Hola, ¿qué tal están?

Tengo un problemilla con algo... debo determinar si:

I) \( \Bbb{Z}_6 \) y \( \Bbb{Z}_7 \) son isomorfos
II) \( 2\Bbb{Z} \) y \( 5\Bbb{Z} \) son isomorfos.

Había tratado con el tercer teorema de la Isomorfía, pero la verdad no saqué nada en limpio porque me faltaba un tercer conjunto. Por favor, si me pueden ayudar. Agradecido de antemano

Cita de: lolhio en 20 Septiembre, 2021, 10:12 pm

Hola a todos... una pregunta, dado una función (que en mi caso es la función piso), necesito definir una función A(x) de manera que esta corresponde al área bajo la curva f desde 0 hasta x. El tema es que no sé definirla, porque se que el área bajo la curva para x<1 es cero, pero de ahi no se como definir la función (sin recurrir a calculo integral). El tema es que debo analizar continuidad y derivabilidad.

Me pueden ayudar? Les estaria muy agradecido.

Puedes hallar tal fórmula utilizando geometría, ya que la función piso tiene forma de escalera y cada escalón o trozo de escalón tiene un área que es muy sencilla de calcular.

Es que ahi justamente es mi duda, porque sería una suma de areas al fin y al cabo... como podría representarlo de manera "algebraica"? Con una sumatoria? en ese caso sería una sumatoria doble o no?

Hola de nuevo... Tengo un problema con un ejercicio de Polinomio de Taylor, específicamente cuando me dicen que el error \( \left |{f(x)-p_4(x)}\right | \) debe ser menor a \( 10^{-5} \) para un polinomio de Taylor de grado 4 centrado en \( \dfrac{\pi}4 \) de la función \( f(x)=ln(1+\sin (x)) \). Calculando la quinta derivada de f nos queda

\( \displaystyle\frac{\cos(x)(2(1+\sin(x))^2+3\cos^2(x))}{(1+\sin(x))^3} \)

El problema es que no sé como acotar superiormente esa expresión para un \( c\in(\dfrac{\pi}4,x) \). Pensé en que seno y coseno son ambos menores o iguales que 1 y así me sale que esa expresion esta acotada por 7/16. El problema está cuando grafico esa función, me sale que no es acotada superiormente.

Ayuda plis

Hola a todos! De nuevo yo por acá. Me pillé con un Teorema cuya demostración con creciente y acotada superiormente me hacía mucho sentido, pero que con decreciente y acotada inferiormente aún no me termina de cuajar. Tengo esto:

Demostración: Consideremos una sucesión decreciente  \[\left( {{x_n}} \right)_{n \ge 1}^\infty \], donde  \[{x_1} \ge {x_2} \ge {x_3} \ge ...\]. Definamos  \[\alpha  = \inf \left\{ {{x_n}:n \in \mathbb{N}} \right\}\]. La idea es probar que  \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \alpha \]. En efecto, dado un \[\varepsilon  > 0\], por definición de ínfimo se tiene que existe \[N\in\mathbb{N}\] tal que \[{x_N} < \alpha  - \varepsilon \]. Debido a que la sucesión es decreciente, se cumple que, para \[N\ge n\] se tendrá que  \[\alpha  - \varepsilon  > {x_n} > {x_N} > \alpha  > \alpha  + \varepsilon \] y hasta ahí nomás llego... La pregunta es, cómo podría concluír la demostración llegar a lo pedido y, lo primero, si hay errores en esta demostración, porque hasta el momento no le he encontrado pero aún no puedo concluír nada.

Muchas gracias por su ayuda

Hola a todos! Espero estén bien.

Resulta que yo estaba realizando un problema donde debía calcular el volumen resultante por una región limitada por el cono \( z=\sqrt{x^2+y^2} \) y la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \). El problema está en encontrar los límites de integración en coordenadas cilíndricas y esféricas. Tomé como volumen en coordenadas cartesianas lo siguiente: \( V =\displaystyle \int\limits_{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\int\limits_{ - \sqrt {\frac{1}{2} - {x^2}} }^{\sqrt {\frac{1}{2} - {x^2}} } {\int\limits_{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^{\sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} } {dzdydx} } }  \). Partí del hecho que \[{x^2} + {y^2} \le \frac{1}{2}\] y haciendo el cambio de variable \[\left\{ \begin{array}{l}
x = r\cos \theta \\
y = r\sin \theta
\end{array} \right.\], llego a que \[ - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le r \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]. En este sentido, el volumen me queda \[\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\int\limits_r^{\sqrt {1 - {r^2}} } {rdzdrd\theta } } } \] quedandome \[\frac{{2\pi }}{3}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]. Cuando intento pasar a coordenadas esféricas me da la integral \[\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {{\rho ^2}\sin \phi d\rho d\phi d\theta } } } \] que me sale \[\frac{\pi }{6}\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\].

Siento que no tengo bien los límites de integracion, pero no sé de qué forma arreglarlo. Ayuda por favor.