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Mensajes - yotas

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¡Hola!

Dadas \( n \) a funciones de valores reales  \( f_1,...,f_n \) cada un diferenciable en un intervalo abierto  \( (a,b) \) en \( \mathbb{R} \). Para cada \( x=(x_1,..., x_n) \) en el intervalo \( n- \)dimensional
\( S=\{(x_1,..., x_n): a<x_k<b, \text{ k=1 , ... , n}\}  \)
definimos \( f(x)=f_1(x_1)+\cdots + f_n(x_n) \). Demuestre que \( f \) es diferenciable en cada punto de \( S \) y que
\( df_{x}(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f'_k(x_k)u_i \)
donde \( u=(u_1,..., u_n) \).

El procedimiento que seguí fue el siguiente:
My procedure: Para cada \( k \) tenemos la ecuación:
\( f_k(x_k-u_k)-f_k(u_k)=f'(x_k)u_k+u_kE_k(u_k) \)
donde \( E_k(u_k) \) tiende a cero cuando \( u_k \) tiende a cero. Esto es posible porque \( f \) es diferenciable. Sumando para \( k=1,...,n \) tendremos
\( f(x-u)-f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n f_k(x_k-u_k)-f_k(u_k)=\displaystyle\sum_{k=1}^nf'(x_k)u_k+\displaystyle\sum_{k=1}^nu_kE_k(u_k) \)
entonces deberíamos probar que la cantidad
\( \displaystyle\frac{1}{|u|}\displaystyle\sum_{k=1}^nu_kE_k(u_k) \)
tiende a cero cuando \( u \) tiende a cero.

¿Cómo puedo hacerlo?

¡Gracias!

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¡Buenas, buenas!

En el libro de Do Carmo de geometría de curvas y superficies se introduce de manera más bien informal los conceptos de tangente fuerte y tangente débil de una curva. En pro de la completitud fijaremos \( \alpha: [a,b]\rightarrow \mahbb{R}^3 \)  una curva continua y \( t_0 \) un punto de \( [a,b] \).

Lo que se dice en el Do Carmo es más o menos lo siguiente:

Decimos que hay una tangente débil en \( t_0 \) si existe una posición final para la recta que pasa por los puntos \( \alpha(t_0), \alpha(t_0+h) \) cuando \( h\rightarrow 0 \).

Decimos que hay una tangente fuerte en \( t_0 \) si existe una posición final para la recta que pasa por los puntos \( \alpha(t_0+h), \alpha(t_0+k) \) cuando \( (h,k)\rightarrow (0,0) \).


No creo que haga mucha falta decir que estos conceptos son muy poco claros como para hacer seriamente una demostración. Quiero decir que "una posición final" suena ambiguo. Sin embargo es más o menos claro que al hacer un dibujito sí es posible imaginarse una posible tangente débil y una tangente fuerte de una función.

También pueden imaginarse distintas o inexistentes.  Ul ejemplo que provee el mismo Do Carmo es \( t\mapsto(t^3,t^2) \) usando la gráfica puede una darse cuenta que esta curva tiene una tangente débil, pero que la tangente fuerte tiene al menos dos posibilidades, una perpendicular a la otra.

Después de meditar un rato, supuse que una buena definición de tangente débil sería la siguiente: Si el siguiente límite existe

\( \lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\alpha(t_0)-\alpha(t_0+h)}{|\alpha(t_0)-\alpha(t_0+h)|} \)

decimos que hay una tangente débil en \( t_0 \).

De manera análoga para una tangente fuerte: Si el límite siguiente existe

\( \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\displaystyle\frac{\alpha(t_0+h)-\alpha(t_0+k)}{|\alpha(t_0+h)-\alpha(t_0+k)|} \)

diremos que existe una tangente fuerte en \( t_0 \).

Esta definiciones parecen a primera vista adecuadas, porque permiten conservar el sentido del vector que define la recta que pasa por el punto \( \alpha (t_0) \). Además estas son sufientes mostrar formalmente que la curva \( t\mapsto (t^3, t^2) \) tiene una tangente débil pero no una tangente fuerte (ejercicio :P ).

Sin embargo, hay una ambigüedad el límite definido por la tangente fuerte usualmente tendrá dos valores en caso de poderse definir una recta límite, estos dos vectores serán paralelos, pero igual significa que el límite no existe y por tanto la definición es insuficiente. Creo que la misma observación puede aplicarse a la definición de tangente débil.


Estos dos conceptos sólo los he encontrado en el Do Carmo y esporádicamente en internet haciendo mención, casi siempre a este libro.


El problema de la definición surgió por uno de los numerales de los ejercicios del libro: si \( \alpha \) es derivable y regular en \( t_0 \) entonces tiene una tangente fuerte en \( t_0 \). Donde surge el problema de las direcciones.

¿Alguien conoce este concepto bien formalizado o en otra fuentes bibliográficas?


Gracias.  ;D







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¿Cómo aseguras que la función \( \lambda  \) que usas es derivable?

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Tienes una errata (tomas determinante de un número real) en los cálculos que siguen a la frase "Usando la conocida propiedad que afirma que el determinante del producto de dos matrices es el producto de determinantes se tiene que:". Sé que esto es viejo, pero no había notado ese error.

Gracias tardías a tu respuesta.  ;D

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Topología (general) / Re: ¿Son topologías?
« en: 08 Septiembre, 2014, 07:30 pm »
¿Has tratado de hacer alguno de esos ejercicios? Muestra qué has hecho para saber qué dudas tienes.

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Todo para mí es claro ahora :P

Esto me ha parecido muy interesante.

http://arxiv.org/pdf/1312.7067v3.pdf

¡Gracias!

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En uno de los links respondiste:

Hola

 Uno considera los puntos

\(  a_n=n\alpha-[n\alpha] \)

 donde \(  [ x ]  \) es la parte entera de x. Te da un sucesión de puntos distintos contenida en (0,1) y a su vez en [0,1]. Aquí se utiliza que \( \alpha \) es irracional para ver que los puntos son distintos.

 Todas sucesión contenida en un compacto tiene una subsucesión convergente y por tanto de Cauchy. Eso quiere decir que puedes encontrar dos puntos tan próximo como quieras. La diferencia entre ambos te da el número:

\(  n_1+n_2\alpha \)

 tan pequeño como quieras.


Esto me queda claro, pero no alcanzo a entender por qué esto implica la densidad del conjunto. Aclaro la densidad de \( \{nx+[nx] :n\in\mathbb{N} \} \) no de \( \{nx+m :n,m\in\mathbb{Z} \} \). Digamos que la de este último conjunto me es clara.

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¡Buenas, buenas!

Tengo la sucesión definida por \( s_n=\cos (n) \). Sé que el conjunto de puntos límites es \( [-1, 1] \) ¿cómo lo pruebo?

Recibí un consejo: considerar que el siguiente conjunto \( A=\left\{\displaystyle\frac{n}{\pi}-\left[\displaystyle\frac{n}{\pi}\right]\right\} \) es denso en \( [0,1) \). Sinceramente no supe qué hacer con eso.

Sin embargo me llevó a intentar probar que si \( x \) es irracional entonces \( \{nx-[nx] : n\in \mathbb{N}\} \) es denso en \( [0,1) \). Y con esto problema tampoco he llegado a mucho  ;D  ...

Pero he encontrado temas interesantes.  :P

Agradezco ayudas y sugerencias.


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¿Por qué la unión de los \( B_\epsilon \) es numerable?

50
¿Cuál es entonces el propósito de ser de clase \( C^\infty \)?

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Análisis Matemático / Re: Pregunta
« en: 30 Abril, 2014, 06:16 am »
Sí existe:

\( f(x)=x-\arctan x+\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

su derivada

\( f'(x)=1-\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\displaystyle\frac{x^2}{1+x^2} \)

tenemos \( |f'(x)|=\left|\displaystyle\frac{x^2}{1+x^2}\right|<1 \).

Pero si hay \( f(x)=x \) deberemos tener:

\( x=x-\arctan x+\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

que implica

\( \arctan x=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

que es imposible.  ;D

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Sí existe:

\( f(x)=x-\arctan x+\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

su derivada

\( f'(x)=1-\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\displaystyle\frac{x^2}{1+x^2} \)

tenemos \( |f'(x)|=\left|\displaystyle\frac{x^2}{1+x^2}\right|<1 \).

Pero si hay \( f(x)=x \) deberemos tener:

\( x=x-\arctan x+\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

que implica

\( \arctan x=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

que es imposible.  ;D

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Análisis Matemático / Pregunta
« en: 29 Abril, 2014, 09:38 pm »
¡Buenas buenas!

Me piden encuentre una función derivable \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) tal que \( |f'(x)|<1 \) y no exista ningún punto fijo para \( f \). ¿No es esto imposible por el teorema del punto fijo para contracciones?

¡Gracias!

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Análisis Matemático / Re: Resta de compactos es compacto.
« en: 25 Abril, 2014, 05:44 am »
Pero \( 2\in K_1 \) y \( 1\in K_2 \) entonces \( 2-1=1\in K_1-K_2 \), de donde \( K_1-K_2\neq [0,1) \).

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Considero un poco descarado que coloques tanto ejercicios con la ilusión que te los hagamos. El interés del foro es resolver dudas y ayudarnos a entender matemáticas. No hacerle tareas a otros foristas.

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Álgebra / Re: Consulta sobre bases de un espacio de vectores
« en: 25 Abril, 2014, 03:26 am »
Para a):
¡Claro! Y un ejemplo de ello es tu ejercicio. Es más, vos podés contener a \( \mathbb{R^3} \) en \( \mathbb{R^4} \) considerándolo como el espacio vectorial generado por \( (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) \). En general puedes encontrar que un subespacio vectorial de dimensión menor en uno de dimensión mayor.

Para b):
Asumiendo que los cálculos que hiciste están bien, entonces sí, esa es una base.

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¡Genial!  :'(
Esta demostración no funciona.

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Nota:

Esto me pareció muy gracioso  :P
\(  {\red Mal}  \)
\(  f(x-[x] +1) -f(h(x)) = f(h(x) +1) -f(h(x))  \) no tiene por que tender hacia \(  L  \).
El ejercicio a la porra.
\(  {\red Mal}  \).

El ejercicio a la porra  :)

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Exceptuando que siempre me parece difícil entender tu redacción, la solución del link está bien, tiene un par de pasos confusos, pero creo que se pueden arreglar. El punto crucial es conseguir que

\(  [x]L-[x]\epsilon< f(x) - f(h) < l[x]+[x]\epsilon  \)

cada \( \epsilon \) puede tomarse como igual si en vez de \( f(x-1)-f(x) \) etc, como hiciste haces \( f(x+2)-f(x+1) \) etc y además son desigualdades... Como \( |f(h(x))|\leq M \) entonces al dividir por \( x \) y hacer \( x\rightarrow\infty \) esta función se hace cero. Entonces

\( L\displaystyle\frac{[x]}{x}-\displaystyle\frac{[x]}{x}\epsilon<\displaystyle\frac{f(x) - f(h)}{x} < l\displaystyle\frac{ \cdot [x]}{x} +  \displaystyle\frac{[x]}{x} \epsilon  \)

y haciendo \( x\rightarrow\infty \) obtenemos el resultado.

¡Gracias!

(Me siento como trabajando en equipo) ;D ;D ;D

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