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Mensajes - w a y s

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1
Te pongo la actividad por adjunto por ser larga.( una con las soluciones para el profesor y otra para el alumnado(*) , ya no podemos decir para los alumnos (manda huevos))

¿De verdad ya no se puede decir "alumnos" y, en las aulas, se debe decir alumnado por ser más "inclusivo"?

Saludos.

2
Álgebra / Re: Demostrar inyectividad y sobreyectividad
« en: 07 Abril, 2021, 09:07 am »
Hola Sigma.

Antes que nada recuerda que debes escribir las fórmulas con $$\LaTeX$$. Dejo en el siguiente spoiler tu mensaje escrito en $$\LaTeX$$ pàra que puedas cambiarlo si aún no sabes.

Enunciado
7. Sean $$f: E \longrightarrow F$$ y $$h:E \longrightarrow H$$ funciones.
Demuestre que se tiene:
(a) Si $$h \circ f$$ es inyectiva entonces $$f$$ es inyectiva.
(b) Si $$h \circ f$$ es sobreyectiva entonces $$g$$ es sobreyectiva.
[cerrar]

Antes que nada, ¿estás seguro de que el enunciado es así? No puedes considerar la composición $$h \circ f$$ sin aclarar antes si $$E=F$$ o al menos que $$F\subset E$$, ya que el conjunto final de $$f$$ y el inicial de $$h$$ han de ser el mismo. Por favor confirma que esto es así para las aplicaicones de tu enunciado. Además ¿quién es $$g$$?

Suponiendo que podamos considerar esa composición, voy a hacer el apartado (a).

Supongamos que $$h \circ f$$ es inyectiva y sean $$x,y \in E$$, tales que $$x \neq y$$. Puesto que $$h \circ f$$ es inyectiva se tiene que $$h \circ f(x) \neq h \circ f(y)$$, esto es  $$h(f(x)) \neq h(f(y))$$ y por ser $$h$$ una aplicación se tendrá que $$f(x)\neq f(y)$$ y , en consecuencia, $$f$$ es inyectiva.

Para el apartado (b), supongo que con $$g$$ te refieres a $$h$$(Por favor, confirmame que es así). Supongamos que $$h \circ f$$ es sobreyectiva y sea $$z \in H$$, puesto que $$h \circ f $$ es sobreyectiva se tiene que existe $$a \in E$$ tal que $$h \circ f(a)=z$$, es decir, $$h(f(a))=z$$ y puesto que $$f(a) \in F$$ (Suponiendo que $$F\subseteq E$$, ya que , como he dicho antes si no aclaramos esto antes la composición no se podría considerar), se tiene que para todo $$z \in H$$ existe $$y \in F$$ tal que $$h(y)=z$$, en consecuencia, $$h$$ es sobreyectiva.

Saludos.

3
Hola Gustavo.

Tienes razón, gracias por corregirlo  ;D.

Saludos.

4
Hola.

 Corregido en la respuesta #7 (Gracias Gustavo).
Para hacer el último:

La inecuación  $$|x+2| \leq |x-3|$$ es la misma que $$|x+2|-|x-3| \leq 0$$.

Ahora tienes que considerar los tres casos siguientes: $$x \leq -2$$; $$-2 \leq x \leq 3$$ y $$3\leq x$$.

Si $$x \leq -2$$, entonces $$|x+2|-|x-3| \leq 0  \Rightarrow (-x-2)-(-x+3) \leq 0$$; aquí la $$x$$ se cancela y no tiene solución.

Si $$-2 \leq x \leq 3$$, entonces $$|x+2|-|x-3| \leq 0  \Rightarrow (x+2)-(-x+3) \leq 0$$; de donde $$x \leq \frac{1}{2}$$.

Si $$3\leq x$$, entonces $$|x+2|-|x-3| \leq 0  \Rightarrow (x+2)-(x-3) \leq 0$$; aquí la $$x$$ también se cancela luego tampoco tiene solución.

Concluimos que la solución de la inecuación es $$x \leq \frac{1}{2}$$.
[cerrar]

Saludos.

5
Hola

Siguiendo la idea que proponías he pensado lo siguiente:

Dado $$\left[m\right] \in \Bbb Z_n $$ no nulo consideramos la siguiente aplicación $$f:\Bbb Z_n \longrightarrow \Bbb Z_n$$, $$f(\left[x\right])=\left[mx\right]$$.

Vamos a ver que es inyectiva. Sean $$\left[x \right], \left[y \right] \in \Bbb Z_n$$ y supongamos que $$f(\left[x \right])=f(\left[y \right])$$ entonces $$\left[mx\right]=\left[my\right]$$ de donde

$$\left[m\right](\left[x\right]-\left[y\right])=0$$. Por ser $$\left[m\right]$$ no nulo y dado que $$m<n$$ y $$n$$ es primo, se tiene que $$n$$ y $$m$$ son primos entre sí, es decir, $$n$$ no divide a $$m$$, luego $$n$$ divide a $$(\left[x\right]-\left[y\right])$$,

Ahí deberías de decir que $$\left[m\right](\left[x\right]-\left[y\right])=0$$ significa que \( m(x-y) \) es múltiplo de \( n \). Después donde pone $$n$$ divide a $$(\left[x\right]-\left[y\right])$$ más bien es $$n$$ divide a $$x-y$$.

Por lo demás bien.

Saludos.

Genial, muchas gracias por la correción. ;D

Saludos.

6
Hola Luis Fuentes.

Antes que nada, discúlpame, por favor, por haber tardado tanto tiempo en responder.

Siguiendo la idea que proponías he pensado lo siguiente:

Dado $$\left[m\right] \in \Bbb Z_n $$ no nulo consideramos la siguiente aplicación $$f:\Bbb Z_n \longrightarrow \Bbb Z_n$$, $$f(\left[x\right])=\left[mx\right]$$.

Vamos a ver que es inyectiva. Sean $$\left[x \right], \left[y \right] \in \Bbb Z_n$$ y supongamos que $$f(\left[x \right])=f(\left[y \right])$$ entonces $$\left[mx\right]=\left[my\right]$$ de donde

$$\left[m\right](\left[x\right]-\left[y\right])=0$$. Por ser $$\left[m\right]$$ no nulo y dado que $$m<n$$ y $$n$$ es primo, se tiene que $$n$$ y $$m$$ son primos entre sí, es decir, $$n$$ no divide a $$m$$, luego $$n$$ divide a $$(\left[x\right]-\left[y\right])$$, de donde se deduce que $$(\left[x\right]-\left[y\right])=0$$ y por lo tanto $$\left[x\right]=\left[y\right]$$. Concluimos que $$f$$ es inyectiva y además que $$\Bbb Z_n$$ no tiene divisores de cero y por lo tanto es un dominio de integridad.

¿Estaría bien así? Usando la misma idea de la aplicación inyectiva se puede probar que todo dominiod e integridad finito es cuerpo,¿cierto?

Gracias por tu ayuda.

Saludos.

7
Teoría de Conjuntos / Re: ¿Es esta proposición falsa?
« en: 18 Marzo, 2021, 12:38 am »
Hola de nuevo.

Hola de nuevo. Antes que nada disculpad que haya tardado tanto en responder y gracias por haberme ayudado.


Acotado sí está, mira ( ).

feriva, sinceramente creo que no entiendo muy bien esto. ;D


Tienes razón, tendría que ser cerrado [ ] :D

Saludos.

Perdona, creo que no me he explicado bien, a lo que yo me refería es a que no etniendo lo que significa poner $$2$$ paréntesis así $$()$$,sin que haya nada en medio, siento no haberme expresado con claridad.

Saludos.

Sí que te has expresado bien. Lo que puse era una especie de broma sin más importancia (como lo de los corchetes)

Saludos.

Ah, ya veo, perdona. La verdad es que no había pensado que fuera broma, lo siento. ;D

Saludos.

8
Teoría de Conjuntos / Re: ¿Es esta proposición falsa?
« en: 17 Marzo, 2021, 11:29 pm »
Hola de nuevo.

Hola de nuevo. Antes que nada disculpad que haya tardado tanto en responder y gracias por haberme ayudado.


Acotado sí está, mira ( ).

feriva, sinceramente creo que no entiendo muy bien esto. ;D


Tienes razón, tendría que ser cerrado [ ] :D

Saludos.

Perdona, creo que no me he explicado bien, a lo que yo me refería es a que no etniendo lo que significa poner $$2$$ paréntesis así $$()$$,sin que haya nada en medio, siento no haberme expresado con claridad.

Saludos.

9
Teoría de Conjuntos / Re: ¿Es esta proposición falsa?
« en: 17 Marzo, 2021, 09:26 pm »
Hola de nuevo. Antes que nada disculpad que haya tardado tanto en responder y gracias por haberme ayudado.


Acotado sí está, mira ( ).

feriva, sinceramente creo que no entiendo muy bien esto. ;D

¿tiene el vacío mínimo?

No, el mínimo de un conjunto tiene que ser un elemento del conjunto, y el vacío anda escaso de elementos.

¿está el vacío acotado?

Sí. Cualquier número real es una cota superior e inferior del conjunto vacío.

¿sería entonces esta proposición falsa?

Tan falsa como un billete de 7 euros.

Gracias Carlos Ivorra, por haber respondido a mis dudas.

    Siguiendo con el vacío, se puede preguntar si para un conjunto ordenado \( E \) con orden \( \le \) existen \( \inf \emptyset \) y \( \sup \emptyset \) pues al contrario que con el máximo y mínimo, el ínfimo y el supremo de un conjunto no necesariamente han de pertenecer al conjunto.

    Para todo \( a\in E \), las implicaciones \( x\in\emptyset\Rightarrow x\le a \) y \( x\in\emptyset\Rightarrow a\le x \) son ciertas (antecedente falso) por tanto todo elemento de \( E \) es a la vez cota inferior y superior de \( \emptyset \) (como ya comentó Carlos). Por tanto, \( \inf \emptyset \) existe sí y sólo si existe \( \max E \), siendo \( \inf \emptyset =\max E \) y \( \sup \emptyset \) existe sí y sólo si existe \( \min E \), siendo \( \sup \emptyset =\min E \).

    Por ejemplo en \( \mathbb{R} \) con el orden usual, no existe ni \( \inf \emptyset \) ni \( \sup \emptyset \) pero en \( \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left\{{-\infty,+\infty}\right\} \) con el orden usual, tenemos \( \inf \emptyset=+\infty \) y \( \sup \emptyset=-\infty \). Aquí se da la aparente paradoja de que el ínfimo de un conjunto es mayor que su supremo, pero ya sabemos como se las gasta el conjunto vacío :).

Gracias a ti también Fernando Revilla, por haber visto en mayor profundidad lo que respondía Carlos Ivorra, gracias a esto ya conseguí que me quedase claro del todo.

Gracias a todos de nuevo.

Saludos.

10
Teoría de Conjuntos / ¿Es esta proposición falsa?
« en: 15 Marzo, 2021, 10:01 pm »
Hola.

Estaba viendo la siguiente proposición:

   Sea $$\Bbb{R}$$ con la relación de orden usual. Consideremos $$X \subset \Bbb{R}$$ y el conjunto $$Q=\{x\in \Bbb{R}: x \leq 0\}$$ . Prueba que $$X$$ tiene mínimo si y sólo si $$X \cap Q$$ tiene mínimo.

Puedo tomar entonces $$X=\{x \in \Bbb{R}: 1 \leq x\}$$; luego $$X \subset \Bbb{R}$$ y $$1= mín (X)$$. Entonces se tiene $$X \cap Q= \emptyset$$. Mis dudas vienen ahora ya que de ser así ¿tiene el vacío mínimo? ¿está el vacío acotado? ¿sería entonces esta proposición falsa?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

11
Hola.

Muchas gracias a los tres por haber compartido estas demostraciones conmigo. La de Fernando me ha sido especialmente útil para una cosa que estaba haciendo. Sinceramente, no sé nada de morfismos, así que no he podido entender bien la demostración que ha propuesto Luis, tendré que estudiar un poco más de teoría antes de poder entenderla :).

Muchas gracias a todos de nuevo por haberme ayudado una vez más.

Saludos.

12
Hola.

Sobre la proposición del enunciado, yo conozco la prueba que voy a dejar en el siguiente spoiler.

Demostración.
Sea $$n\in \Bbb{N}$$ y supongamos que $$n$$ es primo. Queremos probar que $$\Bbb{Z_n}$$ es cuerpo. Bastará con ver que todo elemento no nulo tiene inverso. Sea $$m \in \Bbb{Z_n}$$, con $$1 \leq m <n$$. Entonces puesto que $$n$$ es primo, $$m$$ y $$n$$ son primos entre sí. Por lo tanto existen $$a,b \in \Bbb{Z}$$ tales que $$1=am+bn$$; de donde   $$1=am+bn=am+0=am$$. Luego vemos que $$m$$ tiene inverso en $$\Bbb{Z_n}$$.
[cerrar]

¿Conoce alguien otra prueba para esta proposición sin hacer uso de la identidad de Bézout?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

13
Hola de nuevo.

P.D. Me acabo de dar cuenta que si uno quiere ser más estricto lo primero que hay que observar es que si \( x\neq 0 \), entonces \( -x\neq 0 \), y por tanto \( x^{-1} \) y \( (-x)^{-1} \) existen (es decir, son números reales) y tiene sentido operar con estos números reales.

Sí, tienes razón. Olvidé añadirlo. Gracias por notarlo. ;D

Saludos.

14
Hola mathtruco.

Siguiendo esta idea:

Para que veas que puede haber más de una forma de hacer una demostración, ahora escribo otra demostración.


Al escribir \( -(a^{-1})=(-a)^{-1} \) aparece un número y su inverso multiplicativo. Esto sugiere que habrá que usar la definición de inverso multiplicativo:

    \( x\cdot (x^{-1})=1 \).

Apliquémoslo con \( x=-a \):

    \( (-a)\cdot (-a)^{-1}=1 \)

Te dejo a ti que sigas la demostración a partir de acá  ;)


¿Estaría bien así?(Lo dejo en el spoiler por si didiyrex quiere intentarlo :))

Spoiler
Sea $$a\in \Bbb{R}$$ con $$a \not = 0$$. Puesto que $$(\Bbb{R},+,\times)$$ es un cuerpo y $$a \not = 0$$, existen $$-a,a^{-1} \in \Bbb{R}$$, además dado que $$-a \not = 0$$ existe $$(-a)^{-1} \in \Bbb{R}$$. Lo que quiero probar $$-(a^{-1})=(-a)^{-1}$$; es decir, quiero probar que $$-(a^{-1})$$ es el inverso de $$-a$$. Ahora bien, tenemos que $$(-a) \cdot -(a^{-1})=(a \cdot (-1)) \cdot ((-1) \cdot (a^{-1}))=a \cdot ((-1) \cdot (-1)) \cdot (a^{-1})=(a \cdot 1) \cdot (a^{-1})=a \cdot (a^{-1})$$. Dado que estamos en $$(\Bbb{R},+,\times)$$, que es un cuerpo, todo real no nulo tiene inverso, luego de la igualdad anterior se deduce que $$a \cdot (a^{-1})=1$$. Además por ser $$(\Bbb{R},+,\times)$$ cuerpo, el producto es conmutativo, se tendrá entonces que $$(-a) \cdot -(a^{-1})=-(a^{-1}) \cdot (-a)$$. Por último, puesto que $$(-a) \cdot -(a^{-1})=-(a^{-1}) \cdot (-a)=1$$ podemos concluir que $$-(a^{-1})=(-a)^{-1}$$ .
[cerrar]

Gracias de antemano.

Saludos.

AÑADIDO

15
Hola de nuevo Luis Fuentes.

Muchas gracias por revisar lo que llevaba hecho y por ayudarme a concluirlo.

Ya lo veo claro. :)

Gracias de nuevo.

Saludos.

16
Hola de nuevo.

Antes que nada, muchas gracias a feriva y a Luis Fuentes por vuestra ayuda.

¿Cuáles son los posibles restos módulo \( 3 \) al hacer \( x(x-1) \)?.

Sólo tienes tres casos a analizar. Si \( x\equiv 0,1,2 \) mod \( 3 \).

Saludos.

Siguiendo por la idea que me dio Luis Fuentes. Puesto que la relación es de módulo $$3$$, como mucho se tendría que $$\Bbb{Z}/R=\{\left[ 0 \right] ,\left[ 1 \right] ,\left[ 2 \right] \}$$. he comprobado que $$0R1$$ y que $$0 \not R 2$$

Ahora bien, pongamos $$\Bbb{Z}/R=\{\left[ 0 \right] ,\left[ 2 \right] \}$$, Ahora quiero probar que es así, para ello he de probar que $$\left[0\right] \cap \left[2\right]=\emptyset$$ y  que $$\left[0\right] \cup \left[2\right]=\Bbb{Z}$$.

Comencemos por probar que $$\left[0\right] \cap \left[2\right]=\emptyset$$.

Basta con ver que $$0(0-1)-2(2-1)=-2$$ y dado que $$-2$$ no es múltiplo de $$3$$ se tiene que $$0 \not R 2$$ luego $$\left[0\right] \cap \left[2\right]=\emptyset$$.

Ahora vamos a probar que $$\left[0\right] \cup \left[2\right]=\Bbb{Z}$$. Lo haremos por doble inclusión.

Comencemos por ver si $$\left[0\right] \cup \left[2\right]\subset \Bbb{Z}$$. Por la definición de clase de equivalencia, tenemos que $$\left[0\right] \subset \Bbb{Z}$$ y que $$\left[2\right] \subset \Bbb{Z}$$, luego $$\left[0\right] \cup \left[2\right]\subset \Bbb{Z}$$

Ahora vamos a ver si $$\Bbb{Z} \subset \left[0\right] \cup \left[2\right]$$. Sea $$x \in \Bbb{Z}$$, entonces por el teorema de la división entera se tiene que existen únicos $$q,r \in \Bbb{Z}$$ tales que $$x=3q+r$$ con $$r \in \left[0,2\right]$$. Ahora tendremos que evaluar los tres casos.

  $$\bullet$$ Si $$r=0$$ entonces se tiene que $$x=3q$$ multiplicando por $$(x-1)$$ a ambos lados se tiene que $$x(x-1)=3q(x-1)=3(qx-q)$$; de donde se deduce que $$x(x-1)- 0(0-1)$$ es un  múltiplo de $$3$$ concluimos que $$x \in \left[0\right]$$

Y ahora cuando trato de ver para $$r=1$$ y para $$r=2$$ no soy capaz de concluir que es múltiplo de $$3$$.

¿Podría alguien decirme si por aquí voy bien?

Gracias de nuevo a ambos por vuestra ayuda. ;D

Saludos.

17
Hola.

Tengo el siguiente enunciado:

  Se define en $$\Bbb{Z}$$ la relación de equivalencia dada por $$xRy$$ si $$x(x-1)-y(y-1)$$ es múltiplo de $$3$$. Determina el conjunto cociente $$\Bbb{Z}/R$$.

Estoy teniendo problemas para hallar las clases de equivalencia ¿Podría alguien, por favor, darme alguna idea?

Gracias de antemano.

Saludos.

18
Álgebra / Re: Rectas en el espacio
« en: 08 Marzo, 2021, 05:56 pm »
Hola.

Dejo en el spoiler tu mensaje con las ecuaciones escritas en $$\LaTeX$$, deberías acostumbrarte a hacerlo para que el resto de usuarios pueda entender con precisión tu mensaje. :)

Spoiler

Dadas las rectas $$L_1 : (3,-3,6)+ \lambda \cdot  (1,-1,2)$$ y $$L_2: (4,-4,10)+ \mu \cdot (1,1,1)$$ con $$\lambda , \mu \in \Bbb{R}$$, el plano $$\Pi:x-2y+z=5$$ y el punto $$P :(2,-2,4)$$. Marcar, si hubiere, la(s) afirmacion(es)
 correcta(s):


    (a)  $$d(L_1,\Pi)=d(P,L_1)$$
    (b) $$d(P,\Pi)=2 \cdot d(P,L_1)$$
    (c) $$L_1 \cap L_2 = S$$ (Punto)


De estas afirmaciones el a y c son correctas no? Muchas Gracias chicos.
[cerrar]

Vamos a empezar por la afirmación (a):

Puedes ver que el punto $$P$$ pertenece a la recta $$L_1$$, luego $$d(P,L_1)=0$$.

Vamos a ver ahora si $$L_1 \cap \Pi \not= \emptyset$$, ya que de ser así $$d(L_1,\Pi)=0$$.

Las ecuaciones paramétricas de $$L_1$$ son:
$$
\left\{
 \begin{array}{lcr}
 x=3+ \lambda\\
 y=-3-\lambda\\
 z=6+2\lambda

  \end{array}
\right.
$$

Sustituyendo en la ecuación de $$\Pi$$ tenemos que $$15+ 5\lambda=5$$; de donde $$\lambda=-2$$ y sustituyendo de nuevo en las paramétricas de $$L_1$$ nos queda que $$L_1 \cap \Pi=\{(1,-1,2)\}$$

Por lo tanto tenemos que $$d(L_1,\Pi)=d(P,L_1)=0$$ y concluimos que la afirmación (a) es cierta.

Vamos ahora con la afirmación (b):

Como ya vimos antes $$d(L_1,P)=0$$. Además sustituyendo las coordenadas de $$P$$ en la ecuación de $$\Pi$$ nos queda $$2+4+4\not=5$$, luego $$P$$ no pertenece al plano $$\Pi$$, por lo que podemos deducir que $$d(P,\Pi)\not=0$$.

Concluimos que $$d(P,\Pi)\not=2 \cdot d(L_1,P)$$ y por lo tanto la afirmación (b) es falsa.

Vamos a ver, por último, la afirmación (c):

Sean $$\vec{d_{L_1}}=(1,-1,2)$$ y $$\vec{d_{L_2}}=(1,1,1)$$ los vectores directores de $$L_1$$ y $$L_2$$ respectivamente. Puesto que $$\vec{d_{L_1}}$$ y $$\vec{d_{L_2}}$$ no son proporcionales entre sí, puedo deducir que las rectas no son paralelas. Ahora voy a tomar el punto $$Q_1=(3,-3,6)$$ que pertenece a $$L_1$$ y el punto $$Q_2=(4,-4,10)$$ que pertenece a $$L_2$$. El vector formado por estos dos puntos es $$\vec{Q_1Q_2}=(1,-1,4)$$.

Ahora la cosa está en ver si los vectores $$\vec{d_{L_1}}$$,$$\vec{d_{L_2}}$$,$$\vec{Q_1Q_2}$$ son linealmente indenpendientes entre sí o no.
Puesto que $$
\left|

\begin{array}{cc}

 1&-1 &2\\
 1 &1 &1\\
 4 &-4 &10



\end{array}

\right|=(10-4-8)-(8-4-10)=4 \not= 0$$; deducimos que los tres vectores son linealmente independientes entre sí, por lo tanto no están en el mismo plano y entonces las $$L_1$$ y $$L_2$$ se cruzan, es decir $$L_1 \cap L_2 =\emptyset$$. Concluimos que la afirmación (c) es falsa.

19
Hola geómetracat, sugata, antes que nada, gracias por vuestras respuestas.

Tal como lo has escrito está mal el enunciado. \[ A \] no está acotado inferiormente, pues cualquier \[ x<-\sqrt{2} \] racional cumple que \[ x^2>2 \].

Sospecho que en realidad se refieren al conjunto \[ A=\{x \in \Bbb Q:x^2>2, x>0\} \]. En ese caso sí está acotado inferiormente (por ejemplo por \[ 0 \], como dices). Intuitivamente está claro que no tiene ínfimo: el ínfimo debería ser \[ \sqrt{2} \], pero no es racional.

Mientras escribía esto he visto el añadido. Está bien, siempre que puedas trabajar en \[ \Bbb R \] y usar que \[ \Bbb Q \] es denso en \[ \Bbb R \]. Tal como te lo planteaba yo trabajas exclusivamente en \[ \Bbb Q \] y evitas recurrir al hecho de que \[ \Bbb Q \] es un subcuerpo ordenado denso de \[ \Bbb R \].

La verdad es que no me había dado cuenta de eso, tienes razón, sin embargo el enunciado estaba así tal cual, lo he sacado de un examen de mi facultad. Sin embargo, sí que se me olvido añadir, que se podía usar que $$\mathbb{Q}$$ es denso en $$\mathbb{R}$$ (esto viene especificado en el examen justo debajo del enunciado).

Supongo que es una errata. Yo andaba despistado y cuando lo estaba resolviendo pensaba que el conjunto era $$A=\{x \in \Bbb{Q} : x>\sqrt{2}\}$$.


Vamos a ver que no tiene ínfimo. Sea \[ x \in \Bbb Q \]como no existe \[ x\in \Bbb Q \] con \[ x^2=2 \], tenemos o bien \[ x^2>2 \] o bien \[ x^2<2 \]. En el primer caso, hay que probar que existe un \[ y<x \] racional con \[ y^2>2 \] (luego \[ x \] no puede ser ínfimo), y en el segundo caso hay que probar que hay un \[ y>x \] racional con \[ y^2<2 \] (luego de nuevo \[ x \] no puede ser ínfimo).
En definitiva, ningún \[ x\in \Bbb Q \] es ínfimo de \[ A \].

Al principio me ha costado un poco ver esto, pero creo que ya lo he pillado. Muchas gracias por tu demostración. ;D

Gracias a ambos, de nuevo, por vuestra ayuda.

Saludos.



20
Hola, traigo el siguiente enunciado:

  En el conjunto totalmente ordenado $$(\mathbb{Q},\leq)$$ se considera el conjunto $$A=\{x\in \mathbb{Q} : x^2>2\}$$. Demuestra que $$A$$ está acotado inferiormente pero no tiene ínfimo.

Ver que está acotado inferiormente es fácil ya que $$0 \in \mathbb{Q}$$ y para todo $$x \in A $$ se tiene que $$0 <x$$; sin embargo no soy capaz de ver cómo demostrar que no tiene ínfimo.

¿Podría alguien, por favor, darme alguna idea?

Gracias de antemano.

Saludos.

Agregado: Creo que ya sé cómo hacerlo. Podemos ver que para todo $$c\in \mathbb{Q}$$ tal que $$c< \sqrt{2}$$; es cota inferior de $$A$$. Supongamos ahora que $$c=ínf(A)$$ entonces no puede ser que $$\sqrt{2}<c$$ ya que entocnes existiría otro $$x \in A$$ tal que $$x<c$$ y eso contradice la definición de cota inferior. Tampoco podría ser $$c=\sqrt{2}$$ ya que $$\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$$.

Entonces necesariamente se tiene que $$c<\sqrt{2}$$; entonces existirá algún $$z \in \mathbb{Q}$$ tal que $$c<z<\sqrt{2}$$, de manera que $$z$$ también sería cota inferior de $$A$$, luego $$c$$ no sería ínfimo. Concluimos que no existe el ínfimo de $$A$$, ¿podría alguien, por favor, decirme si esto es correcto?


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