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Mensajes - yotas

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Hola

Dadas las funciones reales \( f_1(x)=x/3 \) y \( f_2(x)=(x+2)/3 \) tenemos que el conjunto de Cantor $C$ cumple la ecuación
\( C=f_1(C)\cup f_2(C) \)
la demostración -que la comprendo- consiste en que se toma como probado la ecuación
\( C_{k+1}=f_1(C_k)\cup f_2(C_k) \)
sin embargo esta última no entiendo cómo probarla formalmente, aunque intuitivamente es más que clara. ¿Cómo probar esta ecuación? Sé que es por inducción, pero este tipo de argumentos por inducción se me hacen particularmente complicados, en parte porque me dan la "sensación" de ser informales y no se me ocurren. Así mismo la prueba de que \( C \) consiste de los puntos que en base tres sólo consiste de \( 0 \) y \( 1 \) se me hace extraña y un poco informal.

¿Podrían mostrarme una demostración de esta ecuación?

EDITADO: La definición aquí asumida del conjunto de Cantor es por medio de la siguiente contrucción, definimos \( C_0=[0,1] \), el conjunto \( C_1 \) es retirar el intervalo \( (1/2,2/3) \) de \( C_0 \), en general definido  \( C_k \), el conjunto \( C_{k+1} \) se obtiene de \( C_k \) retirando de cada intervalo que lo compone el intervalo abierto del medio. El conjunto \( C \) es la intersección de los \( C_k \)

¡Gracias!

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Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Relaciones Binarias
« en: 05 Diciembre, 2014, 04:23 am »
Vale gracias, pero algo que no entiendo es, por ejemplo, porqué es simétrica la relación? El elemento \( {(3,3)} \) no esta en la relación, y el numero 3 si pertenece a \( A \).


Recuerda que una relación es simétrica si cada vez que \( xRy \) entonces \( yRx \). Es decir primero supones que están relacionados en un sentido y luego pruebas que también se cumple en el otro. En este caso todas las parejas de la relación son de la forma (x,x) entonces sería simétrica.

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Topología (general) / Re: Topología general
« en: 04 Diciembre, 2014, 12:38 pm »
si, tienes razón. Gracias por la corrección.  :)

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Topología (general) / Re: Topología general
« en: 04 Diciembre, 2014, 12:32 pm »
No,  porque los intervalos son abiertos, no? si fuese cerrados y tomaramos el mismo intervalo entonces si habris problemas, porque uno de los dos extremos contendria un punto de X.

 :P

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Topología (general) / Re: Topología general
« en: 04 Diciembre, 2014, 02:14 am »
Lo que te sugiero.

Para \( x\in X \) toma \( \epsilon_x \) como el mínimo de las distancias \( |x-y| \)  donde \( y\in X  \) y \( y\not=x \). Define \( I_x=(-\epsilon_x+x,x+\epsilon_x) \). Prueba que la familia \( \{I_x\}_{x\in X} \) es el conjunto que buscas

Nota: Prueba además que todo lo que dije tiene sentido (como que existe dicho mínimo y no es cero).

Intenta y nos comentas.

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Álgebra / Re: Hallar para que valor de v y w...
« en: 03 Diciembre, 2014, 03:51 am »
Yo te sugeriría que nos mostraras lo que has encontrado para poder saber si está bien o no. Igual puede que hallan infinitas soluciones.

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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Conjunto conexo
« en: 03 Diciembre, 2014, 03:44 am »
Lo mejor es siempre que se pueda tener una manera intuitiva de imaginarte el problema. En tu caso tu región está limitada por dos trozos de parábolas por su parte cóncava. Con ese dibujo puedes convencerte que el conjunto debe ser conexo.

Si buscas entre los criterios que probablemente te enseñaron encontrarás que todo conjunto de \( \mathbb{R}^2 \) que sea arco conexo debe ser también conexo. Probar que es arco conexo parece más sencillo.

Trata y nos comentas.


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observa que sumarle uno a 333....333 da 1000....0000. sumar números de la forma \( 10^n \) es bastante fácil. ¿puedes seguir?

Yo no entiendo tu sugerencia (¿\( 3+1=10 \)?)

Mira lo siguiente:

\( 3_4=3\times 4^0=3 \)

\( 33_4=3\times 4^0+3\times 4^1=3( 4^0+ 4^1)=15 \)

\( 333_4=3\times 4^0+3\times 4^1+3\times 4^2=3(4^0+ 4^1+ 4^2)=3\displaystyle\frac{4^3-1}{3}=4^3-1 \)

\( \vdots \)

\( 33....33_4=3\times 4^0+3\times 4^1+\cdots+3\times 4^19=3(4^0+ 4^1+\cdots+ 4^{19})=3\displaystyle\frac{4^{20}-1}{3}=4^{20}-1 \)

¿Te da esto algún indicio para calcular el número? (fíjate que se usó la fórmula de la suma geométrica)

EDITADO (era casi lo que ya tenías):

Sin embargo puedes sumar todos los términos

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{20}[4^n-1]=\displaystyle\sum_{n=1}^{20}4^n-20 \)

donde el lado izquierdo es de nuevo una suma geométrica.

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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Inclusión de Fronteras
« en: 01 Diciembre, 2014, 03:11 am »
si, eso debes probar  :P

trata de encontrar ejemplos para mostrar que la otras inclusiones no es cierta

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Análisis Matemático / Re: Integral impropia
« en: 01 Diciembre, 2014, 01:41 am »
yo la veo bien.

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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Conjuntos Abiertos 2
« en: 01 Diciembre, 2014, 01:39 am »
asumo que hablas de los reales con la topologia usual

- los naturales son discretos
- todo racional tiene tan cerca como se quiera un irracional
- los mismo que en el anterior

revisa tus definiciones de abierto en los reales y convencete que no puedes en ninguno de los conjuntos encerrar sus puntos con un intervalo abierto que este contenido en el mismo conjunto.

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Análisis Matemático / Re: Límites
« en: 30 Noviembre, 2014, 08:27 pm »
Trata de corregir tus ecuaciones. Ponles [ tex]       [ /tex] pero sin los espacios entre las ecuaciones.

El primero no lo logro interpretar bien y en segundo no dices en dónde se evalúa el límite.

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Geometría Diferencial - Variedades / Re: Pseudoesfera.
« en: 30 Noviembre, 2014, 03:21 pm »
Teniendo en cuenta que la curvatura gaussiana de una superficie de revolución puede calcularse como:

\( K=-\displaystyle\frac{\phi''}{\phi} \)

donde \( \phi \) es la primera componente (la que no gira) de la curva generatriz de la superficie de revolución y esta última está calculada por longitud de arco.

Por otro lado, la longitud de arco de una tractriz es \( s=\displaystyle\frac{\sin v}{\sin v} \) en el intervalo \( \epsilon<v<\pi \). Despejando obtenemos \( t=\arcsin[\sin e^s] \).

Recordando que la parametrización de la tractriz puede ser

\( \alpha(v)=(\sin v, \cos v + \log\tan \displaystyle\frac{v}{2}) \)

al reemplazar por longitud de arco, obtenemos que la primera coordenada es \( \sin \epsilon e^s \). Ahora derivando y reemplanzando en la ecuación

\( K=-1 \)

como queríamos.

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Geometría Diferencial - Variedades / Pseudoesfera.
« en: 29 Noviembre, 2014, 01:31 am »
Hola

Debo calcular la curvatura gaussiana de una pseudoesfera, parametrizada como:

\( x(u,v)=(\cos u \sin v, \sin u \sin v , \cos v+\log (\tan {v/2})) \)

con \( 0<v<\pi \) y \( 0<u<2\pi \).

Mi estrategia para ahorrar cálculo, fue calcular la curvatura con signo de la tractriz, la que según tenía entendido era una línea de curvatura. Esta curvatura me dio

\( k_1=-\tan v \)

sin embargo, las otras líneas de curvaturas son círculo con radio \( \sin v \) y por tanto su curvatura es \( \csc v \) que claramente al multiplicarse con la otra curvatura no da \( -1 \). ¿Qué estoy interpretando mal?


¡Gracias!

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Geometría y Topología / Re: Sobre la Geometría ...
« en: 29 Noviembre, 2014, 01:23 am »
Creo que la respuesta que es sus significados son estándar pero difusos. Cuando se hace geometría sintética se entiende que se hace sin medir y solamente con lo axiomas que hayas asumido tu geometría. Creo por geometría métrica y analítica no se debe entender cosa distinta (si no es cierto, que me corrijan  ;D ), pero suele referirse a hacer geometría con alguna noción de distancia. Aunque los textos que normalmente se estudian de geometría analítica parecen decirte que analítica es poder realizar geometría a través de ecuaciones.

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Hola  :)

Sea \( X(\theta,\phi)=(\sin \theta \cos \phi, \sin\theta\sin \phi, \cos\theta) \) una parametrización de la esfera \( S^2 \). Sea \( P \) un plano \( x=z \cot\alpha \), \( 0<\alpha<\pi \) y \( \beta \) el ángulo que la curva \( P\cap S^2 \) hace con el semimeridiano \( \phi=\phi_0 \). Compute \( \cos \beta \).

He tenido inconvenientes intentando obtener una ecuación decente para la intersección...

Quiero decir, las ecuaciones que obtengo son:
\( x=\cos \theta \cot\alpha \)
\( y=\sqrt{\sin^2\theta-\cos^2\theta\cot\alpha} \)
\( z=\cos\theta \)

sin embargo, no sé muy bien qué hacer con esta ecuaciones.

Gracias por la ayuda y los comentarios.  ;D

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Yo creería que por lo menos algo del formalismo serio de matemáticos sí deberías aprender para poder dar un rigor adecuado a los temas que quieres tratar. Sin embargo son pocos los matemáticos que conocen con profundidad el significado de lo que significa un lenguaje de primer orden. En particular el análisis lo puedes comenzar a estudiar de un libro riguroso pero que no te enseñará de los fundamentos más que lo necesario. Además tomará tiempo acostumbrarse al rigor y aprender a manejarlo. Entre los libros que podrías considerar (además del que recomendó Juan Pablo) los libros de análisis matemático de Rudin y de Apostol, ambos clásicos y con una introducción a la integral de Lebesgue, el libro del Apostol tiene una secuencia lógica, lo que te permitirá saber con más confianza saber qué se puede saltar.

Puedes hacerte el plan de un curso autodidacta en qué decidas qué aprenderás, qué vas a rigorizar y qué no te interesa, basado en estos o más libros.

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Algo parecido a lo que dices es que

\(  \displaystyle\frac{1}{\|u\|} \sum_{k=1}^n u_k \cdot E_k(u_k)=\displaystyle\frac{1}{\|u\|}u\cdot E \)

donde \( E=(E_1,...,E_n) \). Que tal vez era lo que querías decir. O tal vez veías los \( u_k \) como vectores y eran números. Quién sabe...  :P



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¡Gracias!

Tanto por responder mi pregunta como por proponer otro método.  ;D

Sin embargo lo que dices sí es una animalada: \( \displaystyle\frac{\sum_{k=1}^n|u_k|}{|u|}<1 \). Esto es falso. Estás diciendo que la desigualdad 
\( (x+y)^2<x^2+y^2  \)
es válida. Lo que es falso.

El otro método me parece bien y mucho más sencillo que el mío.

 ;D

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Es difícil que alguien te "explique" el tema desde casi cero en un foro.

Te sugeriría que hicieras unas aclaraciones: cuéntanos qué clase de tema sabes para poder decirte algunos potenciales libros de los cuales podremos (tal vez) ayudarte con dudas puntuales siempre que hayas estudiado algo de ese tema.


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