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Mensajes - Ked

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Cálculo 1 variable / Re: Funciones...
« en: 12 Mayo, 2008, 06:31 am »
Para el primero, ¿\( F^n(x) \) es derivada n-ésima o potencia n-ésima?

El segundo.

Fijate que el gráfico de \( e^{x+1} \) lo obtienes trasladando el gráfico de \( e^x \) una unidad a la izquierda. Cuánto se traslada te puedes dar cuenta por ejemplo dando un valor particular, digamos \( x=0 \). Cuando \( e^x \) vale 1 en \( x=0 \) pero \( e^{x+1} \) vale 1 en \( x=-1 \).

Razonando igual, \( e^x - 1 \) es el gráfico de \( e^x \) trasladado una unidad hacia abajo.

\( \displaystyle\frac{1}{2}e^x \) no es más una traslación: simplemente toma un punto P del gráfico de \( e^x \), trazas la perpendicular por ese punto al eje x (digamos lo corta en el punto A) , y marcas el punto medio del segmento PA. Lo que hicimos fue hallar el punto que tiene imagen \( e^x/2 \) para un cierto x, la mitad del valor que tenía antes. Haces eso para todos los puntos del gráfico y ya lo tienes.

Y para el último: fijate que \( \displaystyle\frac{1}{e^x} = e^{-x} \). Saca conclusiones de esto ;)

Saludos

2
Son bastante directos.

1) El grado de un polinomio es el mayor exponente al que están elevados los monomios que lo componen.
En tu caso, fijate que si \( a=2 \) entonces el \( x^3 \) se anula, y el grado te queda dependiendo de b. En ese caso, si \( b=0 \) también se anula el \( x^2 \) por lo que el polinomio queda de grado 1. Si \( b\neq 0 \) entonces queda de grado 2.
Si \( a\neq 2 \) no se anula el término en \( x^3 \) y por lo tanto el polinomio queda de grado 3.

2) Es solo sustituír y ver cuánto da, por ejemplo \( f(1) = -3\cdot 1^2 - 1 +5a = -4+5a \), \( f(a) = -3\cdot a^2 - a +5a = -3a^2 + 4a \). Estas respuestas ya te quedan en función de a, y no se pueden simplificar más (salvo factorizaciones).

3) Una forma: te piden un polinomio de grado 3, será de la forma \( ax^3+bx^2+cx+d \). Para usar los datos que te dan, podemos construír un sistema de ecuaciones:
\( P(2) = -2 \Rightarrow a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+d = -2 \)
\( P(0) = 12 \Rightarrow d = 12 \)
\( P(-2) = -2 \Rightarrow a\cdot (-2)^3+b\cdot (-2)^2+c\cdot (-2)+d = 4 \)
1 raíz de P(x) entonces \( P(1) = 0 \) por lo que \( -2 \Rightarrow a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d = 0 \)

Ahi tienes un sistema con 4 ecuaciones y 4 incógnitas que puedes resolver fácilmente (la d ya está despejada).

4) Para que dos polinomios sean iguales, deben ser iguales término a término. Desarrolla el polinomio b(x) e iguala coeficiente a coeficiente con a(x).


Saludos

3
Foro general / Re: Curiosidad sobre la raíz cuadrada de 2
« en: 10 Mayo, 2008, 02:09 am »
Para las calculadoras es fácil, por ejemplo la siguiente iteración (que proviene del método de Newton) converge muy rápido, tomando cualquier valor para \( x_0 \):

\( x_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right) \)

Cosas como esta se han discutido ya en alguna oportunidad en el foro ;)

Saludos

4
Cálculo 1 variable / Re: Límite sin usar la regla de L'Hôpital
« en: 27 Abril, 2008, 07:47 am »
\( \displaystyle\lim_{t \to 0}{\frac{\ln(\sen(2t))}{\ln(\sen(t))}} = \lim_{t \to 0}{\frac{\ln\left(\underbrace{\frac{\sen(2t)}{2t}}_{\to 1}\cdot 2t\right)}{\ln\left(\underbrace{\frac{\sen(t)}{t}}_{\to 1}\cdot t\right)}} = \lim_{t \to 0}{\frac{\ln(2t)}{\ln t}} \)

Saludos

5
Cálculo 1 variable / Re: Límite sin usar la regla de L'Hôpital
« en: 27 Abril, 2008, 06:41 am »
Usando que \( \displaystyle\lim_{t \to 0}{\frac{\sen t}{t}} = 1 \)

\( \displaystyle\lim_{t \to 0}{\frac{\ln(\sen(2t))}{\ln(\sen(t))}} = \lim_{t \to 0}{\frac{\ln(2t)}{\ln t}} = \lim_{t \to 0}{\frac{\ln 2 + \ln t}{\ln t}} = 1 \)

Saludos

6
Cálculo 1 variable / Re: limite de parte entera
« en: 24 Abril, 2008, 07:10 pm »
Como te piden el límite por derecha, no hay mucho problema. Cerca de 2 y por derecha, \( \lfloor x \rfloor = 2 \).

Entonces resolver tu límite es lo mismo que resolver \( \displaystyle\lim_{x \to 2^+}{2-x} = 0^- \)

Si te lo hubieran pedido tanto por derecha y por izquierda lo mismo, pero tener en cuenta que cerca de dos y por izquierda, \( \lfloor x \rfloor = 1 \).

Saludos

7
Cálculo 1 variable / Re: Sacar logaritmo fuera de un límite
« en: 23 Abril, 2008, 04:00 am »
Por que \( \log x \) es continua en \( (0,+\infty) \).

Se puede "sacar el límite" para afuera en cualquier función continua.

f es continua si \( \displaystyle \lim_{x \to L}{f(x)} = f(L) \)

Entonces

\( \displaystyle \lim_{x \to L}{f(g(x))} = f\left(\displaystyle\lim_{x \to L}{g(x)}\right) \)

Esto lo usas permanentemente al calcular límites. Por ejemplo ¿por qué \( \displaystyle\lim_{x \to 5}{\log x} = \log 5 \)?

Estás usando el hecho de que \( \displaystyle\lim_{x \to 5}{\log x} = \displaystyle \log\left(\lim_{x \to 5}{x}\right) = \log 5 \), o sea, la continuidad de \( \log x \).

Saludos

8
Problemas y Dudas con LaTeX / Re: Límite no infinito
« en: 22 Abril, 2008, 03:11 am »
Especifica qué es lo que pasa cuando "no sale". Estos últimos días han habido bastantes problemas con el servidor, así que si te sale un mensaje "Servidor momentáneamente saturado" en lugar de tu fórmula, no necesariamente quiere decir que la escribiste mal.

Simplemente la mandas, y eventualmente va a aparecer. Si la escribiste mal, la corregiremos ;)

Saludos

9
Cálculo 1 variable / Re: Funcion
« en: 21 Abril, 2008, 05:53 pm »
¿Sabes lo que significa "función biyectiva"? Estoy seguro tienes la definición por ahi ;)

Está claro que esa función está definida \( \forall x \in \mathbb{R} \). Ahora lo que te pide probar es que su recorrido es \( (-1,1) \).

Es decir, si definiéramos f como \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), sería exactamente igual definirla como \( f: \mathbb{R} \to (-1,1) \) ya que nunca toma valores afuera de (-1,1).

Probarlo es muy sencillo. Por ejemplo demuestra que cualquiera sea x se cumple \( \displaystyle \left|\frac{x}{1+|x|}\right| < 1 \).

Saludos

10
Matemática de Escuelas / Re: Despejar x de y = sen^2 (x+Pi)
« en: 20 Abril, 2008, 09:29 pm »
necesito depejar x de aquí:

\( y=\sen^2 (x+\pi) \)
Bueno, ahora que está corregido el post, pasamos a contestar ;)

Antes que nada fíjate que no hay un único despeje, porque la función seno es periódica.

\( y=\sen^2 (x+\pi) \)

Aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros, claro, del lado izquierdo quedará un \( \pm \) ya que al elevar al cuadrado se pierde el signo.

\( \pm \sqrt y=\sen (x+\pi) \)

Ahora, la función inversa del seno en el intervalo [-1,1] es el arcoseno, en particular esta es su "rama principal". Así que la aplicamos a ambos lados:

\( \arcsen (\pm \sqrt y)=\arcsen(\sen (x+\pi)) = x+\pi \)

Entonces

\( x = \arcsen (\pm \sqrt y)-\pi \)

Saludos

aladan, nos cruzamos de nuevo :P

11
Cálculo 1 variable / Re: Problema de sumatoria
« en: 20 Abril, 2008, 09:14 pm »
Solamente hay que aplicar propiedades de las sumas:

\( \displaystyle\sum_{i=5}^{25} (2a_i-3) = 2\sum_{i=5}^{25}a_i - \sum_{i=5}^{25} 3 \) (1)

Ahora \( \displaystyle\sum_{i=5}^{25} 3 = 3(25-5+1) = 3\cdot 21 = 63 \)

\( \displaystyle\sum_{i=5}^{25}a_i = \sum_{i=1}^{25} a_i -  \sum_{i=1}^{4}a_i \)

Por la fórmula que te dan sabemos que \( \displaystyle\sum_{i=1}^{4}a_i = 2\cdot 4^2-3\cdot 4 = 20 \) y \( \displaystyle\sum_{i=1}^{25}a_i = 2\cdot 25^2-3\cdot 25 = 1175 \)

Entonces \( \displaystyle\sum_{i=5}^{25}a_i = 1175 - 20 = 1155 \)

Juntando todo en (1) queda

\( \displaystyle\sum_{i=5}^{25} (2a_i-3) = 2\cdot 1155- 63 = 2247 \)

Que es la respuesta a la que llegaste ;)

Saludos

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Matemática de Escuelas / Re: Numeros Complejos
« en: 19 Abril, 2008, 09:10 pm »
No veo para qué alguien pueda llegar a necesitar una tabla con todas las potencias de i hasta la 20...

De hecho los únicos valores posibles son 1,-1,i,-i.

Para calcularlos observa que \( i^{n} = i\cdot i^{n-1} \) (como cualquier potencia).

Entonces:
\( i^0 = 1 \) (todo número distinto de 0 elevado a la 0 da 1)
\( i^1 = i \)
\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i\cdot i^2 = -i \)
\( i^4 = i\cdot i^3 = i\cdot -i = 1 \)

Teniendo en cuenta que todos los números (naturales) se pueden escribir como 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3 podemos generalizar esto para todas las potencias naturales de i:

\( i^{4k} = (i^4)^k = 1^k = 1 \)
\( i^{4k+1} = (i^4)^k\cdot i = i \)
\( i^{4k+2} = (i^4)^k\cdot i^2 = -1 \)
\( i^{4k+3} = (i^4)^k\cdot i^3 = -i \)

Saludos

Lo siento aladan, se cruzan los mensajes. Igual complementamos ;)

13
Esto
\( \displaystyle\binom{n}{i} \)
Es el número combinatorio.
Se lee n sobre i.
Por lo menos por estos lares, se lee "combinaciones de n tomadas de a i" :)

Saludos

14
- Otros - / Re: Raíces de un polinomio de grado 3
« en: 18 Abril, 2008, 07:06 pm »
No te queda otra creo que poner el polinomio en algún software que tenga implementada la fórmula para ecuaciones de tercer grado, y que te lo resuelva. Hacer los cambios de variable a mano son muchas cuentas (y para peor no me los acuerdo, pero no se utilizan frecuentemente).

Por ejemplo el Maxima da la siguiente salida para las raíces (donde %i es \( i \)):

x1=(-(sqrt(3)*%i)/2-1/2)*(sqrt(-a*(4*c^3-a*b^2))/(2*b^2)+(a*b^2-2*c^3)/(2*b^3))^(1/3)+(((sqrt(3)*%i)/2-1/2)*c^2)/(b^2*(sqrt(-a*(4*c^3-a*b^2))/(2*b^2)+(a*b^2-2*c^3)/(2*b^3))^(1/3))-c/b
x2=((sqrt(3)*%i)/2-1/2)*(sqrt(-a*(4*c^3-a*b^2))/(2*b^2)+(a*b^2-2*c^3)/(2*b^3))^(1/3)+((-(sqrt(3)*%i)/2-1/2)*c^2)/(b^2*(sqrt(-a*(4*c^3-a*b^2))/(2*b^2)+(a*b^2-2*c^3)/(2*b^3))^(1/3))-c/b
x3=(sqrt(-a*(4*c^3-a*b^2))/(2*b^2)+(a*b^2-2*c^3)/(2*b^3))^(1/3)+c^2/(b^2*(sqrt(-a*(4*c^3-a*b^2))/(2*b^2)+(a*b^2-2*c^3)/(2*b^3))^(1/3))-c/b

En ningún momento pregunta el signo de a,b,c.

Como pusiste x > 0, capaz te interesa ver que tu polinomio siempre tiene 1 raíz positiva. Esto lo veo aplicando la regla de los signos de Descartes:

"El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x) es igual al número de cambios de signo de término a término de f(x)"

Como a,b,c > 0 entonces hay solo un cambio de signo y por lo tanto una raíz positiva.

Saludos

15
Cálculo 1 variable / Re: Ecuación con tres incógnitas
« en: 18 Abril, 2008, 01:38 am »
No existe "LA" solución: sin poner restricciones hay INFINITAS.

Si agregas más ecuaciones abajo para formar un sistema de 3x3 vas a llegar a alguno de los siguientes casos:

- Te da una solución
- Te dan infinitas soluciones
- No te da ninguna solución

Pero que la solución del sistema 3x3 que formaste sea única, no implica que la solución del problema original sea única, pues como viste, al tener 3 variables y 1 ecuación tenemos dos grados de libertad (es decir, le damos los valores que queremos a dos variables, y despejamos la tercera en función de ellas).

En conclusión, no tiene sentido agregar más ecuaciones.

Saludos

16
Cálculo 1 variable / Re: Ejercicio de Límite 3 variables
« en: 18 Abril, 2008, 01:33 am »
(a,b,c) son CONSTANTES.

Y no, acercarse por (a,b,c)t no es acercarse por cualquier dirección, sino por una recta.

Tenemos que el límite acercándonos por (a,b,c)t vale \( \displaystyle\frac{a+b-c}{a+b+c} \).

Si (a,b,c) = (1,1,1) entonces el límite vale \( \displaystyle\frac{1}{3} \).
Si (a,b,c) = (2,1,1) entonces el límite vale \( \displaystyle\frac{1}{2} \).

Por lo tanto el límite no existe (acercándonos por dos direcciones nos da distinto).

Saludos

17
Cálculo 1 variable / Re: Ejercicio de Límite 3 variables
« en: 17 Abril, 2008, 07:17 pm »
- Si el límite existe y vale L, entonces el límite acercándonos por CUALQUIER DIRECCIÓN debe existir y valer L.

- Calcula el límite con la dirección que te dio el_manco (ahora pasaste a un problema de una variable, la t).

- Concluye que, dando diferentes valores a a,b,c, puedes hacer que el límite valga diferente.

- Deduce que entonces el límite original no existe.


Saludos

18
Programación lineal / Re: Formulación
« en: 15 Abril, 2008, 07:48 am »
Llamemos \( x_i \) a la cantidad de unidades que produce la máquina \( i \) (\( i = 1,2,3 \)).

Costo de la fábrica = Costo Máq. 1 + Costo Máq. 2 + Costo Máq. 3

Costo Máq. 1 = \( (3\cdot 500 + 2\cdot 400)x_1 \) (es decir, Unidades de mano de obra multiplicado por costo por unidad, más unidades de materia prima, multiplicado por costo por unidad, todo multiplicado por la cantidad de unidades que se producen - \( x_1 \)).

Ańalogamente Costo Máq 2. es \( (4\cdot 500 + 1\cdot 400)x_2 \) y Costo Máq. 3 es \( (2\cdot 500 + 4\cdot 400)x_3 \)

Sumando, tenemos que lo que queremos hallar es

\( \min\; 2300x_1 + 2400x_2 + 2600x_3 \)

sujeto a ciertas restricciones. Veamos ahora cómo escribirlas.

Citar
El total de mo es de 500 horas y de mp 600 unidades.
Cada unidad producida por la máquina 1 lleva 3 horas de mo, cada unidad producida por la máquina 2 lleva 4 y por la máquina 3 lleva 2.

Entonces que el total de mo sea de 500 horas quiere decir que se tiene que verificar
\( 3x_1+4x_2+2x_3 \leq 500 \)
Con la materia prima es lo mismo, y nos da
\( 2x_1+x_2+4x_3 \leq 600 \)

Citar
al menos 300 unidades deben ser producidas utilizando la máquina 1.
Esta es fácil, simplemente imponemos \( x_1 \geq 300 \)

Citar
La demanda total de producto pronosticada es de 1000 unidades o más.
Tenemos que sumar 1000, o más, entre todas las unidades que producen las máquinas. Por lo tanto

\( x_1+x_2+x_3 \geq 1000 \)


Para resolver este problema usa el Método Simplex (esta parte es muy sistemática).


Saludos

19
Fundamental: haz un dibujo de \( e^x \) y los rectangulitos entre 1 y 5.

Partimos el intervalo [1,5] en n partes iguales. Por lo tanto cada parte tendrá de ancho \( \displaystyle\frac{5-1}{n} = \frac{4}{n} \).

Ahora planteate el área del rectángulo i-ésimo, y sumalos todos. Para sacar el área de ese rectángulo multiplicamos el largo de la base (4/n) por la altura (el valor de la función en el punto que elegimos).

Entonces la suma inferior será:
\( \displaystyle\sum_{i=0}^n{\frac{4}{n}e^{1+\frac{4}{n}i}} \)

y la superior

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\frac{4}{n}e^{1+\frac{4}{n}i}} \)

Al calcular el límite de ambas cuando \( n \to \infty \) te va a dar, como esperábamos, \( e^5-e \). Para poder resolver la suma fijate que se puede escribir como una geométrica.

Saludos

20
Cálculo 1 variable / Re: Detalle sustitución trigonómetrica
« en: 13 Abril, 2008, 08:31 pm »
Es lo mismo. Puedes comprobar derivando ambas, y verás que da lo mismo.

Ahora te dejo que investigues... ¿por qué? ;)

Pista:
- Por propiedades de logaritmo, intenta sacar el "2" que te queda dividiendo para afuera del logaritmo (SOLO el 2).
- Fíjate qué representa C.
- Concluye.

Saludos

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