lo que te quiero decir es que en el punto de la existencia del inverso aditivo, creo que puedes colocar "sí es cierto, esto es un axioma de los reales, cada real tienen un inverso aditivo" sin más.

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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: ¡Series, series!
« en: 27 Marzo, 2014, 02:01 pm »
Como tú dices el límite no existe entonces no puede decir nada de \(  \lim \dfrac{\sum_{k=1}^n k\cdot a_k}{n}  \).

Pero si no puedo decir nada entonces estoy encartado para probar que

\( \displaystyle\lim \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n{(-1)^{n+1}\sqrt k} \)

no existe. Precisamente porque el criterio de Stolz no me dice nada...

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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: ¡Series, series!
« en: 27 Marzo, 2014, 04:52 am »
Lo que no entiendo es por qué llegas a que no tiene límite. Stolz asegura la convergencia de la diferencia si el otro límite existe. No en otro caso. Dice que

\( \displaystyle\lim \textsf{ inf}{\displaystyle\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}\leq \displaystyle\lim \textsf{ inf}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}} \)

\( \displaystyle\lim \textsf{ sup}{\displaystyle\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}\geq \displaystyle\lim \textsf{ sup}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}} \)

Y en este caso el límite es \( (-1)^{n+1}\sqrt {n} \) que no existe, pero sí se pueden calcular sumas superiores e inferiores. Sin embargo estas son \( +\infty \) y \( -\infty \). Entonces Stolz no nos aporta información...  ???

Aún no me convenzo.


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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: ¡Series, series!
« en: 26 Marzo, 2014, 08:04 pm »
No entiendo cómo vez que ese límite tiende a infinito. Me parece que diverge del todo (ni a más infinito ni a menos infinito) ¿no?

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Por definición: \( a_{n} \) es monótona decreciente \( \Leftrightarrow{} a_{n} \geq{} a_{n+1}  \)

A esto debemos agregarle que es para todo \( n \) natural positivo.

Es decir: \( 1 + \frac {1}{n} \geq{} 1 + \frac {1}{n+1} \Rightarrow{} \frac {n+1}{n} \geq{} \frac {n+2}{n+1} \Rightarrow{} n^2 + 2n + 1 \geq{} n^2 + 2n  \)
¿Estaría bien demostrado así?

Ahí te falta aún un paso, pero creo que te complicas de más. Para seguir por ese camino debes probar que \( n^2 + 2n + 1 \geq{} n^2 + 2n \) se cumple para todo entero positivo. Como esta desigualdad es sencilla, al menos decirlo :P

 Otro modo, tal vez más sencillo.

Si tienes que \( \frac{1}{n} \) es decreciente entonces:

\( \displaystyle\frac{1}{n+1}<\displaystyle\frac{1}{n} \)

por tanto

\( 1+\displaystyle\frac{1}{n+1}<1+\displaystyle\frac{1}{n} \)

que implica que es decreciente.

Fíjate que la afirmación que \( \frac{1}{n} \) es decreciente es equivalente a \( n<n+1 \).


[cerrar]

 ;D

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